(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义: 第三章 三角函数 3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质讲义
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������
(2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3个单位,得
( )������
到函数 y=g(x)的图象,求 g 6 的值. 解析 (1)f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(s2x-(1-2sin xcos x) = 3(1- cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- 3cos 2x+ 3-1
( ) ( ) ������
������
������������ -
������������ -
(1)因为 f(x)=sin 6 +sin 2 ,
3
1
所以 f(x)= 2 sin ωx-2cos ωx-cos ωx
( ) 3
3
1
3
3 sin������������ - cos������������
常考题型 预测热度 2017
填空题 ★★☆
解答题
填空题 ★★☆
解答题
分析解读 江苏高考对本节内容要求较低,近年没有考查.但是复习时仍要以本部分知识为载体,巩固数形结 合思想和函数的相关性质.
五年高考
考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
������������ 1
1
1.(2016 天津文改编,8,5 分)已知函数 f(x)=sin2 2 +2sin ωx-2(ω>0),x∈R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零
故有 10-2sin 12 3 >11,
( ) ������ ������ 1 ������ +
即 sin 12 3 <-2.
7������ ������ ������ 11������
又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 ,即 10<t<18. 在 10 时至 18 时这段时间内实验室需要降温.
2 ·( 3sin x,cos 2x)
1
= 3cos xsin x-2cos 2x
3
1
= 2 sin 2x-2cos 2x
( ) ������
������
������
2������ -
=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin 6 .
2������ 2������
(1)f(x)的最小正周期为 T=|������|= 2 =π,
( )1
cos������, -
8.(2013 陕西理,16,12 分)已知向量 a=
2 ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������
0,
(2)求 f(x)在 2 上的最大值和最小值.
( )1
cos������, -
解析 f(x)=
(1)求 ω; ������
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,
[ ]������ 3������ -,
得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 4 4 上的最小值.
解析 本题考查了 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
( )������
2������ -
=2sin 3 + 3-1.
������
������
������
由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z),
������
5������
得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z).
[ ] ( ( ) ) ������ 5������
������ 5������
������������ - ,������������ +
1
3
=2sin 2x+ 2 cos 2x
( )������
2������ +
=sin 3 . 2������
所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ������ ������
(2)证明:因为-4≤x≤4,
������
������ 5������
所以-6≤2x+3≤ 6 .
( ) ( ) ������
点,则 ω 的取值范围是 .
( ] [ ] 1 1 5
0,
,
答案 8 ∪ 4 8
( ) ( ) ( ) ������
������
������
������������ -
������������ -
2.(2017 山东理,16,12 分)设函数 f (x)=sin 6 +sin 2 ,其中 0<ω<3.已知 f 6 =0.
( )������
������ -
得到 y=2sin 3 + 3-1 的图象,
������
再把得到的图象向左平移3个单位,
得到 y=2sin x+ 3-1 的图象,
即 g(x)=2sin x+ 3-1.
( )������
������
所以 g 6 =2sin6+ 3-1= 3.
5.(2016 北京,16,13 分)已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π.
依题意,������=π,解得 ω=1.(6 分)
( )������
2������ +
(2)由(1)知 f(x)= 2sin 4 .
[ ] ������
������
2������������ - ,2������������ +
函数 y=sin x 的单调递增区间为
2
2 (k∈Z).(8 分)
������
(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
( ) ( ) 3 ������ 1 ������
������ ������
cos ������ + sin ������
������ +
解析 (1)因为 f(t)=10-2 2 12 2 12 =10-2sin 12 3 ,
( ) ������ ������ ������ 7������
������
������
由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z),
3������
������
得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8(k∈Z).(12 分)
[ ] 3������ ������
������������ - ,������������ +
所以 f(x)的单调递增区间为 8 8 (k∈Z).(13 分)
(1)求 ω 的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间.
