广东省高三数学全真模拟卷1 文

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则
z
1
在复平面上表示的点位于（ B ） A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ D ）
A 、R
B 、}{32|<<-x x
C 、}{3x 23|>-<<-或x x
D 、}{23|-<<-x x
3．函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,)e
D ．(3,4)
4．若向量)4,3(=，)1,1(-=，且5d AC ⋅=，那么d BC ⋅= ( C )
A ．0
B ．4-
C ．4
D ．4或4-
5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π
0,||2
A ϕ><）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象（ C ）
A. 向右平移
π12个单位长度 B. 向右平移π
6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π
6
个单位长度
6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥2021
,（ C ）
A ． 6 B. 4 C. 3 D. 2
7．给出四个命题：
①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两
条渐近线的交点分别为,B C ．若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是 ( C ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 10．定义域为R 的函数⎩
⎨
⎧=≠-=212
|2|lg )(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰
有3个不同的实数解321,,x x x ，则)(321x x x f ++等于（ D ）
A ．0
B ．l
C ．3lg2
D ．2lg2
二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20
分．
把答案填在答题卡中对应题号的横线上. （一）必做题（11~13题） 11.已知平面向量(1,),(23,),,a
x b x x x R ==+-∈若,a b ⊥
则实数x 的值是 1x =-或x=3 ；
12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在
不等式组3050x y y -+≤⎧⎨-≤⎩
所表示的区域内的点有 3 个.
13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、
b 的取值分别是a = ,b =_______ 10.5,10.5a b == ；
（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线2
sin()4
2
π
ρθ+
=
与直线31x ky +=垂直，则常数k =3- ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过 点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 则CAP ∠=__ ︒30 _．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
π
5π9π7π3π5ππ3πππ2
21
O
y
x
已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象.
解：（1）1cos sin 2sin 21)cos (sin sin 2)(2
-+=-+=x x x x x x x f
x x 2cos 2sin -= ……………………………………………………………2分
)4
2sin(2π
-=x ， ……………………………………………………………4分
∴)(x f 的最小正周期为π=T ，)(x f 的最大值为2．… ………………6分 （2）列表：
函数)(x f 在一个周期内的图象如图： 17．（本题满分12分）
为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率. 解：（1）
在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率
…… (1分)
即
0.332000
x
= ∴ 660x = ………………(4分) （2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取个数为
360
500902000
⨯=个 ………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y ，z ）……(9分)
由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件
空间包含的基本事件有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33 事件A 包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个
∴ 2
()11
P A =
…………………(11分) 故不能通过测试的概率为2
11
…………(12分)
18. （本题满分14分）
3.如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．
（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线， EF AC ∴⊥ 在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥， ……………2分 EF ∴⊥平面A EC '， ……5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ …………7分 证法二：同证法一EF EC ⊥ …………2分 A O EF '∴⊥ EF ∴⊥平面A EC '， ………5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ ……………………8分 （Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，
4,2==BC EC ,42
1
=⋅=
∴∆EC BC S FBC ……10分
又
A O '垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A ……12分
∴三棱锥BC A F '-的体积为：
3
3
4343131=
⋅⋅='⋅=
=∆-''-O A S V V FBC FBC A BC A F ………14分
19.（本题满分14分）
设,A B 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，
椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD
的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；
（3）设P 为直线2222
. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c
，0）的任意一点， 若直线
AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内
解：（1）依题意得2a c =
，2ab =，222a b c =+，
解得a ＝2，c ＝1， b ＝3
故椭圆的方程为
13
42
2=+y x ………………4分
（2）由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设Q （x,y ） 则,22
QA QB y y
k k x x =
=
+- 2232244
QA QB
y y y k k x x x ===-+-- 故得证…………………8分
（3）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 0，y 0）
∵M 点在椭圆上，∴2
0y ＝
4
3（4－x 02
） ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得
P （4，
2
600
+x y ）
从而BM ＝（x 0－2，y 0），
BP ＝（2，
2
600
+x y ） ∴BM ·BP ＝2x 0－4＋2602
0+x y ＝2
20+x （x 02－4＋3y 02
） ②
将①代入②，化简得BM ·BP ＝
2
5
（2－x 0） ∵2－x 0>0，∴BM ·BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内 ……………14分 解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为（221x x +，2
2
1y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差
2
BQ －
241MN ＝(221
x x +－2）2＋（221y y +）2－4
1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ③ 又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =
++，直线BP 的方程为2
2(2)2
y y x x =--， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴
12126222y y x x =
+-，即21
2132)2
x y y x -=+（ ④ 又点M 在椭圆上，则1342
12
1=+y x ，即)4(4
32
121x y -= ⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得2
BQ －2
41MN ＝0)2)(24
521<-x x －（ 从而，点B 在以MN 为直径的圆内
20.（本小题满分14分）
已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,2
11ab b b
a a =+=
当2≥n ，*n ∈N 时， 111
1,2
----=+=
n n n n n n b a b b a a ．
（Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2
1
11n n n n b a b a -<
-++； （Ⅲ）{}{}S T .S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为，求证：
(Ⅰ)证明：易知对任意*n ∈N ，0>n a ，0>n b ．
由,b a ≠可知
,2
ab b
a >+即11
b a >． 同理，
111
12
b a b a >+，即22b a >． 可知对任意*n ∈N ，n n b a >．
02
21<-=-+=
-+n
n n n n n n a b a b a a a ， 所以数列{}n a 是递减数列．
0)(1>-=-=-+n n n n n n n n b a b b b a b b ，
所以数列{}n b 是递增数列． …………5分
(Ⅱ)证明：)(2
1
2211n n n n n n n n n n n n b a b b b a b a b a b a -<-+<-+=
-++． …………10分 （Ⅲ）解：由)(2111n n n n b a b a -<
-++，可得1)2
1
()(-⋅-<-n n n b a b a ． 111
S T ()(1......()).22
1
()(2())2()
2n n n n a b a b a b --<++
++<+-<-
S T +2().n n a b ∴<-……………14分
21．（本题满分14分）
在区间D 上，如果函数()f x 为增函数，而函数1
()f x x
为减函数，则称函数()f x 为“弱增”
函数．已知函数()1f x =． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211
()()2
f x f x x x -<
-；
（3）当[]0,1x ∈
时，不等式11ax bx -≤
≤-恒成立，求实数,a b 的取值范围．
（1）显然()f x 在区间(0,1]为增函数，……..1分
11()(1f x x x ====
，……..4分 1
()f x x
∴为减函数. ∴ ()
f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ……………………4分
（2
）
2()(f x f
-
-
..8分
[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,
2+>
,.……8分
21()()f x f x ∴-211
2
x x <
-. .……9分 （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立.
当0x =时,不等式显然成立. ……..12分
当(]0,1x ∈时
.等价于:1(),1(),a f x x
b f x x ⎧≥⎪⎪⎨
⎪≤⎪⎩
……..14分
由(1)
1()f x x 为减函数, 111()2f x x ≤<，1,12a b ∴≥≤14分。