人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切

二次函数与相切
1.如图，抛物线2y ax bx c ＝＋＋经过点(00)O ，，(34)A ，和(110)C ，，点(0)P t ，是x 轴上的一个动点，连接AP ，取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90︒得线段PB ，连接AB 、BC 、AC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，点B 在此抛物线上；
（3）在点P 运动过程中，是否存在ABC ∆为等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在点P 运动过程中，若以PB 为直径的圆与直线AC 相切，直接写出t 的值．
解析：（1）设该抛物线的解析式为1()1y ax x -＝，把(34)A ，代入
得331(4)1a -＝，解得16
a =- ∴1(11)6y x x =--，即211166
y x x =-+
（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，
垂足为D 、E
∵90APB ∠︒＝，∴90APD BPE ∠∠︒＋＝
∵90APD PAD ∠∠︒＋＝，∴BPE PAD ∠∠＝
又∵90PEB ADP ∠∠︒＝＝，∴PEB ADP ∽
∴PE BE PB AD PD AP ==，即1432
PE BE t ==- ∴2PE ＝，132BE t =-，∴3(2)2t B t -+， 把B 点坐标代入抛物线的解析式，得
21113(2)(2)662
t t t --+++= 整理得：24270t t --＝，
解得：231t =+或231t =-
∴当231t =或231t =-时，点B 在此抛物线上
（3）存在
∵(34)A ，，3(2)2
t B t -＋，，(110)C ， ∴2
223()()214A t B t ---＝＋，2223(()29)BC t t --＝＋ 2228480AC ＝＋＝ 若AB AC ＝，则223(1)(4)802t t --+-=，解得4335
t ±＝∴14(330)5P ＋，，24(330)5
P -， 若AB ＝BC ，
则222233(14)()29()()2t t t t -----＋＝＋
解得133t ＝，∴313(0)3
P ， 若AC BC ＝，则22803()()92t t --＝＋，解得394915
t ±= ∴439491(0)5P +，，539491(0)5
P -，
（4）18131
t =或11t ＝
提示：设PB 的中点为N ，过点N 作NF
x ⊥轴，交AC 于G ，作NH AC ⊥于H ∵(34)A ，，(110)C ，
，∴4AD ＝，8CD ＝，45AC ＝∵(0)P t ，，3(2)2t B t -+，，∴3(1)4t N t -+， ∴1OF t ＝＋，1PF ＝，34t NF -＝
， ∴11110()CF OC OF t t ---＝＝＋＝,
2211(3)16PN t =+- 由Rt CGF Rt CAD ∆∆∽， 得11522
GF CF t -＝＝ ∴1315(233)244
t NG GF NF t t ----=-＝＝ ∵GF AD ∥，∴NGH CAD ∠∠＝
又∵90GHN ADC ∠∠︒＝＝，∴GHN ADC ∆∆∽
∴NH NG
CD CA =，即1
(233)4845
t NH -=，∴(233)25NH t -＝ ∵以PB 为直径的圆与直线AC 相切，∴NP NH ＝
∴22111+(3)(233)1620
t t -=- 整理得：23152219910t t -＋＝，解得：18131
t =或=11t
2.如图，在平面直角坐标系中，点(6
0)A -，、点(04)C ，，四边形OABC 是矩形，以点O 为圆心的O 过点(30)D ，，
点P 从点O 出发，沿O C B A ---以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，AP 与O 相切？
（2）当直线AP 将O 的周长分成1:2的两部分时，求t 的值；
（3）直线l 为AP 的垂直平分线，垂足为E ．当点P 在OC 、BA 上运动时，是否存在点P ，使直线l 与O 相切？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．
解析：
（1）设AP 与O 相切于点F ，连接OF 则OF AP ⊥，∴22226(3)33AF OA OF -=-=＝
由AOF APO ∆∆∽得：OF AF OP AO
= ∴3336OP =，∴61111
OP ＝ ∴当61111
t =时，AP 与O 相切 （2）
设直线AP 交O 于M 、N ，O 与x 轴交于另一点F
连接OM 、ON 、MF 、ND ，作OI
MN ⊥于I ∵直线AP 将O 的周长分成1:2的两部分
∴120MON ∠︒＝，∴60MOI NOI ∠∠︒＝＝
∴122OI OM =＝
，322
MI =＝ ∴23MN MI ＝＝
设AM x =，则3AN x =＋
∵180AMF FMN ∠∠︒＋＝，180ADN FMN ∠∠︒＋＝
∴AMF ADN ∠∠＝
又MAF DAN ∠∠＝，∴AMF ADN ∆∆∽ ∴AM AD AF AN =
63x +=+ 整理得：23330x x -+＝
