图论基础_ls_6.2-6.3(全)
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一、连通图与连通关系
定义 6.14 设无向图 G = < V, E >, u, v V, 若 u 与 v 之间存在通路，则称 u 与 v 是连通的。 规定 u 与自身总是连通的。 任意两个顶点都是连通的图称为连通图。否 则称为非连通图。 平凡图是连通图。 连通关系（等价关系）： R = { <u, v>| u, vV 且 u 与 v 连通 }。
= v0e1v1e2…elvl ② 用边序列表示： = e1e2…el
③ 简单图中，用顶点序列表示：
= v0v1…vl
4
(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
5
6.2.1 通路与回路
定理 6.3 在 一个n 阶图中，若从顶点 u 到 v（u v）
8
连通关系： R = { <u,v> | u, vV 且 u 与 v 连通 }。
连通分支： V 关于 R 的等价类的导出子图。
设 V/R = {V1,V2,…,Vk }，
G 的连通分支为 V1,V2,…,Vk 的导出子图：
G[V1]，G[V2]，…，G[Vk]
连通分支数记为： p(G)=k 。
G是连通图 p(G)=1
– 有向图中的通路数与回路数 • 6.3.4 有向图的可达矩阵
若 u 不可达 v，规定 d <u, v> = ∞.
性质： d<u, v> 0，且 d<u, v> = 0 u = v d <u, v> + d<v, w> d<u, w>
注意: 距离没有对称性。
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6. 3 图的矩阵表示
• 6.3.1 无向图的关联矩阵 • 6.3.2 有向无环图的关联矩阵 • 6.3.3 有向图的邻接矩阵
a
g
f
b d
c
i eh
9
二、短程线与距离
设 u，v 是无向图G中的任意两个顶点且是连通的，
称 u与v之间长度最短的通路
为 u与 v 之间的短程线。
u与v之间短程线的长度
为u与v之间的距离。记为：d(u,v)。
若 u与v 不连通，规定 d (u, v) = ∞。
性质： (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
6.2 图的连通性
• 6.2.1 通路与回路
– 初级通路（回路）与简单通路（回路）
• 6.2.2 无向图的连通性与连通度
– 连通图、连通分支 – 短程线与距离 – 点割集、割点、边割集、割边（桥） – 点连通度与边连通度（略）
1
6.2 图的连通性
• 6.2.3 有向图的连通性及其分类
– 可达性 – 弱连通、单向连通、强连通 – 短程线与距离
存在通路，则从 u 到 v 存在长度 ≤ n1 的初级通 路。
定理 6.4 在 n 阶图中，若存在 v 到自身的简单回路，
则一定存在 v 到自身长度≤n 的初级回路。
6
(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
7
6.2.2 无向图的连通性与连通分支
判别方法： D 是强连通的， 当且仅当 D 中存在经过所有顶点的回路。 D 是单向连通的， 当且仅当 D 中存在经过所有顶点的通路。
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实例
强连通
单连通
弱连通
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二、有向图中的短程线与距离
设 u 可达 v ，
u 到 v 的短程线： u 到 v 长度最短的通路 。
距离 d <u, v>： u 到 v 的短程线的长度。
又若 v0 = vl, 则称 为回路。
若通路（回路）中所有顶点（对于回路, 除 v0= vl）各异， 则称为初级通路或路径（初级回路或圈）。
若通路（回路）中所有边各异，则称为简单通路（简单回 路）, 否则称为复杂通路（复杂回路）。
3
说明
（1） 通路的表示方法 ① 按定义用顶点和边的交替序列表示：
b
(2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
a
g
f
d
c
i
eh
10
三、点割集与边割集
设无向图 G = <V, E >，vV， eE， V V，E E。
记： G v： 从 G 中删除 v 及关联的所有边。 GV ：从G 中删除V 中所有的顶点及关联的边。 G e ：从 G 中删除边 e 。 G E ：从 G 中删除边集 E 中的所有边。
对 E E ，p(G E ) = p(G)， 则称 E 为 G 的边割集。 若{ e }为边割集，则称 e 为割边或桥。
12
实例
d
f
a
e1 b
e3 e4 e6
e8
e5
e
e9 g
割点: e, f 点割集:{e},{f }, {c,d} 桥 {e1,e2},
设有向图 D = <V, E>，u, v V，
称 u 可达 v： 若 u 到 v 有通路。 规定： u 到自身总是可达的。
若 u 可达 v 且 v 可达 u，
则称： u 与 v 相互可达。
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一、有向图的连通关系
定义 6.18 D 弱连通（连通）：略去各边的方向所得无向图 为连通图。 D 单向连通： u, v V，u 可达 v 或 v 可达 u 。 D 强连通： u, v V，u 与 v 相互可达。
2
6.2.1 通路与回路
定义 6.13 给定图 G = <V, E > （无向或有向图），G 中顶点
与边的交替序列： = v0e1v1e2…elvl.
