2018届浙江省深化课程改革协作校高三上学期11月期中联考理科数学试题及答案 精品

浙江省深化课程改革协作校 2018届高三11月期中联考
数学（理科）试题卷 命 题：安吉高级中学
本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时
间120分钟.
参考公式：
柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高．[来
锥体的体积公式13
V sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥
体的高．
台体的体积公式()
12
13
V h s s =,其中S 1
, S 2
分别表示台体
的上、下底面积,h 表示台体的高． 球的表面积公式24S R π=． 球的体积公式343
V R π
=,其中
R 表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集R U =，集合{}032|2<--=x x x A ，{}1|>=x x B ，则集合A ∩
（∁U B ）=（ ）
A ．{}1|≤x x
B ．{}11|<<-x x
C ．
{}21|<<-x x
D ．{}11|≤<-x x
2. “0sin =x ”是“1cos =x ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ． 既不充分也不必要条件 3. 已知2log ,3,2
32
15
2===c b a ，则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
4. 能判断出函数()x f y =在R 上为增函数的是（ ） A ．若R n m ∈,，且n m <，则()()2
2n f m f <
B ．若R n m ∈,，且n m <，则()()3
3n f m f <
C ．若R n m ∈,，且n m <，则()()n
m f f 22<
D ．若R n m ∈,，且n m <，则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛m m f f 2121 5. 将函数f (x )=sin(2x +p 3
)的图像向左平移(0)n n >个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ） A ．6
5π B ．6
π C ．12
π
D ．24
π
6. 如图，12,F F 是双曲线
C:22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点,过1
F 作两条相互垂直的直线21,l l ，其中直线1l 交双曲线右支于点M ，直线2l 交双曲线右支于点N ，以下说法一定正确的是（ ） A ．若N
F M
F 22<，则N MF 2∠为锐角
B ．若N F M F 22<，则N MF 2∠为钝角
C ．若N
F M F 12<，则N MF 2∠为锐角
D ．若N
F M
F 12<，则N MF 2∠为钝角
7．实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则yz xy -的最小值为（ ） A ．2
1- B ．3
2-
C ．2
2
-
D ．4
2-
8．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．
6
6
22- B ．
6
6
32- C ．
3
2
232-
D ．3
3
223
- 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分）
9. 在等差数列{}n a 中，已知1,121=-=a a ，则=10a _________，
=10S ___________．
10. 已知函数
()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=1
,1lg 1,42x x x x x x f ，则()()=-9f f ，()f x 的零
点个数为 个．
11. 若四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 ，体积为 ．
12. 已知直线b x y +=上存在唯一一点A ，满足点A 到直线1:-=x l 的距离等于点A 到点()0,1F 的距离， 则=b _________，点A 的坐标为________.
13．圆心在直线0:1=+y x l 上且半径为1的圆C 始终不与直线
()011:2=-+-+λλy x l
()R ∈λ相切，则=λ__________.
14. 若实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++0010
13a y ax y x y x ，且y x 32-的最小值为2-，则实
数a 的取值范围是 .
15. 已知点O 为坐标原点，ABC ∆为圆1C
:22(1)(1x y -+=的内接正三角形，则()+⋅的最小值为 . 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本题满分15分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，
且满足2222c b a =+，B A B A sin cos 2cos sin =． （Ⅰ）求C cos 的值；
（Ⅱ）若6=c ，求ABC ∆的面积． 17. 如图，ABC ∆为等边三角形，⊥EB 平面ABC ，EB FA //，
Q P ,分别为线段EF AC ,的中点，22==FA EB ，3=AB .
（Ⅰ）证明//PQ 平面EBC ；
（Ⅱ）求锐二面角A BQ P --的平面角的余弦值.
18.已知()()R b a bx ax
x f ∈>++=,012
（第17题图）
（Ⅰ）已知()x f 在R 上存在唯一一个零点1，求a 和b 的值； （Ⅱ）已知()x f 在区间[]1,0上存在两个零点，证明：3>+b a .