解得：132x --=（舍去）
，232
x -+＝
∴322
AI x +=＝ 由OIP AIO ∆∆∽得：OP AO OI AI
=
22
=
，∴47OP =
即47t =
（3）
设直线l 与O 相切于点H
i ）当点P 在OC 上时，连接OH ，
直线l 与x 轴相交于点G
设OG x ＝，AE y ＝，则6AG x -＝，2AP y ＝
由AGE OGH ∆∆∽得：AE OH AG OG = 即36y x x
=-① 由AGE APO ∆∆∽得：AE AO AG AP
= 即662y x y
=-② 由①②得：
362x y =，即33x y =，代入②并整理得： 23180y -=＋，解得：133y =-，223y =∴2222(2)6(43)623OP
y =-=-= 即23t =
ii ）
当点P 在BA 上时，则四边形OAEH 是矩形 ∴3AE OH ＝＝，∴223AP AE ＝＝ ∴4642
31423t -=-＝＋＋ 综上所述，当23t
=或1423-时，直线l 与O 相切 3.矩形ABCD 内接于O ，将ADC ∆沿AC 翻折，点D 落在O 上点E 处，连接BE ．
（1）如图1，判断四边形AEBC 的形状，并说明理由；
（2）如图2，PA 是O 的切线，切点是A ，交CB 的延长线于点P ．动点M 从点P 出发，以2cm/s 的速度沿射线PC 的方向运动，以点M 为圆心，PM 长为半径作圆，设点
M 运动的时间为t （秒）．若O 的直径为5，34
AB PB =． ①当t 为何值时，M 与直线BE 相切；
②根据M 与线段AC 公共点的个数，直接写出相应的t 的值或取值范围．
解析：（1）四边形AEBC 是等腰梯形，理由如下：
连接EC
由题意，AE AD BC ==，
EAC DAC ACB ∠=∠=∠
∵ABE
ACE ∠=∠，EAB ECB ∠=∠ ∴ACE BAC ∠=∠，∴ABE BAC ∠=∠ ∴BE AC ∥，∴四边形AEBC 是等腰梯形
（2）
①设M 与直线BE 相切于点F ，连接MF
则BF MF ⊥
∵
O 的直径为5，∴5AC ＝
易证ABC PBA ∆∆∽，∴
3
4
BC AB AB PB == 设3BC m ＝，则4AB m ＝ 在Rt ABC ∆中，2
2234()
()5m m ＋＝
解得1m ＝，∴3BC ＝，4AB ＝，16
=
3
PB ∵PA 是O 的切线，∴90PAB BAC ∠∠︒＋＝
∵ABF BAC ∠∠＝，∴90PAB ABF ∠∠︒＋＝
∴BF PA ⊥，∴MF PA ∥，∴BMF P ∠∠＝
∴MFB PBA ∆∆∽，∴MFB ABC ∆∆∽
∴
4
5
MF AB MB AC ==
∵2MF MP t ＝＝，∴
2416
523
t t =
-，解得32=27
t ∴当32
=27
t 秒时，M 与直线BE 相切
②当
M
与线段AC 公共点的个数是0个时，50
027
t ＜＜
或2512t ＞
当
M
与线段AC 公共点的个数是1个时，50=
27
t 当
M 与线段AC 公共点的个数是2个时，
50252712
t <≤
4.如图，直线35y x -＝-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴正半轴交于点C ，与y 轴负半轴交于点D ，且9
5
OC OB ＝
，45OCD ∠︒＝．点(0)P t ，
为线段OB 上的一个动点，过点P 作x 轴的平行线分别交直线AB 、CD 于点E 、F ． （1）设线段EF 的长为l ，求l 与t 之间的函数关系式； （2）当45EOF ∠︒＝时，求点P 的坐标；
（3）是否存在点P ，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
解析：
（1）在35y x --＝中，令0x ＝，得5y ＝-
∴(05)B -，，5OB ＝
∵45OCD ∠︒＝，∴9
95
OD OC OB =＝＝
∵直线CD 与x 轴正半轴交于点C ， 与
y 轴负半轴交于点D
∴(9
0)C ，，(09)D -，
设直线CD 的解析式为9y kx -＝，把(9
0)C ，代入
099k -＝，∴1k ＝
∴直线CD 的解析式为9y x -＝
在35y x -＝-中，当y t ＝时，53
t x +＝- 在9y x -＝中，当y t ＝时，9x t ＝＋
∴5432
9()(50)335
t l t t t +--
=+-＝＋≤≤ （2）设线段EF 的中点为M ，以EF 为斜边向上作等腰Rt EFN ∆ 以N 为圆心，NE 长为半径作
N
∵45EOF ∠︒＝，∴
N 过O 点
∴22
ON EN EF ＝＝
，∴2
212ON EF ＝ 由（1）知，5
()3
t E t +-
，，(9)F t t +，
， 43233
EF t =+
∴11(
)3t M t +，,11516
()33
t t N ++， ∴2
22
11516(
)()33
t t ON ++=+ ∴222115161432(
)()()33233
t t t +++=+ ∴整理得：2
26150t t -＋＝
解得：13392t -+=（舍去），2339
2
t --＝
∴点P 的坐标为339(0
)2
--，
（3）假设存在
设过D 、E 、F 三点的圆为
H
显然圆心H 是线段DF 的中垂线和线段EF 的中垂线的交点 由题意，EF OC ∥，∴45PFD OCD ∠∠︒＝＝ ∴45HPF ∠︒＝，PDF ∆是等腰直角三角形 ∴线段DF 的中垂线过P 点
