2017 中考 压轴专题 平行四边形、等腰三角形、直角三角形存在性问题

专题存在性问题
（一）等腰三角形的存在性问题
例1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动.在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t的值.
例2 如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B.设BD 的长为x，CE的长为y.
（1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值.
练1 （12分）（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx x y ++-=22
1（b ，c 为常数） 的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．
（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；
（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究BQ NP PQ +是否存在最大值？若存在，求出该最 大值；若不存在，请说明理由．
（二） 平行四边形的存在性问题
一般有下列两种情况：
① 已知三个定点，找第四个顶点. (符合条件的有3个，分别以已知三个定点为三角形的顶点， 过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.)
② 已知两个定点. ( 把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.)
例1 如图，已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P. 若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线322
++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.
例3 (13 嘉兴 24 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m m m x y +--=224
1)(41的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD ＝AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．
（1）当m ＝2时，求点B 的坐标；
（2）求DE 的长；
（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式；
②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时， 以，A ，B ， D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？
备用图
练习（14 泰安 29）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点（-1，4），且与直线12
1+-=x y 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （-3，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．
（三） 直角三角形的存在性问题
例1 如图，在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数322++-=x x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于 点B ，顶点为P. 如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标.
例2 已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2,0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数()02＞x x
y =图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标.
例3 如图，抛物线34y 2-+-=x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴交于点D.在抛物线上是否存在一点P ，使得△BDP 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
备用图
练习1 (12 广州 24） 如图，抛物线34
383
2+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．
练习2 如图，在△ABC 中，CA=CB ，AB=8，cos ∠A=5
4.点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连接CE 、DE.
（1）求底边AB 上的高；
（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；
（3）连接DE ，当△ADE 时直角三角形时，求AD 的长.
练习3 （14 福州 21 满分13分）如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°， 动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.
（1）当t =2
1 秒时，则OP = ，S △ABP = ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP=AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ ·BP=3.
4. （本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4,0），点B的坐标是（0,b）（b>0）.P 是直线AB上的一个动点,作 PC⊥x轴，垂足为C. 记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连结PP´, P´A, P´C.设点P的横坐标为a.
（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D。

当P´D:DC=1:3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。

5. 对于平面直角坐标系x0y 中的点平P （a ，b ），点P '的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++
b ka k b a ,（其中k 为常数，且k ≠0），则称点P '为点P 的“k 属派生点”.
例如：P （1，4）的“2属派生点”P '为（1+2
4，2×1+4），即P '（3，6）． （1）①点P （-1，-2）的“2属派生点” P '的坐标为 ____________；
②若点P 的“k 属派生点”P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标____________；
（2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且△OP P '为等腰直角三角形，则k 的值为____________；
（3）如图, 点Q 的坐标为（0，34），点A 在函数()034＜x x
y -
=的图象上，且点A 是点B 的“3-属派生点”，当线段B Q 最短时，求B 点坐标．
6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O 出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．若不能,请说明理由；
8. 如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。