2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第2章 函数、导数及其应用 第7讲函数的图象

第7讲　函数的图象
板块一　知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1　利用描点法作函数图象　其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
考点2　利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y ＝f (x )y ＝f (x －a )；――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移
|a |个单位y ＝f (x )
y ＝f (x )＋b .――→b >0，上移b 个单位 b <0，下移|b |个单位2．伸缩变换
3．对称变换
y ＝f (x )y ＝－f (x )；
――→关于x 轴对称
y ＝f (x )y ＝f (－x )；
――→关于y 轴对称
y ＝f (x )y ＝－f (－x )．
――→关于原点对称
4．翻折变换
y ＝f (x )y ＝f (|x |)；
――→去掉y 轴左边图
，保留y 轴右边图
作其关于y 轴对称的图象y ＝f (x )y ＝|f (x )|.
――→留下
x 轴上方图
将x 轴下方图翻折上去[必会结论]
1．左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y ＝f (x )中的f (x )进行操作，满足“上加下减”．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(
)
(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )
(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )
(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数
y ＝f (－x －1)的图象．( )
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．[课本改编]函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )
答案　C
解析　函数y ＝log 2|x |为偶函数，作出x >0时y ＝log 2x 的图象，图象关于y 轴对称．应选C.
3．[2018·山东师大附中月考]函数y ＝2x －x 2的图象大致是(
)答案　A
解析　易探索知x ＝2和4是函数的两个零点，故排除B 、C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D.选A.
4．[2018·北京海淀一模]下列函数f (x )图象中，满足f >f (3)>f (2)的(14)只可能是(
)答案　D
解析　因为f >f (3)>f (2)，所以函数f (x )有增有减，不选A ，B.
(14)又C 中，f <f (0)＝1，f (3)>f (0)，即f <f (3)，所以不选C.选D.
(14)(14)5.[课本改编]如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点
O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ＝________.(1
f (3)
)答案　2
解析　∵由图象知f (3)＝1，∴＝1.∴f ＝f (1)＝2.
1
f (3)(1
f (3))板块二　典例探究·考向突破考向　函数图象的画法例　1　作出下列函数的图象：
(1)y ＝|x －2|·(x ＋2); (2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝； (4)y ＝x 2－2|x |－1.
2x －1
x －1解　(1)函数式可化为y ＝Error!
其图象如图实线所示．
第(1)题图 第(2)题图
(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．
(3)原函数解析式可化为y ＝2＋，故函数图象可由y ＝图象
1
x －11x 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．
第(3)题图 第(4)题图
(4)因为y ＝Error!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图．
触类旁通
画函数图象的一般方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【变式训练1】　作出下列各函数的图象：
(1)y ＝x －|x －1|；
(2)y ＝|x 2－4x ＋3|；
(3)y ＝|x |；
(12)(4)y ＝|log 2x －1|.
解　(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y ＝Error!可见其图象是由两条射线组成，如图(1)
所示．(2)函数式可化为y ＝Error!
图象如图(2)所示．
(3)作出y ＝x 的图象，保留y ＝x 的图象中x ≥0的部分，加(12)(12)上y ＝x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝|x |的图(12)(12)
象，如图(3)实线部分．
(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4)所示．考向
　识图与辨图
命题角度1　知式选图
例　2　[2017·全国卷Ⅲ]函数y ＝1＋x ＋的部分图象大致为( )
sin x
x
2
答案　D
解析　当x →＋∞时，
→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋→＋∞，故排除选项B.
sin x x 2sin x
x 2当0＜x ＜时，y ＝1＋x ＋＞0，故排除选项A ，C.
π2sin x
x 2故选
D.
命题角度2　知图选式
例　3　[2018·泉州五中质检]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是(
)
A.f (x )＝ln |x |x
B ．f (x )＝e x x
C ．f (x )＝－1
1
x 2D ．f (x )＝x －1x
答案　A
解析　由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若
函数图象为f (x )＝x －，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.
1
x 命题角度3　知图选图
例　4　已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为(
)
答案　B
解析　y ＝f (x )y ＝f (－x )
――→作关于y 轴对称的图象 y ＝f (2－x )
――→向右平移2个单位 y ＝－f (2－x )．选B.
――→作关于x 轴对称的图象 触类旁通
函数图象的识辨可从以下几方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向　函数图象的应用
例　5　[2015·北京高考]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )
A.{x |－1<x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1<x ≤1}
D ．{x |－1<x ≤2}
答案　C
解析　令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．
由Error!
得Error!
∴结合图象知不等式
f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．
　若本例条件变为：关于x的不等式f(x)≥log2(x＋a)在(－1,2]上恒成立，试求实数a的取值范围．解　在同一坐标系中分别作出f(x)和y＝log2(x＋a)的图象，若要使f(x)≥log2(x＋a)在(－1,2]上恒成立，只需y＝f(x)的图象在(－1,2]上恒在y＝log2(x＋a)的图象上方即可．
则需－a≥1，即a≤－1，
所以实数a的取值范围为(－∞，－1]．
触类旁通
利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求
解．
【变式训练2】　不等式log2(－x)<x＋1的解集为________．
答案　(－1,0)
解析　设f(x)＝log2(－x)，g(x)＝x＋1.