设线段DF 的中垂线交x 轴于G ，直线GH 的解析式为y kx t ＝＋ ∵45OCD ∠︒＝，∴45OGP ∠︒＝ ∴(0)G t
，，代入y kx t ＝＋，得1k ＝-
∴直线GH 的解析式为y x t +＝-
设线段EF 的中点为M ，H 与x 轴相切于点K
由（2）知11
(
)3
t M t +， 把113t x +=
代入y x t =-＋，得211
3t y -= ∴11211(
)33
t t H +-， 由DH KH ＝，得22
211211211()(9)()333
t t t +--++=
整理得：2
1302560t
t ＋＋＝，解得：12t ＝-，22=18t -（舍去）
∴存在点(02)P -，，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切
5.如图，抛物线l 交x 轴于点(30)A -，，(10)B ，，交y 轴于点(03)C ，－，将抛物
线l 沿y 轴翻折得抛物线1l ． （1）求1l 的解析式；
（2）在1l 的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点1A 及C 两点的距离差最大，并说出理由
（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l 于E 、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．
解析：
（1）由题意知，抛物线l 上的点A 、B 、C 关于y 轴的对称点为1(3
0)A ，，1(10)B -，，
(03)C ，-
设1l 的解析式为2
(0)y ax
bx c a ≠＝＋＋
则309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12
a b =⎧⎨=-⎩ ∴l 1的解析式为2
23y x
x --＝
（2）1l 的对称轴为1x ＝，P 在直线1x ＝上，故1
1PA PC PB PC --＝
当点P 与点1B 、点C 不在一直线上时，1PB C ∆中，11PB PC B C -＜当点P 与点1B 、
点C 在一直线上时，这些线段间关系为：111PA PC PB PC B C --＝＝
故此时点P 到1A 、C 两点的距离差最大 设1B C 的解析式为3y kx -＝，将1(10)B -，代入上式得3k ＝-
∴直线1B C 的解析式为33y x -＝-
而直线33y x -＝-和直线1x ＝的交点即为P
由
1
33
x
y x
=
⎧
⎨
=--
⎩
得
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴(16)
P，-即为所求
（3）
设
1
()
E x y
，，
2
()
F x y
，，所求圆的半径为r，由图可知
21
2
x x r
－＝
∵对称轴为1
x＝，∴
12
2
x x
＋＝
由21
12
2
2
x x r
x x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
得
2
1
x r
＝＋，即(1)
F r y
＋，
将(1)
F r y
＋，代入
1
l的解析式223
y x x
--
＝
得2
()1213
()
y r r
--
＝＋＋，即24
y r-
＝
∵圆与x轴相切，∴r y
±
＝
当0
y＞时，240
r r
--＝，解得
1
117
2
r
+
＝，
2
117
2
r
-
＝（舍去）
当0
y＜时，240
r r-
＋＝，解得
1
117
2
r
-+
＝，
2
117
2
r
--
＝（舍去）
故所求的圆有两个，在x轴上方的圆半径为
117
2
+
，在x轴下方的圆半径为
117
2
-+
M，，半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，6.已知过原点O的两条直线与圆心为(04)
N，，且与x轴交于A、B PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为(06)
两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
＝与抛物线交于不同的两点C、D，当该直线与M相切时，求点A、B、（3）直线y m
C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
解析：（1）∵直线与M相切于P、Q
∴90MPO ∠︒＝，OM PQ ⊥
∵2MP ＝，4OM ＝，∴30MOP ∠︒＝，23OP ＝
∴3KP ＝，3KO ＝
∴(33)P ，
（2）
设抛物线解析式为2
6y ax
＝＋，把点(33)P ，
代入得： 336a ＝＋，∴1a ＝－
∴抛物线解析式为2
6y x =-＋
（3）令2
60x
-＋＝，解得16x ＝-，26x ＝
∴(60)A -，，(60)B ，，∴26AB ＝
当直线y m ＝与
M
相切时，2m ＝
令2
62x
-＋＝，解得12x =-，x 2
＝2
∴(20)D -，，(20)C ，，∴4CD ＝
∴11()(264)226422
ABCD S AB CD m +⋅=+⨯=+四边形＝
7.已知抛物线2(317)4y ax
a x a +--＝＋（0a ＞）恒过定点E 、F （E 在F 的左
侧）．
