相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典

教师辅导教案
授课日期：年月日授课课时：课时
ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D
====''''''''（k 为相似比）．
4．相似三角形周长的比等于相似比．
ABC △与A B C '''△相似，则有
AB BC AC
k A B B C A C ===''''''
（k 为相似比）
．应用比例的等比性质有
AB BC AC AB BC AC
k A B B C A C A B B C A C
++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得
21
212
ABC A B C BC AH
S BC AH
k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''
''''⋅⋅△△．
二、相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．
5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两
个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
三、相似证明中的基本模型
A 字形
图①A 字型，DE//BC ;结论：
AD AE DE
AB AC BC
==，
【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）
已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF ∥AC，
求证：△ADE∽△DBF．
证明：①又∵DF∥AC，
②∵DE∥BC，
③∴∠A=∠BDF，
④∴∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△DBF．
A．③②④①B．②④①③C．③①④②D．②③④①
【解答】证明：②∵DE∥BC，
④∴∠ADE=∠B，
①又∵DF∥AC，
③∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．故选：B．
【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以
1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8
或秒时，△CPQ与△ABC相似．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：
AE AD DE
==
AC AB BC
【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）
A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B
【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当=即=时，△ABC∽△AED．
故选：A．
【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当
∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB
满足时，△ACP与△ABC相似．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ACP与△ABC；
故答案为：B；．
【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=
∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．
【解答】解：当∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
故答案为∠ADE=∠B．
【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求
证：△ABC∽△BCD．
【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC
∽△ACD．
【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．
【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，
∴=
在△ABC与△ADE 中
∵=，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．
【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
图③双A字型
【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由
（2）若=，求的值．
【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴△ABC∽△AED．
∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，
∴△AEG∽△ABF．
∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△ACF．
（2）∵=，
∴=，
∵△ADG∽△ACF，
∴==．
【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG 与GF 的比．
【解答】解：（1）△ADG ∽△ACF ，△AGE ∽△AFB ，△ADE ∽△ACB ； （2）∵==，=，
∴
=
，
又∵∠DAE=∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴∠ADG=∠C ， ∵AF 为角平分线， ∴∠DAG=∠FAE ∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，
∴
=2．
图④内含正方形A 字形，结论
AH a a
AH BC
-=（a 为正方形边长）
【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一
边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交
点为M．
（1）求证：=；
（2）求这个矩形EFGH的周长；
（3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=；
（2）解：设HE=x，HG=2x，
则=，解得x=12，
∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）；
（3）存在．
当HE=a，则=，
∴HG=﹣a+30，
∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a2+30a，
当a=﹣=时，S矩形HEFG最大，
即当HE=cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．
【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍
的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在。