(高中数学4-5)二 一般形式的柯西不等式
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即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0,故0 e 16
5
例2
已知x,
y,
z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法一: 用柯西不等式
1 4 9 ( x y z)( 1 4 9)
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
a2
an )2
a12
a22
an2
证明: (12 12 12 )(a12 a22 an2 )
(1 a1 1 a2 1 an )2 n(a12 a22 an2 ) (a1 a2 an )2
1 n
a,b, c, d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
？你能解释为什么 a b c d 不成立
(a1
a2
an )2
a12
a22
an2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 b2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
4(a1b1
a2b2
anbn ) 2
4(a12
a
2 2
a
2 n
)
(b12 b22 bn2 ) 0
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式Δ=0，以上不等
吗？
bcd a
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
猜想柯西不等式的一般形式
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
分析
an2，B
a1b1
a2b2
anbn
C b12 b22 bn2， 则不等式就是AC B2
将空间向量的坐标代入, 化简后得
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当 且 仅 当 , 共 线 时,即 0,或 存 在 一 个 数k, 使 得ai kbi (i 1,2,3)时， 等 号 成 立.
xyz x
y
z
14 ( y 4x) ( z 9x ) (4z 9y) xy xz y z
14 4 6 12 36
当且仅当y 2x, z 3x,即x 1 , y 1 , z 1 时,等号成立. 6 32
式取等号。此时有唯一实数x,使 ai x bi 0i 1,2,n
若x=0,则 b1 b2 bn 0 ,上式成立；
若x≠0,则有
a
1 x
bi
.
总之，当且仅当 bi 0(i 1,2,, n) 或 ai kbi (i 时1,2，,n) 等号成立。
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
补充例题
例1 已知实数a,b,c,d ,e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1111)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式
下面介绍一般形式的柯西不等式的一些应用
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
1 n
(a1
x yz
x yz
( x 1 y 2 z 3 )2 36
x
y
z
当 且 仅 当x2 1 y2 1 z2 ,即x 1 , y 1 , z 1 时,
49
6 32
等 号 成 立.
证法二: 代入法
1 4 9 1 (x y z) 4 (x y z) 9(x y z)
构造二次函数
f (x) (a12 a22 an2 )x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x
又f
(x)
(b12 b22 bn2 ) (a1 x b1 )2 (a2 x
b2 )2
(an
x
bn
)2
0
二次函数 f (x)的判别式 0,即
5
例2
已知x,
y,
z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法一: 用柯西不等式
1 4 9 ( x y z)( 1 4 9)
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
a2
an )2
a12
a22
an2
证明: (12 12 12 )(a12 a22 an2 )
(1 a1 1 a2 1 an )2 n(a12 a22 an2 ) (a1 a2 an )2
1 n
a,b, c, d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
？你能解释为什么 a b c d 不成立
(a1
a2
an )2
a12
a22
an2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 b2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
4(a1b1
a2b2
anbn ) 2
4(a12
a
2 2
a
2 n
)
(b12 b22 bn2 ) 0
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式Δ=0，以上不等
吗？
bcd a
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
猜想柯西不等式的一般形式
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
分析
an2，B
a1b1
a2b2
anbn
C b12 b22 bn2， 则不等式就是AC B2
将空间向量的坐标代入, 化简后得
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当 且 仅 当 , 共 线 时,即 0,或 存 在 一 个 数k, 使 得ai kbi (i 1,2,3)时， 等 号 成 立.
xyz x
y
z
14 ( y 4x) ( z 9x ) (4z 9y) xy xz y z
14 4 6 12 36
当且仅当y 2x, z 3x,即x 1 , y 1 , z 1 时,等号成立. 6 32
式取等号。此时有唯一实数x,使 ai x bi 0i 1,2,n
若x=0,则 b1 b2 bn 0 ,上式成立；
若x≠0,则有
a
1 x
bi
.
总之，当且仅当 bi 0(i 1,2,, n) 或 ai kbi (i 时1,2，,n) 等号成立。
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
补充例题
例1 已知实数a,b,c,d ,e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1111)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式
下面介绍一般形式的柯西不等式的一些应用
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
1 n
(a1
x yz
x yz
( x 1 y 2 z 3 )2 36
x
y
z
当 且 仅 当x2 1 y2 1 z2 ,即x 1 , y 1 , z 1 时,
49
6 32
等 号 成 立.
证法二: 代入法
1 4 9 1 (x y z) 4 (x y z) 9(x y z)
构造二次函数
f (x) (a12 a22 an2 )x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x
又f
(x)
(b12 b22 bn2 ) (a1 x b1 )2 (a2 x
b2 )2
(an
x
bn
)2
0
二次函数 f (x)的判别式 0,即