解析 (1)因为 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx
( )������
2������������ +
= 2sin
4 ,ω>0, (3 分)
2������ ������
所以 f(x)的最小正周期 T=2������=������.(4 分) ������
教师用书专用(6—9)
( )������
������ -
6.(2015 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=sin2x-sin2 6 ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������ -,
(2)求 f(x)在区间 3 4 上的最大值和最小值. 解析 (1)由已知,有
������ ������
������
3
当 x-12=-3,即 x=-4时,g(x)取得最小值-2.
考点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质
( )������
2������ -
1.(2014 陕西改编,2,5 分)函数 f(x)=cos 6 的最小正周期是 .
答案 π
[ ]������ ������ ,
2.(2014 北京,14,5 分)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间 6 2 上具有单调
( ) ( ) ( ) ������ 2������ ������
性,且 f 2 =f 3 =-f 6 ,则 f(x)的最小正周期为 .
答案 π
即函数 f(x)的最小正周期为 π.
������ ������
������ 5������
(2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 .
由正弦函数的性质,知
������ ������
������
当 2x-6=2,即 x=3时, f(x)取得最大值 1.
������ ������
1
当 2x-6=-6,即 x=0 时,f(x)取得最小值-2,
于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8.
故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.
(2)依题意,得当 f(t)>11 时实验室需要降温.
( ) ������ ������ ������ +
由(1)得 f(t)=10-2sin 12 3 ,
( ) ������ ������ ������ +
[ ]������
(2)由(1)得 f(x)= 3sin 3 ,
( ) ( ) ������ ������
������
������ + -
������ -
所以 g(x)= 3sin 4 3 = 3sin 12 .
[ ] [ ] ������ 3������
������ ������ 2������
-,
-,
因为 x∈ 4 4 ,所以 x-12∈ 3 3 ,
������ ������
������ +
又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 ,-1≤sin 12 3 ≤1.
( ) ( ) ������ ������
������ ������
������ +
������ +
当 t=2 时,sin 12 3 =1;当 t=14 时,sin 12 3 =-1.
( )������
2������ -
3.(2017 北京文,16,13 分)已知函数 f(x)= 3cos 3 -2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������
1
-,
(2)求证:当 x∈ 4 4 时, f(x)≥-2.
3
3
解析 (1)f(x)= 2 cos 2x+2sin 2x-sin 2x
或 ������������ - ,������������ + (������ ∈ ������)
所以 f(x)的单调递增区间是 12 12 (k∈Z).
12 12
( )������
2������ -
(2)由(1)知 f(x)=2sin 3 + 3-1.
把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
§3.3 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
考纲解读
考点
1.函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象
2.函数 y=Asin(ωx+φ) 的性质
内容解读
1.利用图象求表达式 2.利用图象求参数
1.求单调区间 2.求值域与最值 3.利用单调性、周期 性、奇偶性求参数
要求 A A
2013
五年高考统计 2014 2015 2016
所以, f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ������ ������
������ ������
������ 1
������ 1 ������ 3
- ,-
-,
-
-
(2)因为 f(x)在区间 3 6 上是减函数,在区间 6 4 上是增函数, f 3 =-4, f 6 =-2, f 4 = 4 ,所以, f(x)
= 2 sin ωx-2cos ωx= 2
2
( )������
������������ -
= 3sin 3 .
( )������
������������ ������
因为 f 6 =0,所以 6 -3=kπ,k∈Z.
故 ω=6k+2,k∈Z,又 0<ω<3,所以 ω=2.
( )������
2������ -
������
1 - cos 2������ -
( ) 1 - cos2������
3 11
3
1
3
1
1
������
cos2������ + sin2������
2������ -
( ) ( ) f(x)= 2 -
2
=2 2
2 -2cos 2x= 4 sin 2x-4cos 2x=2sin 6 .
2������
[ ]������ ������
3
1
-,
在区间 3 4 上的最大值为 4 ,最小值为-2.
7.(2014 湖北,17,11 分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
������
������
f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
������ 1
2������ +
-
所以 sin 3 ≥sin 6 =-2.
[ ]������ ������
1
-,
所以当 x∈ 4 4 时, f(x)≥-2.
