2025数学大一轮复习讲义北师大版 第十章 §10.3 随机事件与概率

命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)(2023·大连模拟)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E
为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订
一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是
A.E与G是互斥事件
√C.F与G不是互斥事件
√B.F与I互为对立事件
D.G与I是互斥事件
P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误.
思维升华
事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件 下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析. 当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练1 (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况 中互斥而不对立的两个事件的是 A.至少有一个红球；至少有一个白球
知识梳理
5.概率的性质 (1)对任意的事件A，都有P(A)≥0； (2)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ； (3) 如果事件 A与事件B互为对立事件 ，那么P(B) ＝1－P(A) ， P(A) ＝ __1_－__P_(B__) _； (4)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P__(A__)＋__P_(_B_)_－___ __P_(_A_∩__B_)_.
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 0100＋1 10000＋1 50000＝1 60100.
故
1
张奖券中奖的概率为1
61 000.
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，
(2)(2023·秦皇岛模拟)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批
社团，学生们都能自主选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、
摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同
学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街
舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为
自主诊断
4.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作， 3
则甲、乙都入选的概率为__1_0__.
从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名，有 C35种情况，其中甲、乙都入选 有 C13种情况，所以甲、乙都入选的概率 P＝CC3513＝130.
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第二部分
探究核心题型
题型一 随机事件的关系
对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为 对立事件，故B正确； 对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确； 对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.
(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝
知识梳理
2.两个事件的关系和运算
并事件(和事件) 交事件(积事件)
互斥事件 对立事件
含义 A与B至少一个发生
A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∪B或A＋B A∩B或AB
A∩B＝∅ __A_∩__B_＝__∅__，__A_∪__B_＝__Ω__
知识梳理
3.古典概型的特征 (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数 有限 ，即样本空间Ω为有 限样本空间； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 相等 . 4.古典概型的概率公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含 的样m本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝ΩA包包含含的的样样本本点点个总数数 ＝n .
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( × ) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.( √ )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0与不小于
0的可能性相同.( √ ) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.( × )
“两次都中靶”，则下列结论正确的是
A.A⊆B
√C.A∪B＝“至少一次中靶”
√B.A∩B＝∅
D.A与B互为对立事件
事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥 事件但不是对立事件，所以A，D错误，B正确； A∪B＝“至少一次中靶”，C正确.
命题点2 利用互斥、对立事件求概率 例2 某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得. 1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个. 设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率；
(2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总 产量的0.20,0.25,0.3,0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98， 现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是__0_._0_3_4__.
由题意可知，恰好抽到不合格产品的概率为P＝0.2×(1－0.95)＋0.25 ×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2023·济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成
三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为
A.130
B.12
√C.35
D.190
从正六边形的 6 个顶点中任取 3 个，有 C36＝ 20(个)三角形， 其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如 Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(个)， 所以所求概率为2102＝35.
√B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球 D.至多有一个红球；都是红球
对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个 白球”也可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是 互斥事件； 对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥 事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件； 对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显 然是对立事件； 对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是 对立事件.
自主诊断
2.一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是
A.至少有一次中靶
√B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
自主诊断
3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
1 A.4
1 B.5
√C.16
1 D.8
4 名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有 A44 ＝24(种)选法， 其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有 C12A22＝4(种)选法， 按学校规定每人只能加入一个社团，由古典概型的概率计算公式可得， 甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率 P＝244＝16.
__Ω__
知识梳理
(2)随机事件 定义
把试验E的样本空间Ω的 子集 称为E的随机事件，简称事 随机事件
件，常用A，B，C等表示 样本空间Ω包含 所有的 样本点，每次试验无论哪个样本点 必然事件 ω出现，Ω都 必然发生，因此称Ω为必然事件 空集∅不包含任何样本点，它在每次试验中都 不会发生 ， 不可能事件 故称∅为不可能事件
√B.P(N)＝0.26
D.P(N∪H)＝0.65
总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数
1 000
550
260
用频率估计概率得 P(M)＝1505000＝0.55，P(N)＝1206000＝0.26，P(H)＝ 1 000－1 050500－260＝0.19，故 A，B，C 正确； P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝
落实主干知识
知识梳理
1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间
定义
表示符号
将试验E的 所有可能结果 组成的集合称为试验E的样 样本空间
本空间
__Ω__
样本空间Ω的元素，即试验E的 每种可能结果 ，称 样本样 如果样本空间Ω的样本点的个数是 有限 的，那么称 本空间 样本空间Ω为有限样本空间
题型二 古典概型
例4 (1)(2023·湖北省十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，
任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是
A.238
B.258
√C.17
D.134
这 8 个 素 数 中 ， 任 取 2 个 不 同 的 数 ， 有 (2,3) ， (2,5) ， (2,7) ， (2,11) ， (2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)， (5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)， (11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28个样本点， 这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4个， 所以这两个数之和仍为素数的概率是248＝17.
总人数 1 000
食用大米套餐人数 550
食用面食人数 260
总人数 1 000
食用大米套餐人数 550
食用面食人数 260
假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”
为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发
生的概率，则下列结论正确的是
√A.P(M)＝0.55 √C.P(H)＝0.19
则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]
＝1－1
0100＋1100＝1908090.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1908090.
命题点3 用频率估计概率 例3 (多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米 套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)， 结果如表所示：
(2)(2024·茂名模拟)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则 该三位数能被3整除的概率为
1 A.10
1 B.5
3 C.10
√D.25
从 1,2,3,4,5 中任选 3 个不同数字组成一个三位数，有 A35＝5×4×3＝ 60(种)可能； 要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除， 所以数字为 1,2,3 时，有 A33＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为 1,3,5 时，有 A33＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为 2,3,4 时，有 A33＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为 3,4,5 时，有 A33＝3×2×1＝6(种)可能，共 24 种可能. 所以该三位数能被 3 整除的概率为2640＝25.
0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学
的身高超过175 cm的概率为
A.0.2
√B.0.3
C.0.7
D.0.8
由 题 意 知 该 同 学 的 身 高 小 于 160 cm 的 概 率 、 该 同 学 的 身 高 在 [160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为 1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
知识梳理
6.频率与概率 (1)频率的稳定性 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常 会在 某个常数 附近摆动，即随机事件A发生的频率具有 稳定性 . (2)频率稳定性的作用 可以用频率估计概率P(A).
常用结论
1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定 互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2) ＋…＋P(An).
第十章
§10.3 随机事件与概率
课标要求
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义 以及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算. 3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的 概率.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分