辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2018—2019学年度上学期省六校协作体高二期中考试
数学试题（理科）
一、 选择题
1.若等差数列}{n a 中，已知3
1
1=
a ，452=+a a ，35=n a ,则=n ( ) A.50 B.51 C.52 D.53
2.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1S 、3S 、2S 成等差数列，则数列}{n a 的公比q 等于（ ）
A.1
B.21
C. 2
1
- D.2 3．在各项均不为零的等差数列}{n a 中，若112
-+=-n n n a a a (n≥2，n ∈N * )， 则2014S 的值为
( )
A ．2013 B.2014 C.4026 D.4028 4. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知
32
4
=S S ，则422a a -的值是( ) A. 0 B.1 C.2 D.3
5. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.
1>d a ，
04>dS B. 01<d a ，04<dS C. 0
1>d a ，
04<dS D.
1<d a ，
04>dS
6.正项等比数列}{n a 中,8165=a a ，则 1032313log .........log log a a a +++的值是
A.2
B.5
C.10
D.20
7. 设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是 （ ） A ．12
<<b ab B ．0log log 2
12
1<<a b
C ．222<<a
b
D ．12
<<ab a
8.已知不等式052
>+-b x ax 的解集为}23|{<<-x x ,则不等式052
>+-a x bx 的解集为
( )
A. 31|{-<x x 或}21>x
B. }2
131|{<<-
x x C. }23|{<<-x x D. 3|{-<x x 或}2>x 9. 已知)1,0(=a ，),33(x b =,向量a 与b 的夹角为
3
π
,则x 的值为 ( ) A ．3± B ．3± C ．9± D ．3 10. 下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．x x y 4+=
B ．2
)
3(222++=x x y
C ．x
x
e
e y -+=4 D ．)0(sin 4
sin π<<+
=x x
x y 11. x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为7，
则
b
a 4
3+的最小值为（ ） A.14 B.7 C.18 D.13
12. 有下列结论：
（1）命题 R x p ∈∀:，02
>x 为真命题 （2）设02
:
>+x x
p ，02:2>-+x x q ，则 p 是 q 的充分不必要条件 （3）命题：若0=ab ，则0=a 或0=b ，其否命题是假命题。

（4）非零向量a 与b 满足||||||b a b a -==，则a 与b a +的夹角为0
30 其中正确的结论有（ ）
A. 3个
B.2个
C.1个
D.0个
二．填空题
13. 已知命题]4,1[:∈∀x P ,a x ≥2
, ,命题022,:2
=-++∈∃a ax x R x q ，若命题
“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围为 .
14. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．则数列{}n a 的通项公式n a = ．
15. 已知,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≤≥+01102ay x x y x ，y x z 3+-=只过（1，0）时有最大值，求a 的
取值范围
16. 已知数列{}n a 满足10a =，对任意k ∈N*，有212,k k a a -，21k a +成公差为k 的等差数列，
数列2
21
(21),n n n n b a ++=则{b }的前n 项和=n S
__________
三、 解答题
17. （本小题满分10分）
在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2c =，3cos 4
C =。

（1）求sin A 的值； （2）求ΔABC 的面积。

18. （本小题满分12分）
已知不等式02
>++c bx ax 的解集为(1，t)，记函数c x b a ax x f --+=)()(2
.
(1)求证：函数y ＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y ＝f(x)的两个零点分别为m ，n ，试将||n m -表示成以t 为自变量的函 数，并求||n m -的取值范围；
19. （本小题满分12分）
从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为 甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5 乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5
（1）根据以上的茎叶图，不用计算说一下甲乙谁的方差大，并说明谁的成绩稳定； （2）从甲、乙运动员高于8.1分成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于9.2分的概率。

（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率。

20. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(2*
N n a n S n n ∈=+．
（1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列}{n b 满足)()1(log *
2N n n a a b n n n ∈++⋅=，}{n b 其前n 项和为n T ，
试写出n T 表达式。

21. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，且BC AD //，0
90=∠ADC ， 平面⊥PAD 底面ABCD ，E 为AD 的中点， M 是棱PC 的中点，
22====BC AD PD PA ,3=CD .
（1）求证://PE 平面
； （2）D 到面PBC 距离；
（3）求三棱锥MBD P -的体积.
22. （本小题满分12分）
设数列{}n a 的首项135
a ≠，且n
n n a a 321=++，53n n n b a =-，)(*∈N n ．
（Ⅰ）证明：{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若2
3
1=a ，数列{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（Ⅲ）若{}n a 是递增数列，求1a 的取值范围．
理科答案解析部分
一、选择题
1、D
2、C
3、D
4、A
5、B
6、D
7、C
8、A
9、D 10、C 11、B 12、C 二、填空题 13、
或
14、2
1n a n n =-+ 15、30<<a 16、1
4++
n n n 三、解答题 17
、
解
：（
Ⅰ
）
37
cos ,sin ,
44
C C =∴= …… （2分）
1
214
,sin sin sin sin 87
4
a c A A C A
=∴=∴=Q
……5分 （Ⅱ）2
2
2
2
23
2cos ,21,2320,22
c a b ab C b b b b b =+-∴=+-
∴--=∴=Q …(8) 1177sin 122244
ABC S ab C ∆=
=⨯⨯⨯=……10分 18、 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－ >1，a<0且 >1，
∴ac>0，
∴对于函数f(x)＝ax 2 ＋(a －b)x －c 有Δ＝(a －b) 2 ＋4ac>0，
∴函数y ＝f(x)必有两个不同零点． ……4分 (2)|m －n| 2 ＝(m ＋n) 2 －4mn ＝
a c
a
a b 4)(2
2+-，)(c a b +-=Θ 48)(||22++=-∴a
c
a c n m ， ………………6分
由不等式ax 2 ＋bx ＋c>0的解集为(1，t)可知， 方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t(t>1)，
由根与系数的关系知 ＝t ， …………………8分
∴48||2++=-t t n m ，t ∈(1，＋∞)． 。

…………………10分
∴|m －n|> ，∴|m －n|的取值范围为( ，＋∞)． …………………12分
19、 【答案】解：（Ⅰ）甲方差大，乙方差小，乙稳定………………… （2分） （Ⅱ）设甲乙成绩至少有一个高于9.2分为事件
,则
6
5
43211)(=••-
=A P ………………… （7分） （Ⅲ）设甲运动员成绩为
，则
乙运动员成绩为
，
………………… （8分）
设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于
的事件为
,则
………………… （12分）
20、
试题解析：（1）当
时，
；
当 时，
；
即
（ ），且
，故
为等比数列
（
）. …………………6分
（2）n
n n b 2⋅=
设 ①
②
① ②：
∴22)1(1
+-=+n n n K …………………12分
21、（1）试题解析：连接 ，因为 ， ，所以四边形 为平
行四边形
连接 交 于 ，连接 ，则 ， …………………4分
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）DBC P PBC D V V --=Θ……………6分
D 到面PBC 距离=
2
6
…………………8分 （3） ，
由于平面 底面
， 底面
所以
是三棱锥
的高，且
由（1）知 是三棱锥 的高， ， ，
所以 ，则 .…………………12分
22、试题解析：（Ⅰ）因为1
111352
135n n n n
n
n a b b a +++-⋅==--⋅，且11305b a =-≠，
所以数列{}
n b 是首项为
13
5a -
，公比为2-的等比数列； …………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{}n b 是首项为
1139510a b -==，公比为2-的等比数列． ∴11
1919
3(2)3(2)510510n n n n n n n b a a --=-⋅=⋅-⇒=⋅+⋅-
若
{}
n a 中存在连续三项成等差数列，则必有
12
2n n n a a a ++=+，
即1121
191919
2[3(2)]3(2)3(2)510510510n n n n n n +-++⋅+⋅-=⋅+⋅-+⋅+⋅-
解得4n =，即
456
,,a a a 成等差数列．…………………6分
（Ⅲ）如果1n n
a a +>成立，即111113133()(2)3()(2)5555n n n n a a +-⋅+-⋅->⋅+-⋅-对任意自然
数均成立．
化简得143
3()(2)155n n
a ⋅>---
当n 为偶数时，n a )23(154531->
，因为n n p )23(15453)(-=是递减数列，
所以
)2()(max ==p n p ，即01>a ；
当n 为奇数时，
n a )23(154531+<
，因为n n q )23(15453)(+=是递增数列，
所以1)1()(min ==q n q ，即11<a ； 故1a 的取值范围为)1,0(．………………12分。