若 i （ 1i l ）, ei = (vi1,vi)（有向图 ei=<vi1,vi>）,
则称 为 v0 到 vl 的通路,
v0 和 vl 分别为通路的起点和终点, l 为通路的长度。
c
{e1, e3, e6}, {e1, e3, e4, e7}
说明：Kn 无点割集 n 阶零图既无点割集，也无边割集.
若 G 连通，E 为边割集，则 p(G E ) = 2。
若 G 连通，V 为点割集，则 p(G V ) 2。
13
6.2.3 有向图的连通性及分类
一、有向图的连通关系
定义 6.17
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三、点割集与边割集
定义 6.15 设无向图 G = <V, E>，
若 V V， p (G V ) > p(G) 且
对V V ，p(G V ) = p(G)， 则称 V 为 G 的点割集。 若{ v }为点割集，则称 v 为割点。 P.169 图 6.13
自己看
若 E E，若 p(G E) > p(G) 且
定义 6.14 设无向图 G = < V, E >, u, v V, 若 u 与 v 之间存在通路，则称 u 与 v 是连通的。 规定 u 与自身总是连通的。 任意两个顶点都是连通的图称为连通图。否 则称为非连通图。 平凡图是连通图。 连通关系（等价关系）： R = { <u, v>| u, vV 且 u 与 v 连通 }。
= v0e1v1e2…elvl ② 用边序列表示： = e1e2…el
③ 简单图中，用顶点序列表示：
= v0v1…vl
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(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
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6.2.1 通路与回路
定理 6.3 在 一个n 阶图中，若从顶点 u 到 v（u v）
8
连通关系： R = { <u,v> | u, vV 且 u 与 v 连通 }。
连通分支： V 关于 R 的等价类的导出子图。
设 V/R = {V1,V2,…,Vk }，
G 的连通分支为 V1,V2,…,Vk 的导出子图：
G[V1]，G[V2]，…，G[Vk]
连通分支数记为： p(G)=k 。
G是连通图 p(G)=1
– 有向图中的通路数与回路数 • 6.3.4 有向图的可达矩阵
若 u 不可达 v，规定 d <u, v> = ∞.