4.(2016 山东,17,12 分)设 f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间;
(2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3个单位,得
( )������
到函数 y=g(x)的图象,求 g 6 的值. 解析 (1)f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(s2x-(1-2sin xcos x) = 3(1- cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- 3cos 2x+ 3-1
( ) ( ) ������
������
������������ -
������������ -
(1)因为 f(x)=sin 6 +sin 2 ,
3
1
所以 f(x)= 2 sin ωx-2cos ωx-cos ωx
( ) 3
3
1
3
3 sin������������ - cos������������
常考题型 预测热度 2017
填空题 ★★☆
解答题
填空题 ★★☆
解答题
分析解读 江苏高考对本节内容要求较低,近年没有考查.但是复习时仍要以本部分知识为载体,巩固数形结 合思想和函数的相关性质.
五年高考
考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
������������ 1
1
1.(2016 天津文改编,8,5 分)已知函数 f(x)=sin2 2 +2sin ωx-2(ω>0),x∈R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零
故有 10-2sin 12 3 >11,
( ) ������ ������ 1 ������ +
即 sin 12 3 <-2.
7������ ������ ������ 11������
又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 ,即 10<t<18. 在 10 时至 18 时这段时间内实验室需要降温.
2 ·( 3sin x,cos 2x)
1
= 3cos xsin x-2cos 2x
3
1
= 2 sin 2x-2cos 2x
( ) ������
������
������
2������ -
=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin 6 .
2������ 2������
(1)f(x)的最小正周期为 T=|������|= 2 =π,
( )1
cos������, -
8.(2013 陕西理,16,12 分)已知向量 a=
2 ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������
0,
(2)求 f(x)在 2 上的最大值和最小值.
( )1
cos������, -
解析 f(x)=
(1)求 ω; ������
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,
[ ]������ 3������ -,
得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 4 4 上的最小值.
解析 本题考查了 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
( )������
2������ -
=2sin 3 + 3-1.
������
������
������
由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z),
������
5������
得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z).
[ ] ( ( ) ) ������ 5������
������ 5������
������������ - ,������������ +
1
3
=2sin 2x+ 2 cos 2x
( )������
2������ +
=sin 3 . 2������
所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ������ ������
(2)证明:因为-4≤x≤4,
������
������ 5������
所以-6≤2x+3≤ 6 .
( ) ( ) ������
点,则 ω 的取值范围是 .
( ] [ ] 1 1 5
0,
,
答案 8 ∪ 4 8
( ) ( ) ( ) ������
������
������
������������ -
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2.(2017 山东理,16,12 分)设函数 f (x)=sin 6 +sin 2 ,其中 0<ω<3.已知 f 6 =0.
( )������
������ -
得到 y=2sin 3 + 3-1 的图象,
������
再把得到的图象向左平移3个单位,
得到 y=2sin x+ 3-1 的图象,
即 g(x)=2sin x+ 3-1.
( )������
������
所以 g 6 =2sin6+ 3-1= 3.
5.(2016 北京,16,13 分)已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π.
依题意,������=π,解得 ω=1.(6 分)
( )������
2������ +
(2)由(1)知 f(x)= 2sin 4 .
[ ] ������
������
2������������ - ,2������������ +
函数 y=sin x 的单调递增区间为
2
2 (k∈Z).(8 分)
������
(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
( ) ( ) 3 ������ 1 ������
������ ������
cos ������ + sin ������
������ +
解析 (1)因为 f(t)=10-2 2 12 2 12 =10-2sin 12 3 ,
( ) ������ ������ ������ 7������
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由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z),
3������
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得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8(k∈Z).(12 分)
[ ] 3������ ������
������������ - ,������������ +
所以 f(x)的单调递增区间为 8 8 (k∈Z).(13 分)
(1)求 ω 的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间.
