运用复数的几何意义求动点轨迹

运用复数的几何意义求动点轨迹
复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．坐标原点O 到点Z 的有向线段可以理解为复数z=a+bi （a ，b ∈R ）所表示的向量。

如此以来，复数问题与解析几何问题就建立了联系，有些解析几何问题，如轨迹问题转化为复数问题来思考就显得更形象直观。

例1. 若复数满足，求复数在复平面内对应的点所表示的曲线。

z z z i z ||||--+=1422
分析：欲求点的轨迹，在难以直接由条件作出判断的情况下，一般先求出轨迹方程，再由方程的特征判断轨迹是何种曲线，而此处的求轨迹方程的已知条件是关于复数的等式（即方程），需设出z 的代数形式x ＋yi （即设出动点的坐标），才能把复数形式的方程化为我们熟悉的轨迹方程F(x ，y)＝0。

解：设，，代入已知等式，得z x yi x y R =+∈() |()||()|x yi x yi i +--++=1422 [()][()]x y x y -+-++=1142222 整理，得x y ++=20
∴复数在复平面内对应的点的轨迹是一条直线。

z
例2. 若复数Z 满足∣Z ∣=1，求复数2Z+3－4i 对应的点的轨迹。

分析：若设复数2z ＋3－4i 对应的点为W(x ，y)，显然x ，y 是随着z 对应的点Z 的坐标的变化而变化的，即点W 与点Z 是一对相关点，且已知点Z 的运动有规律（Z 在以原点为圆心，以1为半径的圆上），因此联想到求轨迹方程的相关点法，需设出点Z ，W 的坐标，然后列出它们的关系式，进而代入消去点Z 的坐标，而得到点W 的轨迹方程，进而可判断其轨迹。

解：设，，另设复数，且，z a bi a b R z i x yi x y R =+∈=+-=+∈()()ωω234 则x yi a bi i a b i +=++-=++-2342324()()() 由复数相等，得x a y b a x b y =+=-⎧⎨⎩⇒=
-=+⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪232432
42
||z a b =∴+=1122，
∴-++=(
)()x y 3242
12
2，即()()x y -++=34422 它表示以（，）为圆心，以为半径的圆342-。

评 注：本题也可不必设出点Z ，点W 表示的复数，而直接由复数z 与ω之间的关系，求得复数形式的轨迹方程。

解法如下：
设，则ωω=+-=
-+2341
2
34z i z i ()
||()|z i =∴|-+=11
2341，ω
即|()|ω--=342i
这就是所求的轨迹方程，由方程特征，易知ω对应的点的轨迹是以（3，－4）为圆心，以2为半径的圆。

设复数z 1，z 2分别对应的向量为 OZ 1，OZ 2
，则以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角
线向量 表示复数z 1＋z 2，根据向量相等的概念，还可按如下方式理解复数之和：
首尾相接的两个向量 OZ 1，Z 1Z 分别表示复数z 1，z 2，则 表示复数z 1＋z 2，以上的平行四边形法
则或三角形法则就是复数加法的几何意义，它与物理学上的力的合成分解的平行四边形或三角形法则有着相同的本质。

如此以来，也可以把向量的加法转化成复数的加法。

OZ 1，OZ 2
Z 1Z 2 z i 对应的点的轨迹是以复数对应的点为圆心，以为半径的圆。

-+11 而|z|则表示该圆上的点到原点O 的距离 画出方程∣Z+1－i ∣=1表示的轨迹见图
由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC 与圆的交点处。

∴|
例4. D 点的坐标。

化为复数问题加以研究求解。

欲求点D 的坐标，只需求出点D 表示的复数，即向量 表示的复数，注意到 ＝OC ＋CD ，而 表示的复数，即点C 表示的复数， 表示的复数，即与其相等的向量
表示的复数，而 ＝OA －OB ，这就与已知建立了联系，问题得解。

这充分体现了复数运算的几何意义的应用。

解：设点对应的复数为，，D z x yi x y R =+∈()
A B C D 为正方形，∴=
而 表示的复数为()()1223+--+=+i i i ， 即 表示的复数为3+i 又 ＋CD
∴OD 表示的复数为()()--++=-1232i i i 即点表示的复数为D i 2-， ∴-点的坐标为，D ()21
评 注：如果注意到已知条件中OA 与OC 关于原点对称的关系，则可知原点O 是正方形的中心，从而推知与关于原点O 对称，所以表示的复数就是表示的复数的“相反数”（借用实数集内概念），即--+=-()22i i ，从而D()21，-。