华中科技大学光学与电子信息学院考试试卷(A卷)2015～2016学年度第 2 学期

华中科技大学光学与电子信息学院考试试卷(A 卷)
2015～2016学年度第 2 学期
一、(20分，每小题5分)
1计算：2(sin()ln())x
e y z ∇。

2设r 为某位矢，ˆe
为某固定方向的单位矢量，证明：()ˆˆr e 2e ∇⨯⨯=-。

3设电荷密度为()x ρ'，x '为源点，x 为场点，r x x '=-，证明()()
0x x dV 4V
r
ρϕπε''=⎰
满足Possion 方程。

4 证明：
()()()
V
V
S
B A dV A B dV A B dS ⋅∇⨯=⋅∇⨯+⨯⋅⎰
⎰⎰，其中S 为体积为V 的闭
合区域的外表面。

二、(15分)自由空间的磁场强度为()x m ˆH e
H cos t kz ω=-，式中的ω、k 、H m 为常数。

试求位移电流密度和电场强度。

三、(15分)对于半径为a 电容率为ε的球形介质，球内外均无自由电荷分布，球面电势分布
0()cos r a V ϕθ
==，其中V 0为常数。

根据对称性，可以取球心处电势为0，试求球内外
的电势和电场分布。

(已知0
1(cos )cos P θθ=)
四、(20分)设入射电磁波的电场强度为()()6
ˆ2cos 6.2810
y V E e x z t m ω⎡⎤=⨯--⎣⎦，入射
到z =0处的折射率为1.5的玻璃表面，其中x 、z 的单位为米。

1)该电磁波的波长是多少？频率是多少？入射角是多少？ 2)请写出反射波的电场强度表示式； 3)请写出折射波的电场强度表示式； 4)请写出反射波的磁场强度表示式。

五、(15分)(1)写出边长为a 和b 的矩形波导中TE 11模电场量的瞬时表达式；(2)求其截止频率；(3)写出波导中磁场量的瞬时表达式。

六、(15分)一电量为q 的点电荷在z 轴方向进行振幅为a ，角频率为ω的简谐振动，请计算其在远处产生的辐射场。

并讨论说明为何在远离辐射源时该辐射场可以近似为平面电磁波。

第一题
1.
1122333
12123
11223331222
23123331233 (2)(), ()()()222111111()()()222312
(2)r x e x e x e x x x r x x x x e x e x e r r r r
x x x
x x x r r r r r x x x r r r r r r r r r
=++∂∂∂∇⋅=
++=∂∂∂++∇⋅
=∇⋅=∂∂∂∇⋅=++=+-++-++-∂∂∂=
-=分其中分 2.
222
123d ()d ()()()()() (2)
d d 22d ()() (2)
d i i i i i i i i i f r f r f r
e
f r r e x x x e r r x r e r r
f r r
f r r r
∇=∂=∂=∂++∂==∴∇=注：出于书写方便，本题用到爱因斯坦求和规则
分分
3.
112233112233112233()() (1) (1)()()() (2)
()()i i j j i j i j n n i j i j n i j in j i i j j i ij j i i i i j j a r a r r e r e r e e a r a e r e e a r e a r e a e a e a a r e a a a x e x e x e a e a e a e a
δδ⋅∇=⋅∇∇=∂=∂⋅∇=⋅∂=∂=∂===∂=∂+∂+∂++=++=分分分注： 4.
2
d ()d (2)()d (2)
S
V V
n S V V φψφψφψφψ⋅∇=∇⋅∇=∇⋅∇+∇⎰⎰⎰⎰分分
第二题
证：
Gauss 1Fraday 2(2) ()62ijk i j k z
z E E E B E t
E E e E e B t C e C ρερεε∇⋅=∇⋅=∴=∂∇⨯=-
∂∇⨯=∂=-∴=+真空中定理：将代入上式得：真空中电磁感应定律：将代入上式得：为任意常数注：以上行每行分。

第三题
解法1：分离变量法：
1122312232322210220
() (1) () (1)
()() (2)
00 (2)Gauss d (2)
d (2) (2)
4b
a R R R R d
c R R R
b d
R R a c R R R c Q
R R Q
R R Q b d ϕϕϕϕϕϕϕεϕεπεI =+
≤≤II =+≤=⇒+=+→∞=⇒=∂I -Ω=∂∂II -
Ω=∂⇒==⎰⎰区域 分区域分根据静电平衡的导体为等势体：
分对于，当时，分根据定理：
区域分区域分分23032103202011111111() (2)411(
)444d (2)
0, (2)S
b d Q a
c a R R R R Q
Q
R R R
Q
R
Q Q S
E S Q Q E Q Q Q Q Q Q c πεϕπεπεϕπε+=+⇒=-∴=
-+=
-⋅=+=∴+=⇒=--=⎰
壳壳根据分设球壳内表面感应电荷为，则外表面应为在球壳内取一与球壳表面平行的封闭球面分因为静电平衡时球壳内内表面外表面分注：取为任意常数也算对。