性质： d<u, v> 0，且 d<u, v> = 0 u = v d <u, v> + d<v, w> d<u, w>
注意: 距离没有对称性。
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6. 3 图的矩阵表示
• 6.3.1 无向图的关联矩阵 • 6.3.2 有向无环图的关联矩阵 • 6.3.3 有向图的邻接矩阵
a
g
f
b d
c
i eh
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二、短程线与距离
设 u，v 是无向图G中的任意两个顶点且是连通的，
称 u与v之间长度最短的通路
为 u与 v 之间的短程线。
u与v之间短程线的长度
为u与v之间的距离。记为：d(u,v)。
若 u与v 不连通，规定 d (u, v) = ∞。
性质： (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
6.2 图的连通性
• 6.2.1 通路与回路
– 初级通路（回路）与简单通路（回路）
• 6.2.2 无向图的连通性与连通度
– 连通图、连通分支 – 短程线与距离 – 点割集、割点、边割集、割边（桥） – 点连通度与边连通度（略）
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6.2 图的连通性
• 6.2.3 有向图的连通性及其分类
– 可达性 – 弱连通、单向连通、强连通 – 短程线与距离
存在通路，则从 u 到 v 存在长度 ≤ n1 的初级通 路。
定理 6.4 在 n 阶图中，若存在 v 到自身的简单回路，
则一定存在 v 到自身长度≤n 的初级回路。
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(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
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6.2.2 无向图的连通性与连通分支
判别方法： D 是强连通的， 当且仅当 D 中存在经过所有顶点的回路。 D 是单向连通的， 当且仅当 D 中存在经过所有顶点的通路。
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实例
强连通
单连通
弱连通
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二、有向图中的短程线与距离
设 u 可达 v ，
u 到 v 的短程线： u 到 v 长度最短的通路 。
距离 d <u, v>： u 到 v 的短程线的长度。
又若 v0 = vl, 则称 为回路。
若通路（回路）中所有顶点（对于回路, 除 v0= vl）各异， 则称为初级通路或路径（初级回路或圈）。
若通路（回路）中所有边各异，则称为简单通路（简单回 路）, 否则称为复杂通路（复杂回路）。
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说明
（1） 通路的表示方法 ① 按定义用顶点和边的交替序列表示：
b
(2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
a
g
f
d
c
i
eh
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三、点割集与边割集
设无向图 G = <V, E >，vV， eE， V V，E E。
记： G v： 从 G 中删除 v 及关联的所有边。 GV ：从G 中删除V 中所有的顶点及关联的边。 G e ：从 G 中删除边 e 。 G E ：从 G 中删除边集 E 中的所有边。
对 E E ，p(G E ) = p(G)， 则称 E 为 G 的边割集。 若{ e }为边割集，则称 e 为割边或桥。
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实例
d
f
a
e1 b
e3 e4 e6
e8
e5
e
e9 g
割点: e, f 点割集:{e},{f }, {c,d} 桥 {e1,e2},
设有向图 D = <V, E>，u, v V，
称 u 可达 v： 若 u 到 v 有通路。 规定： u 到自身总是可达的。
若 u 可达 v 且 v 可达 u，
则称： u 与 v 相互可达。
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一、有向图的连通关系
定义 6.18 D 弱连通（连通）：略去各边的方向所得无向图 为连通图。 D 单向连通： u, v V，u 可达 v 或 v 可达 u 。 D 强连通： u, v V，u 与 v 相互可达。
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6.2.1 通路与回路
定义 6.13 给定图 G = <V, E > （无向或有向图），G 中顶点
与边的交替序列： = v0e1v1e2…elvl.
若 i （ 1i l ）, ei = (vi1,vi)（有向图 ei=<vi1,vi>）,
则称 为 v0 到 vl 的通路,
v0 和 vl 分别为通路的起点和终点, l 为通路的长度。
c
{e1, e3, e6}, {e1, e3, e4, e7}
说明：Kn 无点割集 n 阶零图既无点割集，也无边割集.
若 G 连通，E 为边割集，则 p(G E ) = 2。
若 G 连通，V 为点割集，则 p(G V ) 2。
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6.2.3 有向图的连通性及分类
一、有向图的连通关系
定义 6.17
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三、点割集与边割集
定义 6.15 设无向图 G = <V, E>，
若 V V， p (G V ) > p(G) 且
对V V ，p(G V ) = p(G)， 则称 V 为 G 的点割集。 若{ v }为点割集，则称 v 为割点。 P.169 图 6.13
自己看
若 E E，若 p(G E) > p(G) 且