计算方法习题集及实验指导书

《计算方法习题集及实验指导书》
计算机科学与技术系
檀明
2008-02-10
课程性质及目的要求
（一）课程性质
自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。

《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。

它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。

（二）目的要求
通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。

在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。

注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。

（三）学习方法指导
1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。

虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互XXX与前后继承的关系。

前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。

前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。

2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。

每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。

只有这样，才能取得学习的学习效果。

3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。

因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。

4．抓住特点前后XXX 本课程只讲了五大类算法。

每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。

各类算法之间又有某些XXX。

例如，插值算法是构造比较简单的函数来代替实际的复杂函数进行某些点的计算，尽管构造简单的函数的方法有多种，但这些方法的思路和目的都是一致的；数值积分算法的特点是用近似的方法来计算曲边梯形的面积，采用不同的近似性方法即可得到不同的计算公式，等等。

注意算法的特点和各类算法间的XXX，有助于提高学习效果。

5．抓住共性由此及彼本课程所讲的五大类算法，虽然各不相同，但也存在着一些共同之点。

例如，它们都是适合于计算机求解的数值方法，大都是用简单而便于重复计算的函数来代替复杂函数进行计算，得到近似结果；在算法描述上，大多数算法流程的框架是相同的或是相近似的。

抓住了共性，我们就能够举一反三，就能由此及彼。

（四）先修课高等数学，线性代数，高级语言程序设计。

（五）教材《计算方法》第二版，易大义，浙江大学出版社
（六）参考书目《数值分析简明教程》王能超编高等教育出版社
《计算机数值方法》施吉林、刘淑珍、陈桂芝编，高等教育出版社
《数值分析》金聪主编，武汉理工大学出版社
《计算方法与实习》袁慰平、孙志忠等主编，东南大学出版社
第一章 绪论
（一）知识点
1．算法 包括什么是算法、算法的重要性、算法的基本特征和描述算法的方法。

2．误差 包括误差的定义、来源、相对误差限与绝对误差、误差限和有效数字。

（二）学习要求
1．理解两个基本概念：算法和误差。

2．注意算法的重要性、算法的基本特征和算法描述方法。

3．注意误差的来源、相对误差与绝对误差、误差限、有效数字、相对误差限与有效数字之间的XXX ，以及在实际计算中避免两个相似数相减的问题。

（三）考核要求
1．有关算法的基本概念，要求达到识记层次。

2．有关误差的基本问题，要求达到领会层次，其中误差与有效数字能够进行简单计算。

（四）常见例题
例1、已知近似数*
x 有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：1a 是1到9之间的数字，%5102
1
1021)(111=⨯≤⨯≤
--n r a x ε 例2、 以下误差公式不正确的是（ ）
A ．)()(2121x x x x εεε-≈-）
（ B ．)()(2121x x x x εεε+≈+）（ C ．)()()(211221x x x x x x εεε+≈⋅ D ．)()(212
1
x x x x εεε-≈）（ 答案：D （见教材）
例3 ln2=0.69314718…，精确到10－
3的近似值是多少？
解：精确到103＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005， 故至少要保留小数点后三位才可以。

ln20.693
例4 1415926.3=π=x ，求1416.3*1=x ，141.3*
2=x 的有效数位 解：方法1 （推荐）
如果近似值*x 的误差限是它某一个数位的半个单位，称*x 准确到该位。

从这一位起到
前面第一个非0数字位置的所有数字称为x 的有效数字，从而：
由 0000074.01416.3*
1=-=-πx x 知4*15102
11021--⨯≤-<⨯x x ，即误差限
为小数点第四位（6）的半个单位，界于左边第一个非零数（3）至此位（6）所有数字均为有效数学（3.1416），共5位；
类似 0005926.0141.3*
2=-=
-πx x 知2*
2
3102
11021
--⨯≤-<⨯x x ，即误差限为小数点第二位（4）的半个单位，界于左边第一个非零数（3）至此位（4）所有数字均为有效数学（3.14），共3位；
方法2 （推荐） 1*11031416.0⨯=x ，1
*2103141.0⨯=x ∴1=m
44*
11021
10074.01416.3--⨯≤⨯=-=-πx x ,541=⇒-=-n n 22
*2102
1
1005926.0141.3--⨯≤⨯=-=-πx x ,321=⇒-=-n n (注：选择≤0.5的最大值)
方法3 （不推荐） n n m x x --⨯=⨯≤-=
-1*
12
1211416.3π,8.5≤n 取⎣⎦58.5==n
n x x -⨯≤-=-1*
2102
1141.3π,93.3≤n 取⎣⎦393.3==n
例5 8030.0,001.2-==y x 设是由真值**y x 和经四舍五入得到的近似值，试估计y
x +的误差限________．
解：由四舍五入易知3105.0)(-⨯≤x ε，4105.0)(-⨯≤y ε，由误差传播估计式从而有
31055.0)()()()()(-⨯≤+≤+≈+y y y x y x εεεεε
（五）课后习题
1.1 指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。

2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 1.2 设 3149541.2=x ，取5位有效数字，则所得的近似值=*
x _________.
1.3 近似数234.1*
=x ，有3位有效数字，求其相对误差限r δ。

1.4 对准确值 1000=x 和它的两个近似值为9.999*
1=x 和1.1000*
2=x 分别计算它们的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值x 的两个近似值21,x x ，则有效数位n 大的则其绝对误差限就越小?
1.5 如要求10π的近似值的相对误差小于%1.0≤，则π至少要取几位有效数字？
1.6 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出较好的近似值？
6)12(-=a ，
6
)12(1+，27099-，3
)223(-，
3
)223(1+
1.7 设有多项式函数87102)(2
3+-+=x x x x p ，请给出计算)(x p 的计算量较小的算法。