（1）求E 、F 两点的坐标； （2）点D 在直线EF 下方的抛物线上，当DEF ∆面积的最大值为
1258时，求抛物线的解析式；
（3）若经过点F 的
P 始终与x 轴相切，设()P x y ，，求y 与x 的函数关系式，并求点P 到点(44)，距离的最小值．
解析：（1）
∵23147()()()147y ax a x a a x x x +-++---＝＝＋
对于任意实数a ，当1x ＝-时，8y ＝；当4x ＝时，3y ＝
∴抛物线恒过定点(18)-，和(43)，
∵E 在F 的左侧，∴(1
8)E -，，(43)F ， （2）设直线EF 的解析式为y kx b ＝＋
∴843k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得17
k b =-⎧⎨=⎩
∴直线EF 的解析式为7y x =-+
过点D 作DC y ∥轴，交直线EF 于点C
设(7)C x x -+，，则2(3147))(D x ax a x a +--，＋
∴CD ＝2 73[()]147x ax a x a -+-+-+-234ax ax a ++=-
∴DEF DEC DFC S S S =+=11(1)(4)22
CD x CD x ⋅++- ＝25(34)2ax ax a -+-25151022
ax ax a =-++ ∵DEF ∆面积的最大值为1258
∴25154()10()12522584()2
a a a a ⨯-⋅-=⨯- 解得1a ＝
∴抛物线的解析式为243y x
x -+＝
（3）
∵(43)F ，，()P x y ，
， P 过点F 且与x 轴相切
∴y PF ＝，∴222(()43)y x y =--＋
即21425636
y x x =-+ 设点()P x
y ，到点(44)，的距离为d 则22222()()(44432))+7(d x y x y y +=-+----＝
22()2716y y y =+=--＋
∴2d 的最小值为6
∴d 的最小值为
6
8.如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆和OCD ∆是两个全等的直角三角形，90OBA CDO ∠︒＝＝，OB CD ＝，直角边OB 、OD 在x 轴上，点C 的坐标为(42)--，，抛物线2y ax bx c ++＝经过O 、A 、C 三点，与x 轴的另一个交点为E ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F 为线段OC 上一动点（不与O 、C 重合）
，过点F 作y 轴的平行线交抛物线于点G ，连接BF 、AG ，当四边形ABFG 为等腰梯形时，求点F 的坐标；
（3）在抛物线的EC 段上（包括C 点）是否存在点P ，使P 既与x 轴相切，又与直线CO 相交？若存在，求点P 横坐标P x 的取值范围，若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵Rt AOB Rt OCD ∆∆≌，(4
2)C --，，OB CD ＝ ∴2OB CD ＝＝，4AB OD ＝＝
∴(24)A --，，(20)B -，
∵抛物线2y ax bx c +=+经过点(00)O ，
∴0c ＝，∴2y ax bx +＝
∵抛物线过A 、C 两点
∴4241642
a b a b -=-⎧⎨-=-⎩解得34a ＝，72b ＝ ∴抛物线的解析式为237=42
y x x +
（2）
设直线OC 的解析式为y kx ＝
∴24k -＝-，∴12
k ＝，∴12y x ＝ 设1()2F m m ，，则237()42
G m m m +， 作FH AB ⊥于H ，GK AB ⊥于K
∵四边形ABFG 为等腰梯形，∴BH AK ＝
∴||||B H A K y y y y --＝，∴21370=(4)242
m m m -+-- ∴4m ＝－或43
m =- 当4m ＝－时，1(4)22y =
⨯-=-，∴(42)F --， 此时点F 与点C 重合，不能形成等腰梯形
当43
m =-时，142()233y ⨯-=-＝，∴42()33F --，
∴当四边形ABFG为等腰梯形时，点F的坐标为
42
()
33
--
，
（3）
作DOC
∠的平分线OP交CD于Q，交抛物线于P，作QM OC
⊥于M，则QD QM
＝
设QD QM n
＝＝，则2
QC n
-
＝
∵4
OD＝，2
CD＝，∴22
4+2=25
OC＝
易证Rt CQM Rt COD
∆∆
∽，∴
QC QM
OC OD
=
4
25
n
=，∴=458
n-，∴(4845)
Q--
，
易得直线OP的解析式为(52)
y x
-
＝
令2
37
52)
42
x x x
-=+，解得
1
x＝（舍去），
2
522
3
x
-
＝
∵P既与x轴相切，又与直线CO相交
∴点P 横坐标P x 的取值范围为：452243
p x -<≤-
9.如图，直线2y kx k =-+与抛物线2115424
y x x =-+交于A 、B 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ．
（1）证明直线2y kx k -＝＋过定点P ，并求出点P 的坐标；
（2）当0k ＝时，证明AQB ∆是等腰直角三角形；
（3）对于任意的实数k ，是否都存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵2y kx k =-+)2(1k x -+＝