19．（本题满分15
分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右
焦点分别为21,F F ，直线l 经过2
F 且交椭圆C 于B A ,两点（如图）
1ABF ∆的周长为24，
原点O 到直线l 的最大距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过2F 作弦AB 的垂线交椭
圆C 于N M ,两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．
20. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
（第19题图）
()212
3---=
n
n n a S （*∈N n ）. （Ⅰ）证明：(){}n n a 1--为等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
n a 1的前n 项和为n T ，证明：3
2
<
n
T （*∈N n ）.
浙江省深化课程改革协作校 2018届高三11月期中联考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分． 9
．
________
17
________________ ；
___________80__________ . 10
．
_________
3
-_____________ ；
____________2___________ . 11．______22+____ ；__________
3
1
_____________ . 12
．
__________1_____________；
___________()2,1_________ . 13． 2- 14． 3
23
1≤≤-a
15． 5
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ） B A B A sin cos 2cos sin =，bc
a c
b b a
c b c a a 2222
22222-+⨯=-+⨯
∴
化简得：
2
223
1
c b a =-，联立
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+=-22222
2231c b a c b a ，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==222
26567c b c a ………………（4分）
35
35
36
5672
2cos 2
2
22=
⋅=
-+=c c c ab
c b a C ………………（8分）
（Ⅱ）由6=c ，有5,7==b a ，35
26cos 1sin 2=
-=C C ………………
（12分） 2
26
35265721
sin 2
1=
⋅
⋅==C ab S ………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）法 1.取线段BE 中点G ，线段EG 中点N ，线段BC 中点M ，
连FG QP NQ MN PM ,,,,………………（3分）
Q N , 为中点，=//
QN FG 2
1，同理=//PM AB 21
， =∴//QN PM
，∴四边形QNMP 为平行四边形，=
∴//PQ MN 又⊄PQ 平面EBC ，∴//PQ 平面EBC ………………（6分） 法2.取线段AB 中点R ，连QR PR ,………………（3分）
QR 为梯形AFEB 的中位线，EB QR //∴，又⊄QR 平面EBC ，
//QR ∴平面EBC
PR 为ABC ∆的中位线，BC PR //∴，又⊄PR 平面EBC ，
//PR ∴平面EBC
又R QR PR =⋂ ，∴平面//QRP 平面EBC ，
∴//PQ 平面EBC
………………（6分）
（Ⅱ）法1.
过点P 作AB 的垂线，垂足为O ，过O 作BQ 的垂线，垂足为T ，连PT
………………（9分）
易知⊥PO 平面ABEF ，PO BQ ⊥∴，又OT BQ ⊥ ，⊥BQ 平面POT
PT BQ ⊥∴，PTO ∠∴为二面角A BQ P --的平面角.
………………（11分） 在PTO ∆中，090=∠POT ，4
32332
1=⨯
⨯
=PO 易知4
33
4
3==AB BO ，EBF ∆为等边三角形，030=∠=∠∴FBQ ABF
8923433sin =⨯=
∠=∴OBT BO OT ，8
13
322=+=OT PO TP 13
133cos ==
∠∴TP OT PTO ………………（15分）
法2.以点B 为原点，过点B 且垂直于BA 的直线为x 轴，
BA 所在直线为y 轴，BE 所在直线为z 轴建系如图
则()
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23,23,0,0,0,0,3,0C B A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23,0,0,433,43Q P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,23,0,0,433,43，………………（9分）
设平面BPQ 的法向量()z y x n ,,1=，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+0232
3043343z y y x ，可取()
1,3,31-=n ，………………（11分）
显然有平
面
ABQ
的法向量
()
0,0,12=n
，
13
13
3133,cos 21=
=
>=
<n n 已知锐二面角A BQ P --为锐二面角∴二面角A BQ P --的余弦值为13
13
3
………………（15分）
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意042=-=∆a b ○1，()011=++=b a f ○,2………………（3分）
联立○1，○,2解得2,1-==b a .………………（6分） （Ⅱ）法 1.
