高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》单元汇编附解析

新高中数学《数列》专题解析
一、选择题
1．设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项
和是（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
n
n + C ．
21
n
n - D ．
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m
f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和即可．
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，
1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
2．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
【答案】A 【解析】 【分析】
由题设知21n a n =-，12n n
b -=，由
1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得
1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．
【详解】
{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，
{}n b Q 是以
1为首项，2为公比的等比数列，1
2n n b -∴=，
()()()()
1121121242211221241221
n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- (
)1
21242
n n -=+++⋯+- 12212n
n -=⨯-- 122n n +=--，
2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．
则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.
3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】
由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10
q
∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()2
2020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用
4．在递减等差数列{}n a 中，2
1324a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．
24143
B ．
1143
C ．
2413
D ．
613
【答案】D 【解析】
设公差为,0d d < ，所以由2
1324a a a =-，113a =，得
213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，
因为
111111()(152)(132)2
215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于
1111116
()()213213213261313
n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中
间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数
列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
1(1)(3)n n ++或
1
(2)
n n +.
5．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
【答案】B 【解析】 【分析】
找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】
由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以
()11532
i i -=，解得18i =，
故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】
本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.
6．在数列{}n a 中，111
2,1n n
a a a +=-=-，则2016a 的值为
A ．-2
B ．
13 C ．
12 D ．
32
【答案】B 【解析】
由111n n
a a +=-，得
21111
11111n n n n
a a a a ++=-=-=
--. 所以
32
11
1111n n n n
a a a a ++=-
=-
=-. 即数列{}n a 以3为周期的周期数列. 所以20163111
13
a a a ===-. 故选B.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．
7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A 2 B ．2
C 5
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得2q =，又由(
)5
15
1
131621a q S
a
q
-=
==-，解可得
1a 的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得3
8q
=，则2q =，
又由562S =，则有(
)5
151
131621a q S a
q
-=
==-，解可得12a =；
故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．
8．等差数列的首项为1
25
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．83,7525⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．83,7525⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】
由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项11
25a =，则10911a a >⎧⎨≤⎩，
即1019
19181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得
83
7525d <≤. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．
9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10
6
S S 等于（ ） A ．-3 B ．5
C ．-31
D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解10
6
S S 的值，得到答案. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，
可得3133663
16(1)1121(1)1118
1a q S q q a q S q q q
---====--+-，解得2q =，
所以
101105
105516
(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q
---===+=---. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
10．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列
{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(),3-∞-
B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1
21
n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】
∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，
∴2
n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，
∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2
2
110n n n
n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，
∴1
21
n λ<-
+对*n N ∈恒成立， ∴13
λ<-.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
2131
n n A n B n -=+，则
3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．
266
127
两 C ．
266
63
两 D ．
250
127
两 【答案】B 【解析】 【分析】
先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为
a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值.
【详解】
共有银161610266⨯+=两，
设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有
()
71226612a -=-，所以266
127
a =
， 故选：B ． 【点睛】
本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．
13．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
14．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B ->
D ．201920191
2
A B -<
【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=
+=，20192121116
B A a a <=⋅=， 所以2019201912
A B ->
. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n
n a a a +=-+等价于2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以
111
1
n n n a a a +-=-， 故
12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是
12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
15．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n -
C ．2n
D ．31n -
【答案】C
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2
213b b b =，求出q ，
即求n S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，1
12,2n n a a q -=∴=Q ，
121n n b q -∴=+，
13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，
{}n b Q 也是等比数列， 2
2
13b b b ∴=，即()()
2
221321q q +=+
解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题.
16．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则
16S =（ ）
A ．48
B ．90
C ．105
D ．106
【答案】C 【解析】 【分析】
根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】
由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，
所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为
8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
【答案】B
【解析】 【分析】
计算出3a 的值，推导出(
)3n n a a n N *
+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可
求得数列{}n a 的前2020项和. 【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，
312
8
4a a a ∴=
=， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=⨯+Q ，因此，
()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得
1
1322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立；
当10a <时，1
11133232222a
a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当13a =-时等号成立；
∴实数d 的取值范围为(,3][3,)-∞-⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
19．等比数列{}n a 共有21n +项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则
n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】
由题意知1321...341n a a a ++++= ，可得3211...341340n a a a +++=-=，又因为
242...170,n a a a +++= 所以
321242 (340)
2 (170)
n n a a q a a a +++===+++ ，21
211234117051112
n n S ++-==+=- ，解得4n = ，故选B.
20．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的S 的值是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．
【详解】
由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，；
第二次运算：，；
第三次运算：，；
第四次运算：，；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】
本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。