1.8 设0>x ，已知近似值*
x 的相对误差为a ，求*
ln x 的绝对误差。

（六）补注：
秦九韵算法说明：
0111)(a x a x a x a x p n n n n ++++=--
从前n 项提出x ，则有：012
11)()(a x a x
a x a x p n n n n ++++=--- 括号内得到一个1-n 次式项式（降了一次），对括号内再施同样的手续，进一步有：
012312))(()(a x a x a x a x a x p n n n n +++++=---
这样每做一步，最内层的多项降低一次，最终可加工成如下嵌套形式
0121)))((()(a x a x a x a x a x P n n n n +++++=-- 计算时，从里往外一层一层地计算,则计算量可减少一半。

第二章 插值法、曲线拟合
（一）知识点
1． 插值方法、插值误差及其估计方法
2． 一次和二次拉氏插值公式在解题中的应用及误差估计 3． 分段线性插值算法流程及其程序实现 4． 样条函数及样条插值的基本概念 5． 插值多项式的数值求导原理及公式 6． 曲线拟合概念、直线拟合和二次拟合问题 （二）学习要求
1．通过泰勒插值和拉格朗日插值（以下简称拉氏插值）问题的学习，理解插值概念和插值问题解的存在性和唯一性。

2．通过考察拉氏插值的线性插值公式、抛物插值公式及其推广，搞清拉氏插值的一般算法流程。

了解构造插值公式的基函数方法。

3．解拉氏插值余项定理的内容和插值误差的事后估计方法，了解插值余项定理的证明方法。

4． 了解差商及其性质，并进一步了解差商形式的插值公式—牛顿公式。

5．了解分段插值的必要性，掌握分段性插值公式思考分段线性插值的算法流程，了解分段三次插值方法。

6．理解样条函数的概念，了解三次样条插值方法。

7．了解曲线拟合与插值的异同点，掌握直线拟合和二次拟合方法，了解一般多项式拟合问题。

（三）考核要求
1．插值及其余项的概念达领会层次。

2．拉氏线性插值与抛物插值公式达到应用层次，并能编程进行解题计算。

3．差商与牛顿插值法。

4．曲线拟合公式和二次拟合公式达到应用层次。

（四） 常见例题
例1：通过点),(00y x ， ),(11y x ， ),(22y x 所作的插值多项式是( ) (A) 二次的 (B) 一次的 (C) 不超过二次的 (D) 大于二次的 答案：(C)
例2：函数)(x f 在节点543,,x x x 处的二阶差商)(
],,[543≠x x x f
(A)],,[435x x x f (B)
3
535)
()(x x x f x f --
(C)
535443],[],[x x x x f x x f -- (D)
5
34534]
,[],[x x x x f x x f --
答案：(B)
例3：.通过四个互异节点的插值多项式P (x )，只要满足( )， 则P (x )是不超过一次多项式。

(A) 初始值y 0=0 (B) 所有一阶差商为0 (C) 所有二阶差商为0 (D) 所有三阶差商为0 答案：(C)
解答：因为所有二阶差商为0，那么三阶差商必为0，则牛顿插值多项式为 )](,[)()(0100x x x x f x f x N -+=，它是不超过一次的多项式。

例4：拉格朗日插值多项式的余项是( )，牛顿插值多项式的余项是( )
(A) )()!
()
()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=
-=ωξ (B) )()](,,,,[110n n x x x x x x x x f -- (C) )!
()
()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ
(D) )()](,,,,[010n n x x x x x x x x f --
答案：(A)，(D)。

见教材有关公式。

例5：设一阶差商，
3124
1)()(],[121221-=--=--=
x x x f x f x x f ,2
52416)()(],[232332=--=--=x x x f x f x x f
则二阶差商 =],,[321x x x f 答案：6
11
14)3(25],[],[],,[132132321=---=--=
x x x x f x x f x x x f
例6：设53)(2
+=x x f ， ,1,0,==k kh x k ，则=++],,[21n n n x x x f ，
和 =+++],,,[321n n n n x x x x f 。

答案：3],,[21=++n n n x x x f ；0],,,[321=+++n n n n x x x x f
例7：设)0()(3
≠++=a c bx ax x f , 取5个不同节点作)(x f 的拉格朗日插值多项式
)(x P ，则)(x P 是_____次多项式。

解答：3次，因为)(x f 为三次多项式，取5点做四次插值多项应为多项式本身，本题也可据余项公式0!
4)
()()4(4==
ξf x R 为0来判定。

例8：已知2
33sin ,224sin ,216sin
===
πππ
，分别用外推及内插方式求x sin 的1次Lagrange 插值来计算0
50sin 的近似值，并估计算误差。

解答：分别利用x 0, x 1 以及 x 1, x 2 计算
（1） 利用4,610π
π
=
=x x （∴∉=]4,6[
500
π
πx 外推），从而
2
2
64621464)(1⨯
--+⨯--=ππππππx x x L
0.77614)50(50sin 0
10
=≈L ，这里]3
,6[
,sin )(,sin )('
'π
πξ∈-==x x f x x f 有23)(21'
'≤≤ξf ，)4
)(6(2)()(''1ππξ--=
x x f x R ，从而 00762.0)50(01319.00
1<<-R
050sin 的准确值 7660444.050sin 0=
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 01001.0-≈
（2）再利用x 1, x 2 计算 利用3
,4
21π
π
=
=x x （∴∈=
=]3
,4[185500
π
ππx 内插），类似可得 sin 50︒
0.76008, 此时
00660.0)50(00538.001<<R
内插 /* interpolation */ 的实际误差 00596.0≈
例9：证明差商的组合性：∑
=≠=-∏==
n
k j k n
k j j k n x x x f x x x f 0
10)
()(],,,[
证明: （归纳法）
（1）0
11100010110)
()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=
, 1=n 时成立
（2）设上式对1-n 阶满足，即
∑∑-=-≠=--=-≠=--∏+--=-∏=1
11
0101001
10110)
()
()()()()()
(],,,[n k j k n k
j j k n n k j k n k
j j k n x x x f x x x x x f x x x f x x x f ∑∑
-=≠=-=≠=-∏+--=-∏=1
1
1111
121)
()()()()
()
()(],,,[n k j k n
k j j k n n n n n
k j k n
k j j k n x x x f x x x x x f x x x f x x x f
（3）则对n 阶
101110]
,,[],,[],,,,[x x x x f x x f x x x x f n n n n n --=
- －
∑-=≠=--∏-+---=1
110110)
()(1
)()()(1n k j k n
k
j j k n n n n n n x x x f x x x x x x x f x x
))(()()(010100x x x x x x x f n n ----- ∑
-=-≠=-∏--
1
1
100
)
()
(1
n k j k n k
j j k n x x x f x x
∑
-=≠=-∏--+
--+--=1
1
000
0100100)
())((1
)()()()()()(n k j k n
k j j n k n n n n x x x x x f x x x x x x x f x x x x x f
∑
=≠=-∏=n
k j k n
k j j k x x x f 00)
()(
例10：已知函数)(x f y =的数据如表中第1，2列。