解法2
2
3
122120
1122
0232
0220112Gauss d d (4)
() (2)
4 () (2)
4()d (2)
4()d d S
S
R R R R R
R E E Q
E S E S Q E e R R R R Q
E e R R R Q R E l R
R E l E ϕϕεπεπεϕπεϕ∞
∞
I II ⋅=⋅=
⇒=≤≤=
≤=⋅=
=⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰⎰1设区域的电场强度为电势为，区域的电场强度为电势，根据定理：
分分分取无穷远处电势为零，
分100
32
111111 (2)
11
()(
)(2)44d (2)
0, (2)
S
l Q Q R R
R R Q Q S
E S Q Q E Q Q Q Q Q Q ϕπεπε⇒=
+
--⋅=+=∴+=⇒=--=⎰
壳壳分分设球壳内表面感应电荷为，则外表面应为在球壳内取一与球壳表面平行的封闭球面分因为静电平衡时球壳内内表面外表面分
第四题
解：设两导体平面分别为x=0、y=0平面，点电荷位于z=0平面，建立如下图所示的坐标系（2分）注：也可选取其他坐标系，以下坐标作相应变换
由镜像法，可以构造如图所示的三个镜像电荷来等效导体平面的作用： 点电荷Q1：位置（a,-b,0），电量 - Q （3分） 点电荷Q2：位置（-a,b,0），电量 - Q （3分） 点电荷Q3：位置（-a,-b,0），电量 + Q （2分） 则空间中任意点（x,y,z ）的电势：
]
z
b)(y a)(x 1
z b)(y a)(x 1
z b)(y a)(x 1
z b)(y a)(x 1
[ε4πQ φ2
2
2
2
222
222220
+++++
+-++-+++--
+-+-=
（以上4式，每个2分）
第五题
（1）选取长方体边长a,b,c 所在方向分别为x,y,z 轴方向建立直角坐标系，则谐振腔的谐振
频率为：
（2分）
上式中m,n,p=0,1,2……，且最多有一个取值为0（否则E =0），又因为a>c>b ，
故当n=0、m=1、p=1时谐振频率最小，对应的横电波为TE 101 （2分） 注：如果坐标选取不一样，可能得到TE 110等结果 （2）对于TE 101
,0,x y z k k k a
c π
π
=
==
（2分）
代入参考公式，电场强度E 的各项空间分量为：
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧===0E z c πxsin a πsin A E 0E z 2
y x （2分） 电场振幅最大值为E 0，故A 2 = E 0，考虑时间因子：1
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧===0E e z c πxsin a πsin E E 0E z t ωi -0
y x （2分） 由E ω
i
B ⨯∇-=，得磁感应强度B 的各项分量为： ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-===t
ωi -0z y t ωi -0x
e z c π sin x a πcos a πωiE B 0
B e z c πcos x a πsin c πωiE B （2分） （3）该题可按照教材课后习题第四章第15题的结论来求解，磁场总能量对时间平均值=电
场总能量对时间平均值，电场能量密度ωE ：
2222
z
2y 2x mnp )c p ()b n ()a m (με
πμεk k k μεk ω++=++==
（2分）
（2分）
（2分）
直接求可参考如下解法：
00*0000000sin cos exp()0
cos sin exp()11Re()
241Re[(sin cos exp()cos sin exp())4(sin cos exp()x y z x z x E B x z i t i c a c
B E B x z i t i a a c B B B B E E x z i t e x z i t e i c a c i a a c
E E x z i t e i c a c i a πππ
ωωπππ
ωωωμμππππππ
ωωμωωππππωωω=--==-=⋅=⋅=
-⋅-
-+22
222202
2202222220222
00
02
20
20cos sin exp())]11(sin cos cos sin )411d d d (sin cos cos sin )d 4()
16z a
b
c
B V
x z i t e a c E x z x z c a c a a c
E W V x y x z x z z c a c a a c E b a c
c a
ππ
ωπππππμωπππππωμωπμω-=+==+=
+⎰⎰⎰⎰
磁场总能量对时间的平均值：
第六题
（1） 仅考虑电偶极辐射，粒子形成的电偶极矩为：
Z t i ωe qae p
-= 其中振幅 qa p 0= （2分）
（若考虑了替他各级辐射，可酌情加分）
则电偶极产生的辐射场为：
（1分）
200200a 02b 0a 02200V E E B 22200*E E E 16abc εc 21b a 21E 4εdz z c πsin dy dx x a πsin E 4εdV ωW W z c π sin x a πsin E 4ε)]D E Re(21[21ωD E 21ω=⋅⋅⋅====∴=•=∴•=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
均值为磁场总能量对时间的平
φ
30ωkR i 2r Z t i ω23
0ikR r
30ikR
ikR r ikR e θsin R
c ε4πe ωqa e e e ωqa R
c ε4πe e p R c ε4πe p R 4πe μe ik p
R 4πe μA B t)-(00-=⨯-⋅=⨯=⨯=⨯∇=⨯∇=-
（2分） （1分）
（1分） 磁场沿纬线上偏振，电场沿经线上偏振 （1分）
（2） 平均辐射能流密度：
[]
))(或()(r 22
30242r 2
2
2420r
20
*r 0*0
*e θsin R
c ε32πωqa e θsin cR 32πωqa μe |B |2μc
B )e B c(Re 2μ1)
B E Re(2μ1)H E Re(21S =
=⨯⨯=⨯=⨯=（3分）
平均辐射功率：
)c
ε 12πω(qa)(c 12πω(qa)μ3
42πc 32πω(qa)μθdθsin d φ
c 32πω(qa)μθdΩ
sin c 32πω(qa)μd ΩR |S |P 3
04242024
202π
π
32420S
2
2420S
2或=⋅
⋅=
===⎰
⎰
⎰⎰
（3分）
（3） 从（2）中看出，辐射能流的方向性由θsin 2
确定，当θ=90°时辐射最强，当θ=0°
或180°时辐射为0，其方向分布图如下图所示。

（2分） 粒子辐射强度42ω(qa)P ∝
主要由带电粒子的振动频率ω和振动幅度qa 决定。

（2分）
θ20ωt)
-i(kR 2r
φ30ωt)
-i(kR 2r e sin θR
c ε 4πe qa ωe e sin θR
c ε 4πe qa ωc e B c E -=⨯-=⨯=。