()x f 在区间[]1,0上存在两个零点，
∴()⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧≥++=<-<>-=∆011120042b a f a b a b ………………（10分）
即⎪⎩
⎪⎨⎧--><<->)3(1)2(02)1(42a b b a a b 由（2）
b
a ->2，又由（1）
a
b 42>得
b b 22->.2,0-<∴<b b .………………（13
分）
再由（2）12
>->b a （或由（3）11≥-->b a ）3>+∴b a ………………（15分）
法2. ()x f 在区间[]1,0上存在两个零点，
∴()⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧≥++=<-<>-=∆0
111200
42
b a f a b a b ………………（10分） 即⎪⎩
⎪⎨⎧--≥<<->)3(1)2(02)1(42a b b a a b ， 表示区域如图中阴影部分
目标函数b a b a z -=+=.………………（13分） 联立
⎩⎨
⎧-==a
b a b 242，得()2,1-A ，此时
3
=z 由线性规划原理，
3>+b a ………………（15
分）
法 3.设()x f 的两个零点为
2
1,x x ，()0,,1021≠∴=x x f ，即
(]2121,1,0,x x x x ≠∈
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⋅=+=-21211x
x a
x x a b
，………………（10分）
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+-=⋅=2121
211x x x x b x x a 111111
21212121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++⋅=+∴x x x x x x x x b a ………………（13分）
211,1011≥+∴
≤<x x ，同理211
2
≥+x ，3≥+∴b a 3,3,21>+∴≠+∴≠b a b a x x ………………（15
分）
19．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由题意24
4=a ，1=c
a
b
1=++b a a
b 42=02=+b a
2=∴a ，又222c b a += ，1=∴b
∴椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x ………………（4分）
（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时 有⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
22,
1A ，22,2==MN AB ，221=⋅=∴MN AB S
当直线AB 的斜率为0时
2,22==MN AB ，22
1
=⋅=
∴MN AB S ………………（6
分）
当直线AB 的斜率存在且不为0时
设直线AB 的方程为()1-=x k y ，则直线MN 的方程为()11--=x k
y
联立()
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
12
2y x x k y 得()
0224122
222=-+-+k x k x k (
)1
212212224124122222
222
++=+--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅+=k k k k k k k AB
同理
(
)21221121122222
2++=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k k MN
(
)
(
)(
)
2
1214
21222
2+++=⋅=∴k k k MN AB S ………………（11分）
令()112
≥+=t k t ，49211141242
22+
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-+=t t t t S 当211=t 。

即212=+k ，即1±=k 时，9
16min =S 此时设直线AB 的方程为()1-±=x y ………………（15分） 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=+++2123212
31!1n n n n
n n a S a S
得()()n n n n n a a a 112
323111-+---=+++
即()()n n n n a a 1212311---+=++
()
()
()()3)
1()1(33)1(1213111
11=----=-----+=----∴
+++n
n n n n n n
n n n
n n n a a a a a a (){
}
n
n a 1--∴为等比数列………………（4
分）
()212
3---=n
n n a S 令1=n ，解得21=a
()
{
}n
n a 1--∴是首项为3，公比为3的等比数列
()n n
n a 31=--∴，即()
n
n n a 13-+=………………（6分）
（Ⅱ）
法 1.当k 为
正偶数时，
………………（9分）
当n 为奇数时
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=
-n n n a a a a a T 111111321 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<-n n 31313131
21132 32
31161211<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n ………………（12分）
当n 为偶数时
3
2
1<<+n n T T ，3
2
<
∴n
T （*∈N n ）………………（14分）
22
111
3,
3(1)93(1)8311111153224121021016803
13
n n n n n n n T --≥=<
+-+-∴<++=++=<
-
法2. 当3≥n 时，()()22381
1391131--⨯<-+⨯=-+n n
n n n ………………（9
分）
3
113
113
1811012131313181101212
22-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<∴--n n n T
1
121
1121
1131
3133313333313113111+++++++++=+<--++=-++=+k k k k
k k k k k
k k k k k a a
32805316110121311161101212
<=++<⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-n ………………（14分）。