计算它的各阶差商和)(3x N 的形式，并估计)85.0(3N 相对于)85.0(f 其误差。

解：
计算公式为：
一阶差商 )3,2,1,0()
()(],[1
11=--=
+++k x x x f x f x x f k k k k k k
二阶差商 )2,1,0(]
,[],[],,[2
21121=--=
++++++k x x x x f x x f x x x f k k k k k k k k k +--+-+=)55.0)(40.0(28000.0)40.0(11600.141075.0)(3x x x x N )65.0)(55.0)(40.0(19733.0---x x x 由于)(x f y =形式未知，显然不能通过余项定理来估计误差，可采用牛顿插值的余项
形式来估计：)80.0
)(65.0)(55.0)(40.0](,80.0,65.0,55.0,40.0[)(3----=x x x x x f x R 插值点85.0=x ，03134.0]90.0,80.0,65.0,55.0,40.0[],80.0,65.0,55.0,40.0[=≈f x f （假设四阶差商变化不大，可参看教材P50）
从而有误差估计：)80.085.0)(65.085.0)(55.085.0)(40.085.0(03134.0)(3----≈x R
例11：试构造f (x )的拉格朗日多项式P n (x )，并计算f (－1)。

解：先构造基函数 845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=
0)
)(())()(())(()(x x x x x x x l
40
5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1)
)()(())())((())()(()(x x x x x x x l
245-2+-=5-40-42+45-2+=2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l
35
)
4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=x x x x x x x l
所求三次多项式为
P 3(x )=
∑=3
)(k k
k x l
y
＝84
5-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯
3-))(()(x x x ＋35
4-2+)
()(x x x
＝1+21
55-141-42523x x x P 3(－1)＝7
24
=
1+2155-141-425-
例12：设],[)(2
b a C x f ∈，试证 )(max )(8
1
)]()()()([)(max ''2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a b
x a ≤≤≤≤-≤---+
-
解：由于)(x f 的线性插值
)()()()()()()(1x L b f a
b a
x a f b a b x a x a b a f b f a f =--+--≡---+
（直线的点斜式）
于是 )]()
()()([)(max a x a
b a f b f a f x f b x a ---+-≤≤
))((!2)
(max )()(max ''1b x a x f x L x f b x a b x a --=-=≤≤≤≤ξ（b a <<ξ）
)(max ))((max 21'
'x f b x a x b x a b
x a ≤≤≤≤--≤
)(max )(8
1'
'2x f a b b x a ≤≤-=
例13：在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若有二次插值求x
e 的近似值，要使误差不超过6
10-，使用函数表的步长h 应取多少？ 解：x
x
e x
f e x f n ===)(,)(,2'
'' 设插值节点为11,,+-i i i x x x
))()((!
3)
(max )()(max 11'''44244+-≤≤-≤≤----=-i i i x x x x x x x x f x P x f ξ ))()((max !
3)(max 11'''4411+-≤≤≤≤----⋅≤+-i i i x x x x x x x x x x x f i i 令h x x h x x x x h x x x i i i i i i i i +=-=-=≤≤+--+-11111,,,
因3
32))()((max 31111h x x x x x x i i i x x x i i =---+-≤≤+-（*）
于是由63
4244103
326)(max -≤≤-<⋅⋅≤
h e x R x
得0066.0,10396
43
≤⨯<
-h e
h 注：（关于*式计算）： 令))()(()(11+----=i i i x x x x x x x g ))()((h x x x x h x x i i i ---+-= 由0)('
=x g ，即0)(322=--h x x i ，得)(x g 的驻点为h x x i 33
*±
=，故
3
32)(})(,)(,)(,)(max {)(max 3*
*11],[11h x g x g x g x g x g x g i i i x x x i i ===+-∈+- 例14：若],,,,[10k x x x x f 是x 的m 次多项式，试证],,,,,[110+k k x x x x x f 是x 的1-m 次多项式。

证明：由差商定义有： 1
11010110]
,,,,[],,,,[],,,,,[+++--=
k k k k k k x x x x x x f x x x x f x x x x x f
即],,,,[],,,[],,,,,[)(11001101+++-=-k k k k k k x x x x f x x x f x x x x x f x x 上式右端是x 的m 次多项式，而当1+=k x x 时，上式为
],,,,[],,,[01100+-=k k k x x x x f x x x f ，说明
],,,,[],,,[1100+-k k k x x x x f x x x f 这个m 次多项式中含有因式1+-k x x 。

在等式
两端同除以1+-k x x 得
1
11010110]
,,,,[],,,,[],,,,,[+++--=
k k k k k k x x x x x x f x x x x f x x x x x f
则上式右端是x 的1-m 次多项式，所以],,,,,[110+k k x x x x x f 是x 的1-m 次多项式
（五）课后习题
2.1
所确定的Lagrange 插值多项式是一个二项式，该例说明了什么问题？
2.2 已知函数的函数表如表所示
试用拉格朗日线性插值求3367.0sin 的近似值，并估计截断误差。

