大学高等数学高数期末考试试卷及答案

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1、设函数3
()1f x x =- ，则
()f x -=（ ）
A.3
1x - B. 3
1x -- C. 3
1x -+ D. 3
1x +
2、函数
y （ ）
A ．3x <
B ．3x ≤
C ．4x <
D ． 4x ≤
3、（ ）中的两个函数相同．
A ．
()f x x = ，()g t = B ．2()lg f x x =，()2lg g x x =
C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =-
D ． sin 2()cos x
f x x
=，()2sin g x x =
4、下列函数中 ( )是奇函数。

A ．3
sin()4x x - B ．1010x x
-+ C ．2
cos x x - D ．
sin x
x
5、1lim(1)n
n n
→∞
-
=（ ） A ． 1 B ．2
e C ．1
e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（ ） A.
1
sin (0)x x x
→ B. (0)x e x → C. ln (0)x x +
→ D. sin ()x x x
→∞
7、设10
()10
x e x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则在0=x 处，)(x f （ ）
A ．连续
B ．左、右极限不存在
C ．极限存在但不连续
D ．左、右极限存在但不相等
8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（ ）
A ．2
B ．3
C ．
23 D ．23
- 9、设()x
f x e =，则[(sin )]f x '=（ ）。

A ．x
e B ．sin x
e
C ．sin cos x
x e
D ．sin sin x
x e
10、下列推导正确的是（ ）
A ．若0dy =，则0y =
B ．若()dy f x dx =，则()y f x '=
C ．若2
2
y x y =+，则(22)dy x y dx =+ D ．若(),()y f u u x ϕ==，则(())dy f x dx ϕ'=
二、解答题（每题10分，共50分） 1、求极限：
（1
）n →∞ （2）1111122lim
1
114
4n n n -→∞-+++
+++ 2、求极限：
（1）0sin 2lim sin 3x x x → （2）1
)2
1(lim -∞→++x x x x
3、设1
(12),0()0x x x f x x a
x ⎧⎪
+>=⎨⎪+≤⎩，求常数a 的值，使()f x 在0x =处连续。

4、已知曲线2
1
1y x =+在某点处的切线平行于x 轴，求该切线方程。

5、求下列导数或微分
（1）设1cos x y
x
=
-，求y ' （2）设y =dy
三、应用题（每题10分，共20分）
1. 某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批，问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？
2.设某商品的需求规律是()5600P D P ⋅=，供给规律是()100S P P -+=，其中，,()P D P 和()S P 分别表示此商品的价格、需求量与供给量。

（1）找出均衡价格，并求此时的需求量与供给量； （2）在同一坐标系中画出需求与供给曲线；
（3）何时供给曲线过P -轴，该点的经济意义是什么？ （4）求均衡价格时的需求弹性，并说明其经济意义。

参考答案：
一、选择题（每题3分，共30分）
1、B
2、B
3、A
4、A
5、C
6、C
7、D
8、D
9、C 10、B 二、解答题（每题10分，共50分）
1、（1
）
n→∞
（2）
1
1
11
1
22
lim
11
1
44
n
n
n
-
→∞
-
+++
+++
n
=（2分）
11
11
24
lim
11
11
24
n n
n
→∞
--
=÷
--
（3分）
1
lim0
n n
→∞
==（5分）
1
1
33
2
lim
1
22
1
4
n
n
n
→∞
-
=⋅=
-
（5分）
2、（1）
sin2
lim
sin3
x
x
x
→
（2）1
)
2
1
(
lim-
∞
→+
+
x
x x
x
sin223
lim
23sin3
x
x x x
x x x
→
=⋅⋅（2分）
1
(2)
(2)
1
lim[1]
(2)
x
x
x
x x
-
-+⋅
-+
→∞
=+
-+
（2分）00
2sin23
lim lim
32sin3
x x
x x
x x
→→
=⋅（4分）
1
lim
(2)
x
x
x
e→∞
-
-+
=（4分）2
3
=（5分）1
e-
=（5分）
3、[解] 由()
f x在0
x=处连续得，
lim()(0)
x
f x f
→
=（3分）
而(0)
f a
=，且
1
2
2
2
00
lim()lim(12)x
x x
f x x e
++
⨯
→→
=+=
00
lim()lim()
x x
f x x a a
--
→→
=+=（7分）故2
a e
=，即当2
a e
=时，()
f x在0
x=处连续。

（10分）4、[解] 设切点为00
(,)
x y，则曲线
2
1
1
y
x
=
+
在点
00
(,)
x y处的切线的斜率为
22
2
|
(1)
x x
x
y
x
=
'=-
+
（3分）
由切线与x轴平行，可知它们的斜率相等，即
22
2
(1)
x
x
-=
+
或00
x=（6分）
此时，
02
1
1
1
y
x
==
+
，故切线方程为1
y=（10分）
5、（1）[解] ()
1cos
x
y
x
''
=
-2
1cos sin
(1cos)
x x x
x
--
=
-
（5分）
[另解：化隐函数来求]
（2）因为
222
111[ln(1)](2)2211x
y x x x x ''=-=⋅⋅-=-
-- （3分） 所以， 2
1x
d y y d x d x x
'==-- （5分） 三、1．[解]
设总费用为y ，共分x 批生产，由题设可得函数关系
100000025000
10000.051000,02y x x x x x =+⨯=+> （5分）
2
25000
1000y x '=- （8分）
令0y '=，得唯一驻点5x =，由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。

（10分）
2．[解] 由题设知，需求函数和供给函数分别为
5600
()D P P
=
， ()10S P P =- （2分） （1）令()()S P D P =，得 5600
10P P =-，即21056000P P --=，解得
080P =（070P =-应舍去）
此时的需求量与供给量分别为
00()()801070D P S P ==-=（4分）
（2）在同一坐标系中需求与供给曲线如下图所示：（6分） （3）当010P =时，供给曲线过P -轴，它的经济意义是：若价格低于10，将无人愿意供货。

（8分）
（4）因2
5600
()D P P '=-
，故需求弹性为 经济意义：均衡价格时，需求量的变动和价格的变动按相同的百分比进行，这时价格的变动不影响总收入的变动。

（10分）。