解析 (1)因为 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx
( )������
2������������ +
= 2sin
4 ,ω>0, (3 分)
2������ ������
所以 f(x)的最小正周期 T=2������=������.(4 分) ������
教师用书专用(6—9)
( )������
������ -
6.(2015 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=sin2x-sin2 6 ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������ -,
(2)求 f(x)在区间 3 4 上的最大值和最小值. 解析 (1)由已知,有
������ ������
������
3
当 x-12=-3,即 x=-4时,g(x)取得最小值-2.
考点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质
( )������
2������ -
1.(2014 陕西改编,2,5 分)函数 f(x)=cos 6 的最小正周期是 .
答案 π
[ ]������ ������ ,
2.(2014 北京,14,5 分)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间 6 2 上具有单调
( ) ( ) ( ) ������ 2������ ������
性,且 f 2 =f 3 =-f 6 ,则 f(x)的最小正周期为 .
答案 π
即函数 f(x)的最小正周期为 π.
������ ������
������ 5������
(2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 .
由正弦函数的性质,知
������ ������
������
当 2x-6=2,即 x=3时, f(x)取得最大值 1.
������ ������
1
当 2x-6=-6,即 x=0 时,f(x)取得最小值-2,
于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8.
故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.
(2)依题意,得当 f(t)>11 时实验室需要降温.
( ) ������ ������ ������ +
由(1)得 f(t)=10-2sin 12 3 ,
( ) ������ ������ ������ +
[ ]������
(2)由(1)得 f(x)= 3sin 3 ,
( ) ( ) ������ ������
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������ -
所以 g(x)= 3sin 4 3 = 3sin 12 .
[ ] [ ] ������ 3������
������ ������ 2������
-,
-,
因为 x∈ 4 4 ,所以 x-12∈ 3 3 ,
������ ������
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又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 ,-1≤sin 12 3 ≤1.
( ) ( ) ������ ������
������ ������
������ +
������ +
当 t=2 时,sin 12 3 =1;当 t=14 时,sin 12 3 =-1.
( )������
2������ -
3.(2017 北京文,16,13 分)已知函数 f(x)= 3cos 3 -2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
[ ]������ ������
1
-,
(2)求证:当 x∈ 4 4 时, f(x)≥-2.
3
3
解析 (1)f(x)= 2 cos 2x+2sin 2x-sin 2x
或 ������������ - ,������������ + (������ ∈ ������)
所以 f(x)的单调递增区间是 12 12 (k∈Z).
12 12
( )������
2������ -
(2)由(1)知 f(x)=2sin 3 + 3-1.
把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
§3.3 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
考纲解读
考点
1.函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象
2.函数 y=Asin(ωx+φ) 的性质
内容解读
1.利用图象求表达式 2.利用图象求参数
1.求单调区间 2.求值域与最值 3.利用单调性、周期 性、奇偶性求参数
要求 A A
2013
五年高考统计 2014 2015 2016
所以, f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ������ ������
������ ������
������ 1
������ 1 ������ 3
- ,-
-,
-
-
(2)因为 f(x)在区间 3 6 上是减函数,在区间 6 4 上是增函数, f 3 =-4, f 6 =-2, f 4 = 4 ,所以, f(x)
= 2 sin ωx-2cos ωx= 2
2
( )������
������������ -
= 3sin 3 .
( )������
������������ ������
因为 f 6 =0,所以 6 -3=kπ,k∈Z.
故 ω=6k+2,k∈Z,又 0<ω<3,所以 ω=2.
( )������
2������ -
������
1 - cos 2������ -
( ) 1 - cos2������
3 11
3
1
3
1
1
������
cos2������ + sin2������
2������ -
( ) ( ) f(x)= 2 -
2
=2 2
2 -2cos 2x= 4 sin 2x-4cos 2x=2sin 6 .
2������
[ ]������ ������
3
1
-,
在区间 3 4 上的最大值为 4 ,最小值为-2.
7.(2014 湖北,17,11 分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
������
������
f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
������ 1
2������ +
-
所以 sin 3 ≥sin 6 =-2.
[ ]������ ������
1
-,
所以当 x∈ 4 4 时, f(x)≥-2.
4.(2016 山东,17,12 分)设 f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间;