2.3 证明
∑==-5
20)()(k k k
x l x x
，其中)(x l k 是关于点．．．510,,,x x x 的．（．5．次插值．．．基函数．．．）．
插值基函数．．．．．.．
2.4 设2.12)(2
+-=x x x f ，取
构造),(),(432x L x L 并比较结果。

2.5 已知123)(2
44+++=x x x x P ，试求满足插值条件5,,2,1),()(45 ==i i P i P 且
2)0(5=P 的5次多项式)(5x P 。

2.6 要给出x y cos =等距节点函数表，如用线性插值计算y 的近似值，使其截断误差限为
5102
1
-⨯，则函数表的步长应取多大？ （注意参考例12） 2.7 证明 ：∑∏=≠=--=n
k n k
j j k j
k j
x x 00])([
2.8 已知),2,1,0(2,2,1)(2
46 ==+=+-+=k h kh x x x x x f k
（1）求]14,12
,10,8,6,4,2[f ，及]30,26,22,18,14,10,6,2[f
（2）求06
f ∆及77f ∇
2.9 已知函数)(x f y =的实测数据组如下表二、三两列所示，试用最小二乘法求二次拟合
多项式 2
210x a x a a y ++=。

2.10 用最小二乘法求一形如λ
Ct W =的经验公式（其中C 和λ为待定数），使与下形数据相拟合。

（六）补注：
1、范德蒙行式列的两种形式：n
n
n n n
T n
n
n n n
x x x x x x A x x x x x x A
10
10110
01
11
det 111det =
==
)()())()(()(det det 101202011
1--==-----=-∏∏==n n n j i i j n i T
x x x x x x x x x x x x A A
2、Taylor 中值定理：若函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有趋于直到)1(+n 阶导数，则当),(b a x ∈内时，)(x f 可以表示为：
1
0)1(00)
(20''0'
0)()!
1()()(!)()(!
2)
())(()()(++-++-+
+-+-+=n n n
n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中ξ是界于0x 与x 之间的某个值。

3、牛顿插值公式与泰勒展开式
牛顿公式：
)
()](,,[)](,[)()(1000100---++-+=n n n x x x x x x f x x x x f x f x N
)(],,,[)()](,,,[)(1000x x x x f x x x x x x x f x R n n n n n +=--=ω
令n x x x x ==== 210，则有
n n n x x n x f x x x f x f x N )(!
)
())(()()(0000'
0-++-+= 即)(x f 在0x 泰勒公式
10)1()()!
1()
()(++-+=n n n x x n f x R ξ ξ界于x x ,0之间，即)(x f 在0x 泰勒公式余项
注：!
)
(],,,[lim
],,[0)(10,,1
n 000
1n x f x x x f x x f n n x x x n =
=
→+
4、分析求)()())(()()(10102010---++--+-+=n n x x x x a x x x x a x x a a x P 下列程序的正确性，说明其基本思想。

（结合秦九韶算法）
double compvalue(double a[],double x[],double varx) //i i a i a x vax x i x ←←←][;,][ { double p=a[n]; for(int k=n-1;k>=0;k--)p=p*(varx-x[k])+a[k]; return p;
}//复杂度仅为：n 次乘法，n 2次加减法
答：令1,,1,0),(-=-=n i x x t i i ，则10102010)(-++++=n n t t a t t a t a a x P
从后n 项提出0t ，则有：00121111)()(a t a t t a t t a x P n n n n ++++=--- 括号内得到一个1-n 次式项式（降了一次），对括号内再施同样的手续，进一步有：
0011222121))(()(a t a t a t t a t t a x p n n n n +++++=--- 这样每做一步，最内层的多项降低一次，最终可加工成如下嵌套形式： 00132211)))((()(a t a t a t a t a x P n n n n n n n +++++=-----
计算时，从括号的最里层开始逐层展开计算，从而有以上程序。

第四章 数值积分
（一）知识点
1．代数精度概念及其与插值公式的关系 2．梯形公式、辛普公式及其余项 3．复化梯形公式和复化辛普生公式及应用 4．龙贝格公式及应用
5．梯形公式递推化算法流程及程序实现
（二）学习要求
在高等数学定积分知识的基础上，理解数值积分的几何意义及其近似性，了解插值型求积公式的关系，理解代数精度的概念与作用。

了解牛顿—柯特斯公式的导出，搞清矩形求积公式、梯形求积公式和辛普生公式及它们的代数精度与余项。

在理解的基础上对复化梯形公式和复化辛普公式加以记忆，并用于解题。

从梯形公式的递推化入手，理解并记忆龙贝格公式。

了解高精度求积公式（即高斯公式）、高斯点及其特性、高斯点的计算问题。

理解并应用数值微分的中点分式及其加速方法。

（三）考核要求
1．数值积分公式的代数精度和余项达到领会层次。

2．梯形公式、辛普生公式以及它们的复化形式达到应用层次。

3．梯形公式递推化算法能编程进行解题计算。

4．龙贝格算法达到应用层次。

（四）常见例题 例1 试确定求积公式
)(
)(d )(3
1+3
1-
≈⎰
1
1
-f f x x f 的代数精度。

解：当)(x f 取 ,,,12
x x 计算求积公式何时精确成立。

(1) 取1)(=x f ，有：左边＝
2=1=⎰⎰
1
1
-1
1-x x x f d d )(， 右边＝2
(2) 取x x f =)(，有：左边＝0d d )(1
1
1
1
==⎰⎰
--x x x x f ， 右边＝0
(3)类似导出，取3
2
,)(x x x f =，有左边=右边 (5) 取4
)(x x f =，有：左边=2/5， 右边=2/9 当k
3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。

例2：. 证明求积公式
()()()2242()023
h
h
h
f x dx f h f f h -≈
--+⎡⎤⎣⎦⎰
具有三次代数精度，其中h 是正常数。