函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图象如图．
由图象可知不等式
log2(－x)<x＋1的解集为
{x|－1<x<0}．
核心规律
1.识图的要点：根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点等)．
2.识图的方法
(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
(3)排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．
满分策略
三个必须防范的函数图象应用中的易误点：
(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量．
(2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如y ＝f (|x |)与y ＝|f (x )|的图象是不同的．
(3)混淆条件“f (x ＋1)＝f (x －1)”与“f (x ＋1)＝f (1－x )”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x ＝1对称.
板块三　启智培优·破译高考
数学思想系列3——函数图象中的数形结合思想
[2018·陕西模拟]已知函数y ＝的图象与函数y ＝kx 的图象|x 2－1|
x －1恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．
解题视点　本题中的函数含有绝对值号，必须先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般的分段函数，通过数形结合直观
判断出两个函数交点的个数即可．
解析　函数y ＝的定义域为{x |x ≠1}，所以当x >1时，|x 2－1|
x －1y ＝x ＋1，当－1<x <1时，y ＝－x －1，当x ≤－1时，y ＝x ＋1，图象如图所示，
由图象可知当0<k <2且k ≠1时两函数恰有两个交点，所以实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．
答案　(0,1)∪(1,2)
答题启示　本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思
维，解释数学问题的本质．
跟踪训练
已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A.
B. (0，12)(12，1)C ．(1,2)
D ．(2，＋∞)答案　
B 解析　由已知，函数f (x )＝|x －2|＋1与g (x )＝kx 的图象有两个
公共点，画图可知当直线介于l 1：y ＝x ，l 2：y ＝x 之间时，符合题12意．故选B.
板块四　模拟演练·提能增分
[A 级　基础达标]
1．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是(
)
答案　B
解析　函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D.选B.
2.[2018·昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是(
)
答案　D
解析　由图象，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．
3．[2018·四川模拟]函数y ＝的图象大致是( )
x 3
3x －
1答案　C
解析　因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错误；当x <0时，y >0，所以B 错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当
x →＋∞时，y →0，所以D 错误．故选C.
4．[2018·温州模拟]函数y ＝－2sin x 图象大致为( )
x
2答案　C
解析　当x ＝0时，y ＝0，由此排除选项A ；当x ＝2π时，
y ＝π<4，由此排除B ；当x →＋∞时，y >0，由此排除选项D.故应选
C.
5．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是(
)
答案　B
解析　∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝，又g (x )
1b
＝－log b x ＝log x ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故 1b 选B.
6．[2018·黑龙江模拟]函数f (x )＝
－x 的图象大致为( )5
x 答案　B
解析　因为f (－x )＝＋x ＝－(－x )＝－f (x )，所以函数f (x )5
－x 5x －x 是奇函数，排除C ，D.又f (1)＝1－1＝0，f ＝－＝5x (132)(132) 132－＝>0，排除A.选B.
1213215
327．
[2018·安徽淮南模拟]二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数
y ＝x 的图象只可能是( )(b
a )答案　A
解析　根据指数函数y ＝x 可知a ，b 同号且不相等，
(b
a )∴－<0，可排除B ，D ；
b
2a 由选项C 中的图象可知，a －b >0，a <0，∴>1，b
a
∴指数函数y ＝x 单调递增，故C 不正确，排除C.选A.
(b a )8．[2018·洛阳统考]已知函数f (x )＝Error!关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________
．答案　(1，＋∞)
解析　问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a >1.
9．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞
)
解析　如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
10．已知f (x )＝Error!则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．
答案　5
解析　方程2f 2(x )－3f (x )
＋1＝0的解为f (x )＝或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的12个数为5.
[B 级　知能提升]
1．[2018·山西忻州模拟]已知函数f (x )＝
则函数y ＝f (1－x )的大致图象是(
)
答案　D
解析　y ＝f (1－x )＝故选D.
2．[2018·启东模拟]函数f (x )＝的图象大致为( )
cos x x
答案　D
解析　f (－x )＝＝－＝－f (x )，
cos (－x )－x cos x x ∴函数f (x )为奇函数，则图象关于原点对称，故排除A ，B ；当
x ＝时，f ＝＝>0，排除C.故选D.
π3(π3)12
π332π3.下列四个函数中，图象如图所示的只能是(
)
A ．y ＝x ＋lg x
B ．y ＝x －lg x
C ．y ＝－x ＋lg x
D ．y ＝－x －lg x
答案　B
解析　特殊值法：当x ＝1时，由图象知y >0，而C ，D 中
y <0，故排除C ，D ；又当x ＝时，由图象知y >0，而A 中
110y ＝＋lg ＝－<0，排除A.故选B.
1101109104．[2018·铜陵模拟]已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .
(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．
解　(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如
图所示，
由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，
因为H (t )＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，(t ＋12)14所以H (t )>H (0)＝0.
因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，
应有m ≤0，
即所求m 的取值范围为(－∞，0]．
5．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.
(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
解　f (x )＝Error!
作出图象如图所示．
(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象(如图)，
则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；
当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，
由Error!得x 2－3x ＋a ＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－.
34由图象知当a ∈时，方程至少有三个不等实根．[－1，－34]。