∴当1x ＝时，2y ＝
∴直线2y kx k =-+过定点(12)P ，
（2）
当0k ＝时，直线22y kx k =-+=
交点A 11()x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：
22115424
y y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得1112x y =-⎧⎨=⎩2232x y =⎧⎨=⎩ ∴(12)A -，，(32)B ，
∴222()1321)36(AB -+--＝＝
∵221151(1)14244
y x x x -+=-+＝,，∴(10)Q ， ∴222()(118)20AQ =-+-=-，222()108)32(BQ =+-=-
∴AQ BQ ＝，222AB AQ BQ ＝＋
∴AQB ∆是等腰直角三角形
（3）存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y ＝ 理由如下：
交点11()A x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：
22115424
y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ ∴2113()0424
x k x k -++-= 即2()24430x k x k ++--＝
∴1224x x k ＋＝＋，1243x x k
-＝ ∴22121212)(4()x x x x x x -+-＝
2224443161)()6(k k k =-=-++
222421212 1616()()y y k x x k k -=-=+
12y y ＋12()(
)22kx k kx k =－＋＋－＋12()24k x x k +-=+244k ＝＋ ∴221212()()AB x x y y -+-＝422=16321644k k k ++=+
即以AB 为直径的圆的半径为222k ＋
∵AB 的中点是1212()22
x x y y ++，，即2(2122)k k ++， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为2(2122)k
k ++，
∵圆心到x 轴的距离等于圆的半径
∴存在定直线与以AB为直径的圆相切，此直线即x轴，解析式是0
y＝
10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于(20)
A-，、(20)
B，、(01)
C-
，三点，过坐标原点O的直线y kx
＝与抛物线交于M、N两点．分别过点C、(02)
D-
，作平行于
x轴的直线
1
l、
2
l．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线1l相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN 的长．
解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2
y ax bx c
++
＝
把(20)
A-，、(20)
B，、(01)
C-
，三点坐标代入得
042
042
1
a b c
a b c
c
=-+
⎧
⎪
=++
⎨
⎪-=
⎩
解得
1
4
1
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪=-
⎪
⎩
∴2114
y x =- （2）
设11()M x y ，，22()N x y ，，∵点M 、N 在抛物线上
∴211114y x -＝，222114
y x -＝，∴222(41)x y ＝＋ 又∵2222222222()41)2(ON x y y y y ＝＋＝＋＋＝＋，∴22||ON y ＝＋ ∵21y ≥-，∴22ON y ＝＋
设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F 则2222
OC NP y EF ++=＝，∴2ON EF ＝ 即ON 的中点到直线1l 的距离等于ON 长度的一半
∴以ON 为直径的圆与直线1l 相切
（3）过点M 作MH NP 丄交NP 于点H
则222222121()()MN MH NH x x y y ==-+-＋
又∵11y kx ＝，22y kx ＝，∴2222
121()()y y k x x -=-
∴22221()1()MN k x x =-＋
∵点M 、N 既在y kx ＝的图象上又在抛物线上
∴2114
kx x -＝，即2440x kx --＝，解得2x k ±＝∴2221(16)()1x x k -=+，∴222=(161+)MN k
∴2=41()+MN k
延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作2MS
l ⊥于点S 则1222MS NQ y y ＋＝＋＋＋＝22221212111114()2444
x x x x -+-+=++ 又∵22222122441++=[+()]=+168x x k k k
∴22+=42+2=41++()=MS NQ k k MN
即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长。