证明：（1）当()1f x =时，左边[]442123
h
h ==
-+=右边 （2）当()f x x =时，左边()4021023
h
h h ==
⨯--⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦右边 （3）当()2
f x x =时，左边()322164210233h h h h ⎡⎤=
=⨯--⨯+⨯=⎣
⎦右边 （4）当()3f x x =时，左边()3
3402023h h h ⎡⎤==⨯--+⨯=⎣
⎦右边
（5）当()4
f x x =时，左边5645
h =，
右边()54441620233
h h h h ⎡⎤=⨯--+⨯=≠⎣⎦左边 所以，该求积公式具有三次代数精度。

例3、求积公式
⎰
++≈1
'010)0()1()0()(f B f A f A dx x f ，已知其余项表达式为
)()('''ξkf f R =.试确定系数10,A A 及0B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出
代数精度的次数及求积公式余项.
解 本题虽用到)0('
f 的值，但仍可用代数精度定义确定参数010,,B A A .令
2,,1)(x x x f =，分别代入求积公式.令公式两端相等，则
当1)(=x f ,110=+A A 当x x f =)(,2
1
01=+B A 当2
)(x x f =,311=
A 解得6
1,31,32010===B A A ， 于是有 ⎰++≈10'
)0(6
1)1(31)0(32)(f f f dx x f
再令3)(x x f =，此时⎰=103
41dx x ，而上式右端为3
1，两端不等，则求积公式对3)(x
x f =不精确成立，故它的代数精度为二次. 为求余项可将3
)(x x f =代入求积公式
⎰+++=
1
'''')()0(61)1(31)0(32)(ξkf f f f dx x f ，)1,0(∈ξ 当3)(x x f =,2'3)(x x f =，x x f 6)(''=,6)('
''=x f ，代入上式得
k dx x 63141103+==⎰，即72
131416-=-=k 所以余项)1,0(),(72
1)('
''∈-=ξξf f R .
例4：试用梯形公式、和Simpson 公式计算定积分
⎰
1
5
0.d x x (计算结果取5位有效数字)
(1)用梯形公式计算
426780=1+707110⨯250=1+502
5
0-1≈
⎰
1
5
0.].[.)]().([.d .f f x x (2)如果要求精确到10－
5，用复化Simpson 公式，截断误差为 ,)(/)
(2
7-416
15=
x x f 51≤1615==27-≤≤4≤≤4.max
)(max /)(x x f M b x a b x a
442880M h a b S I n -≤-=5-4
64410<12128803=2880-)()(N
M h a b ， N
2
只需把[0.5，1]4等分，分点为0.5，0.625，0.75，0.875，1
43096
0=1+935410+790570⨯4+8660250⨯2+70711031250=1+8750+62504+7502+503≈⎰150.])..(..[.)]()).().(().().([d .f f f f f h x x
例5：.已知n =3时，Cotes 系数8
3=83=81=323130
)()()
(,,C C C ，那么)(33C ＝ 解答：由Cotes 系数的归一性质，8
1=---1=32313033)
()()()(C C C C
例6： 已知等距节点的插值型求积公式
()()35
2
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3
k
k A
==∑（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 解答：∑=-=n
k k
a b A
知答案为（C ）
例 7：对于1+n 个节点的插值求积公式⎰
∑=≈b
a
n
k k k x f A dx x f 0
)()(至少具有＿＿次代数精度。

解答：答案为n 例8：试证：n n n S S C 15115162-= 证明：
∑-=++++-++++=-1014
321412)]()(4)(2)(4)([12151615115
16
n k k k k k k n n x f x f x f x f x f h
S S
∑-=++++1012
1)]()(4)([6151n k k k k x f x f x f h
∑-=++++++++-++++=1
012
11432141)]}
()(4)([90)]()(4)(2)(4)([908{n k k k k k k k k k x f x f x f h
x f x f x f x f x f h n n k k k k k k C x f x f x f x f x f h
=++++=∑
-=++++1
014
32141)](7)(32)(12)(32)([90
（五）课后习题
4.1 对于积分⎰
-a
a
dx x f )(，以a x x a x ==-=210,0,为节点，构造形如
⎰
-++≈a
a
x f A x f A x f A dx x f )()()()(221100
的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。

4.2 确定 下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。

（1）⎰
++≈2
210)2()1()0()(f A f A f A dx x f
（2）
⎰-⋅++≈h
h f f h h f f h dx x f 0
'
'2)]()0([)]()0([2)(α
4.3 对于x
x
x f sin )(=，利用下表数据，计算8,4=n 时的复合梯形公式84,T T ，以及4
=n 复合Simpson 公式4S 的值。

4.4 如果用复化梯形公式计算定积分⎰1
-x x
d e
，要求截断误差不超过0.5×10－4，试问n 至
少取多少？
（六）补注
Cotes 系数性质：)
()(n k n n k C C -=（对称性）
证明：（2）⎰---+----=-n k
n n k
dt n t k t k t t t k n k n C
0)()()1)(1()1()!
(!.)1( 令t n u -＝时
⎰-----+-------=-0)
()()()1)(1()1)(()!
(!.)1(n k
n n k
u d u k u n k u n u n u n k n k n C
⎰--+-++-----=-n n
k n du n u k n u k n u u u k n k n 0)()1)(1()1()1()!
(!.)1(
)(02)(]1)()][1)([)1()!(!.)1(n k
n n k n C du n u k n u k n u u u k n k n --=----+-----=⎰
定理5：当n 为偶数时（或节点数．．．1+n 为奇数时．．．），N-C 公式至少有n+1次代数精度 证明：当)()(x H x f n ∈，0)()
1(≡+x f n ，0][=f R ，因此N-C 公式至少有n 次代数
精度
只要验证)(x f 为1+n 次多项式时余项为0
只要证明0)()()!
1()
(][0)1(=--+=
⎰
+dx x x x x n f f R n b
a
n n ξ
)!
1()
()1(+ξ+n f n 为常数，即证⎰=--b a n dx x x x x 0)()(0 （*）
设k n 2=（k 为整数）h x x i i =-+1)1,,1,0(-=n i ，作代换s x x k =-
（*）式 ds kh s h s s h s kh s kh
kh
)()()()(--⋅⋅++=⎰
-
0)()(22222=--=
⎰
-ds h k s h s s kh
kh
证毕
注：由于对)()(1ξξ+∈n H f 时)!
1()
()1(++n f n ξ为常数，从而积分与x 无关，为常数项，
可提出至积分号外。

