高考数学课时提能演练(七十四) 选修4-2.1

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课时提能演练(七十四)
1. 设6p q xy 1M ,N p q 51x y --⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
若M=N ，求x,y,p,q. 2.曲线C 1:x 2
+2y 2
=1在矩阵12M 01⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程. 3.(易错题)已知△ABC 的三个顶点A(0，0)，B(4，0)，C(0，3).△ABC 在矩阵
10M 02⎛⎫= ⎪⎝⎭
对应的变换作用下变为△A ′B ′C ′,求△A ′B ′C ′的面积. 4.若一个变换所对应的矩阵是1002-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，求抛物线y 2
=-4x 在这个变换下所得到的曲线的方程.
5.(2012·南通模拟)将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程.
6.已知a,b 为实数，如果a 1A 0b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所对应的变换T 把直线x-y=1变换为自身，试求a,b 的值.
7.(2012· 福州模拟)O(0,0),A(0,-4),B(2),设△AOB 在矩阵4334-⎛⎫
⎪⎝⎭
所对应的变换作用下得到△A ′OB ′,求∠OA ′B ′和△A ′OB ′的面积.
8.已知曲线C:x 2
+y 2
=1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′:2
2x y 1,4
+=求矩阵
M.
9.(预测题)二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4,-1).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M 将圆x 2+y 2=1变换后的方程.
10.试求曲线y=sinx 在矩阵1
02
2⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
变换下的曲线方程.
答案解析
1.【解析】∵M=N ，∴xy 6x y 5p q 1p q 1=⎧⎪+=⎪⎨-=-⎪⎪+=⎩，解得x 2y 3p 0q 1=⎧⎪=⎪
⎨=⎪⎪=⎩或x 3y 2.p 0q 1
=⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=⎩ 2.【解题指南】利用变换公式表示出变换前的点坐标，代入曲线C 1的方程即可. 【解析】设P(x,y)为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′,y ′)为曲线C 1上与P 对应的点， 则12x x ,01y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪ ⎪
'⎝⎭⎝⎭⎝⎭即x x 2y x x 2y .y y y y
='+''=-⎧⎧⇒⎨⎨=''=⎩⎩ ∵P ′是曲线C 1上的点，∴C=的方程为(x-2y)2+2y 2=1. 3.【解析】由题意1000 0200⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 1044 02001000 0
236⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，
∴A ′(0,0),B ′(4,0),C ′(0,6)，
∴A B C 1S 4612.2
'''=⨯⨯=V
4.【解析】设P(x,y)为y 2=-4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线
上对应P 的点，由题意x x
,y 2y '=-⎧⎨'=⎩
∴x x y y 2
=-'
⎧⎪⎨'
=⎪⎩，∴2y ()4(x ),2'=--'即2y 16x.'=' ∴抛物线y 2=-4x 经变换后的曲线方程为y 2=16x.
5.【解析】由题意,
得旋转变换矩阵cos45sin4522M .sin45cos45⎛
-
︒-︒⎛⎫⎪== ⎪︒︒⎪⎝⎭⎪⎭
设xy=1上的任意点P ′(x ′,y ′)在变换矩阵M 作用下为
P(x,y),
x x 22,y y 2
2⎛-
'⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
∴x y 22x y x y 22
'-'⎪⎪=⎨⎪='+'⎪⎩， 得22
y x 122-=，故将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,所得曲线的方程为22
y x 1.22
-= 6.【解题指南】解答本题可先利用变换公式求出变换后的直线方程，再利用系数关系求a,b.
【解析】设点(x,y)是直线x-y=1上任意一点.在变换T 作用下的对应点为 (x ′,y ′)，
则a 1x x 0b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪ ⎪
'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴x ax y
y by
'=+⎧⎨'=⎩， 由题意x ′-y ′=1，
∴ax+y-by=1,即ax+(1-b)y=1， ∴a 1,1b 1=⎧⎨
-=-⎩∴a 1
.b 2
=⎧⎨=⎩
7.【解析】∵434
35543505
555 ,343
4053455555
5⎛⎫⎛⎫
-- ⎪
⎪-⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
g
g g g 又∵矩阵5005⎛⎫ ⎪⎝⎭和4
35
5
3
45
5⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
所对应的变换分别是位似变换和旋转变换, ∴△A ′OB ′∽△AOB,且OA ′=5OA,
∵
O(0,0),A(0,-4),B(2),∴∠OA ′B ′=∠OAB=30°,S △A ′OB ′=25S △AOB
= 8.【解析】在曲线C 上任取一点P(x,y),点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′,y ′), 设M=a b ,
c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
则a b x x ,c d y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴x ax by ,y cx dy
'=+⎧⎨
'=+⎩
由题意1x x 2y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩
，即x 2x
,y y '=⎧⎨
'=⎩ ∴a=2，b=0，c=0，d=1,
∴M=20.01⎛⎫
⎪⎝⎭
9.【解析】(1)设矩阵M=a b ,c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
则由M 15521⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和M 2411⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得a 2b 5
c 2
d 1
,2a b 4
2c d 1
+=⎧⎪+=⎪
⎨+=⎪⎪+=-⎩解得a 1b 2c 1d 1=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以M=12.11⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2)设点P(x,y)是圆x 2+y 2=1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′,y ′)， 则M x x ,y y '⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
所以x x 2y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩，
从而1x (x 2y )3
,1y (x y )3⎧='-'⎪⎪⎨⎪='+'⎪⎩
代入x 2+y 2=1并化简得(x ′-2y ′)2+(x ′+y ′)2=9，即(x-2y)2+(x+y)2=9.
10.【解析】设(x,y)是曲线y=sinx 上任意一点,在矩阵1
02
2⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
的变换下对应的点为(x ′,y ′)
则1x x 0 ,2y y 0
2⎛⎫'⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1x x 2y 2y
⎧
'=⎪⎨⎪'=⎩， ∴x 2x 1
y y 2='
⎧⎪⎨='⎪⎩代入y=sinx 得1
2y ′=sin2x ′即y ′=2sin2x ′ 即曲线y=sinx 在矩阵1
02
2⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
变换下的曲线方程为y=2sin2x.。