第五章 非线性方程求根
（一）知识点
1．根据方程0)(=x f 建立迭代式，分析迭代式的收敛性和收敛速度 2．迭代过程的加速方法和埃特金公式 3．牛顿迭代法的公式、算法流程与程序实现 4．正割法及其收敛性与收敛速度 （二）学习要求
搞清迭代原理、迭代过程的收敛条件、收敛速度和收敛的加速方法。

重点学习牛顿迭代法的公式、算法流程、应用举例了解扩大收敛范围的方法（牛顿下山法）和重根情况的处理方法。

理解正割法，了解该法与牛顿迭代法的XXX 和不同点。

（三）考核要求
1．迭代原理、迭代过程收敛条件与收敛速度达到领会层次。

2．迭代过程的加速方法与埃特金公式达到识记层次。

3．牛顿迭代法的公式与算法达到应用层次，并能编程进行解题计算 4．正割法达到识记层次
（四）常见例题
例1：用迭代法求方程x 5－4x －2＝0在]2,1[的最小正根，使敛代误差不超过3102
1
-⨯。

[分析] 若建立迭代格式
))2,1((14
5)(,42)(,42455∈>='-=-=x x x x x x x ϕϕ即，此时迭代发散。

迭代格式)21(54
)
24(54
)(,24)(,245455≤≤<+='+=+=x x x x x x x ϕϕ，此时迭代收敛。

解：建立迭代格式
552+4=2+4=x x x x )(,ϕ 1)),21(5
4
)24(54)(054
=≤≤<
+=
'x x x x 取初始值ϕ(可任取1，2之间的值) ≈6=2+4=5501x x 1.431 0 ≈7247=2+4=5512.x x 1.505 1
≈02048=2+4=5523.x x 1.516 5 ≈0668=2+4=5534.x x 1.518 2
≈07288=2+4=5545.x x 1.5185
345102
1
5182.15185.1-⨯<
-=-x x ∴取≈*x 1.5185
例2：应用牛顿法试导出一个求n
a x =
迭代求解公式。

解：显然n
a x =为方程a x x f n
-=)(的根,于是有迭代法 ,1,0,1
1
=--=-+k nx a x x x n k
n k k k
例3：利用适当的迭代格式证明：
2222lim 2
=+++∞→
个k k
证明：考虑迭代格式 ,1,0,201
0=⎩⎨⎧
+==+k x x x k k
则：21=
x ，222+=x ，
2
222,个k k x +++=
x
x x x +=+=221)(,2)('ϕϕ，当]2,0[∈x 时，]2,2[)]2(),0([)(=∈ϕϕϕx ；
12
21)0()(''<=
≤ϕϕx ，因此迭代收敛。

例4：迭代法211
32k
k k x x x +=+收收敛于3*3=x ，此迭代式是 阶收敛 解：2132)(x
x x +=ϕ，3'232)(--=x x ϕ，031232)(*
'=⋅-=x ϕ，
4''6
)(x x =ϕ，03
2336)(33*''≠=⋅=x ϕ，二阶收敛。

例5：)5()(2
-+=x a x x ϕ要使迭代式)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*
=
x ，则a 的取值范
围是 。

解：ax x 21)('
+=ϕ，迭代式收敛即要求05
11521)(*
'<<-
⇒<⋅+=a a x ϕ
例6: 求)(x f x =的根的牛顿迭代格式是 。

解： ,1,0,)
(1)
('
1=---=+k x f x f x x x k k k k k （牛顿迭代式）
例7：应用牛顿迭代法求方程22)3(7--x x ）（的根3±的近似值，其收敛阶为 。

解：3±为方程的重根，因此，收敛阶为1。

例8: 证明：对任何初始值R x ∈0，由迭代式 ,1,0,cos 1==+k x x k k 所产生的序列∞
0}{k x 都收敛于方程x x cos =的根。

证明：x x cos )(=ϕ，则x x sin )('
-=ϕ
01先考虑区间]1,1[-，当]1,1[-∈x 时，]1,1[cos )(-∈=x x ϕ，11sin )('<=x ϕ，故
迭代式 ,1,0,cos 1==+k x x k k 所产生的序列均收敛。

02 对任何初始值R x ∈0，有]1,1[cos 01-∈=x x ，将1x 看成新的迭代初值，则由01知
其必收敛。

例9：试确定常r q p ,,使迭代公式52
21k
k k k x a r x a q px x ++=+产生的序列}{k x 收敛到3a ，
并使其收敛阶尽可能高。

解：迭代函数3
*522,)(a x x a r x a q px x =++=ϕ，根据高阶收敛定理，要使迭代序列收敛
的阶尽可能高，应使)(**x x ϕ=，0)(,0)(*
''*'==x x ϕϕ
由)(*
*
x x ϕ=得：3
5
2
3
2
3
3
a
a r
a
a
q
a p a ++=，即1=++r q p ；
由0)(*'=x ϕ得：0)
(5)
()(6
3
23
3
3
'=--=a a r
a a
q p a ϕ，即052=--r q p
由0)(*
'
=x ‘ϕ得：0)
(30)
(6)(7
3
24
3
3
'=+=a a r
a a q
a ’ϕ，即05=+r q
综上可得r q p ,,满足方程⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=--=++0
50521
r q r q p r q p ，从而91,95-===r q p ，而且
0)(*'''≠x ϕ，故迭代公式具有三阶收敛性。

例10: 用弦截法求方程x 3－x 2－1＝0，在x =1.5附近的根，取2,110==x x 。

保留5位小数点计算至6x 。

解 f (x )= x 3－x 2－1，f (1)=－1，f (2)=3，有根区间取[1，2]。

迭代公式为: )()
()()
(111--+---
=k k k k k k k x x x f x f x f x x (k =1，2，…)
251≈1⨯43
-2=-+--1---=012
302131213112.)(x x x x x x x x x x ≈2-251⨯2+2-251-2511
-251-251-
251=2
323233).(.....x 1.37662 ≈251-376621⨯251+251-376621-3766211
-376621-376621-
376621=2
323234)..(.......x 148881 ≈376621-488811⨯37662
1+376621-488811-4888111
-488811-488811-488811=2
323235)..(.......x 146348 ≈488811-463481⨯48881
1+488811-463481-4634811
-463481-463481-463481=2
323236)..(.......x 1.46553 取≈*
x 1.46553，f (1.46553)－0.000145
例11: 对0,)(3
=+=x x x x ϕ为)(x ϕ的一个不动点，验证)(1k k x x ϕ=+的迭代对00≠x 不收敛，但改用Aitken 方法却是收敛的。

证明：由于2
'
31)(x x +=ϕ，当0≠x 时，1)('
>x ϕ，且有
ξξϕϕ,00)(0)(0'1->-⋅=-=-+k k k k x x x x 在k x 与0之间，
若00≠x ，1>L 时，迭代不收敛。

若改用Aitken 方法，可得32)0(,3
3)('
2
41=++-==+ψψk k k k k k x x x x x x ，据局部收敛定理知，知其局部收敛于不动点0。

例12：设0>a ，利用Newton 法求平方根a ，并证明迭代公式对00>∀x 均具二阶收阶性．．．．．。

解：令0)(2
=-=a x x f .
a 即0)(=x f 的根，则Newton 公式为：
)(211
k
k k x a
x x +=+ 无论a x <<00或a x >0时均有:02)(0
2
01>-=-x a x a x ，即a x >1
假设任意a x k >，02)(2
1>-=-+k
k k x a x a x ，a x k >∴+1,即从1=k 开始
a x k >，且 02)
(2
1<-=
-+k
k k k x x a x x }{k x 从1=k 起是一个单调递减有下界．．．．．．．
的序列，由数列收敛定理知｛k x ｝有极限*
x .令∞→k 可得a x =*
，这就说明了只要00>x ，迭代总收敛到a ,且是二阶收敛.
注：（1）是计算机上求的实用算法：每步迭代（一次除法 + 一次加法 + 一次移位），
计算量少，收敛快。

（五）课后习题
5.1 为求方程012
3=--x x 在区间]6.1,3.1[内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。

(1) 1-1
=1
-1
=
1+2k k x x x x :,迭代公式
（2）21+2
1+1=1
+1=k
k x x x x :,迭代公式
(3) 3
121+23+1=+1=/)(:,k k x x x x 迭代公式
(4) 1
+++1==1-2
21
+2
3k k k
k x x x x x x :,迭代公式 5.2 考虑求方程0123cos 2=+-x x 根的迭代公式 ,2,01,cos 3
2
41=+=+k x x k k 试证：对R x ∈∀0，该方法收敛，且收敛阶为１。

5.3 设有方程0)(=x f ，其中设)('x f 存在，且对一切x 值满足M x f m ≤≤<)(0'
，构造迭代过程 ,1,0),(1=-=+k x f x x k k k λ，λ为常数），试证明当λ选取为M ≤<λ0的任意数时，对任意选取的初值0x ，上述迭代过程收敛。

5.4 选取常数λ使得)1/()sin 1(1λλ+-+=+k k k x x x 成为求0sin 1=--x x 在5
.00=x
附近的根的快速收敛过程。

5.5 求方程0)(=x f 根a ，可选取迭代函数)()(x cf x x -=ϕ，其中0≠c 可选常数，如果
0)('≠a f ，为使迭代过程收敛于a ，应如何选取c ？
5.6 设2
3)()(a x x f -=
（1） 写出解 0)(=x f 的Newton 迭代格式 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的
5.7 设法导出计算)0(1>a a
的Newton 迭代公式，并要求公式中既无开方运算，又无除
法运算。

（六）补注
（1）不动点迭代通常只有线性收敛，甚至不收敛，为加速收敛性可采用Aitken 加速迭代.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)()(),(21ϕϕ （*） 或 k
k k k k k k x x x x x x x +---=+)(2))((])([2
1ϕϕϕϕ（**）
称为（*）或（**）式为Aitken 迭代法
特点：是将原不动点迭代计算两次合并成一步，改为另一种不动点迭代法
)(1
k k x x ψ=+， ,1,0=k ，其中迭代函数为：x
x x x x x x +---
=)(2))((])([)(2
ϕϕϕϕψ
定理6 当)(x ϕ在不动点*
x 处可导且1)(*'≠x ϕ时，)()(****x x x x ψϕ=⇔=
（或称)(x ϕ与)(x ψ有相同的不动点*
x ）
证明：""⇒（必要性）
x
x x x x x x +---
=)(2))((])([)(2
ϕϕϕϕψ(后部分为00型，不能直接代入求解) 1)(*'≠x ϕ,)(*
*x x ϕ=
∴1)(2)())((]
1)([])([2lim )(2))((])([lim '''
'2**+-⋅-⋅-=+--→→x x x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 01
)()(]1)([]1)([])([*'**2
*'*'**=--=--⋅-=x x x x x x x ϕϕϕϕϕ 从而有：*2*
})(2))((])([{lim )(*x x
x x x x x x x x =+---=→ϕϕϕϕψ
""⇐（充分性），若)(**x x ψ=,由
*
**2
***
*
)(2))((])([)(x x x x x x x +---
=ϕϕϕϕψ)
(0])(2))(()][([])([*******2**x x x x x x x x x ϕϕϕϕψϕ=⇒=+--=-⇒
（2）若*
x 是0)(=x f 的m 重根，)()()(*x g x x x f m
-=,0)(*
≠x g ,2≥m 从而有：
　)()()()()('*1*'x g x x x g x x m x f m m -+-=-
若令)()()('x f x f x =μ，则)
()()()()()('
**x g x x x mg x g x x x u -+-=,则*x 是0)(=x u 的单根
证明：若*
x 是)
()()()()()('
**x g x x x mg x g x x x u -+-=的)2(≥n 重根，则)(x u 必含因式n
x x )(*-，当然也必含因式2
*)(x x -，从而*
)()(x
x x u x h -=)()()()('*x g x x x mg x g -+=必含因式)(*
x x -，即0)(*
=x h ；而同时01
)()()(***
≠==m
x mg x g x h ，矛盾从而假设不真，得证。

（2）换个角度来看Newton 迭代法：
用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？不管非线性方程0)(=x f 的形式如何，总可以构造：
)()()(x f x k x x x -==ϕ，0)(≠x k （*）
作为方程求解的迭代函数。

因为：)()()()(1)('
'
'
x f x k x f x k x --=ϕ，而且)('x ϕ在根*
x 附近越小，其局部收
敛速度越快，故可令
0)()(1)()()()(1)(*'**'***'*'=-=--=x f x k x f x k x f x k x ϕ 若0)(*'≠x f （即*
x 不是0)(=x f 的重根），则：
)(1)(*'*x f x k =，故可取)(1)('x f x k =代入（*）,得：)
()
('x f x f x x -=
从而有牛顿迭代公式： ,1,0,)
()
('
1=-
=+k x f x f x x k k k k
第六章 线性方程组的数值解法
（一）知识点
1．雅可比迭代公式和高斯—塞德尔达代公式的建立方法、迭代公式的矩阵表示形式 2．向量范数与矩阵范数的概念及其计算方法 3．迭代收敛的充分条件
4．对角占优方程组满足的条件及其收敛特性 5．选主元的基本思想、必要性和选主元的算法流程 6．追赶法及其代数基础
7．方程组的病态的衡量和余量法进行精度分析时应注意的事项 （二）学习要求
理解线性方程组的雅可比迭代公式和高斯—塞德尔迭代公式的建立和它们的矩阵表示形式。

学习向量和矩阵的范数概念，由此搞清雅可比迭代和高斯—塞德尔迭代的收敛条件。

学习消元和回代的原理，搞清约当消去法和高斯消去法算法流程和选主元的必要性与选主元的算法流程，并设计其计算程序。

了解三对角方程组及其作追赶法求解的条件与计算公式。

了解方程组的性态、搞清检验方程组病态的方法和对方程组近似解进行精度分析的方法及应注意的问题。

（三）考核要求
1．向量范数和矩阵范数达到识记的层次。

2．雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代达到应用层次。

3．迭代收敛性与对角占优方程组达到识记层次。

4．约当消去法和高斯消去达到应用层次，并能编写计算程序。

5．选主元算法达到识记层次。

6．追赶法及其代数基础达到识记层次。

7．方程的性态分析与解的精度分析达到领会层次。

（四）典型习题及补充讲解
例1 用顺序消去法解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧1
-=4+2+4=+2+31-=4++2321
321321x x x x x x x x x
解：顺序消元
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡17-1700555-5001-41
2−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡50-2510555-5001-412−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1-42141231-412=51-⋅+2⋅1-⋅+3-⋅+232
1312......]b A [).()()()(r r r r r
r r
于是有同解方程组：⎪⎩
⎪
⎨⎧17-=1711=10-50-=2+50+332321x x x x x x .. 回代得解： x 3=－1， x 2=1，x 1=1。

原线性方程组的解为X ＝(1，1，－1)T 。

例2：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=1221a A ，当a 满足 时，顺序高斯消元能进行到底；当a 满足
时，方程组b Ax =可用顺序高斯消去法求解。

解：1-≠a ；1-≠a 且3≠a
例3：以二元线性方程组⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2122211211
b b a a a a 为例，说明Gauss 消去法求解时为什么要选主元？ 解：⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⋅-⋅-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡121122212111221222112110b l b b a l a a a r l r b b a a a a ，其中1121
a a l = 若12a 有误差1ε，1
b 有误差2ε，则Guass 消去结果如下：
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-⋅-+⋅-⋅-+⨯-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++2122
11122211211122212221
11211
εεεεεεl b l b b l a l a a a r l r b b a a a a
比较以上两式知第一行的误差1ε，2ε放大了l 倍传到第二行，当111<<a ，则可能
1>>l ，误差放大了，且有可能造成大数吃小数现象。

因此消元时应使111
21
〈a a l =
例4：设A 为n 阶非奇异矩阵，且有三角分解LU A =，其中L 为单位下三解阵，U 为上三角阵，求证：A 的所有顺序主子式均为零。

分析：因为要证A 的所有顺序主子式均不为零，故把LU A =按分块的形式写出比较好，再由A 的非奇异性即可推证。

证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kk k k k k k k kk k k k k k u u u u u u U l l l L a a a a a a a a a A 222112112121212222111211,111, 将LU A =按分块形式写出则有：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22122221
222112U O U U L L O L A A A A k k
k 从而由矩阵的分块乘法有：),,2,1(n k U L A k k k == 因为n n n U L A A ==非奇异，故：
0det det det det 2211≠⋅==⋅=nn n n n u u u U U L A
从而0det det det det 2211≠⋅==⋅=kk k k k k u u u U U L A ，即k A 非奇异，A 的所有
顺序主子式均为零。

例5：非奇异矩阵不一定都有LU 分解。