123乘法公式(2)
二年级上册数学第6单元 表内乘法(二)
7×4-4= 24 6×3+6=24 4×4+4= 20 5×6-6=24
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探究新知
例 2 乐队中1行有8人，2行有多少人？3行有多 少人？……8行呢？
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0 8 16 24 32 40 48 56 64
1个8 2个8 3个8 4个8 5个8 6个8 7个8 8个8
小狗每跳1次就增加1个8。
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人教版数学二年级上册第六单元表内乘法（二）
7的乘法口诀
执教者：XXX XXX中心小学
复习导入
你能快速写出结果吗？
3×2= 6 4×1= 54×3= 61×5 2= 1×11=2
1
6×5= 305×4= 205×5= 245×4= 6×16=
36
6×4= 24 5×2= 104×3= 123×3= 2×92=
1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48
8的乘法口诀
一八得八 二八十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八
8×1=8 8×2=16 8×3=24 8×4=32 8×5=40 8×6=48
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8的乘法口诀
7×8=56 8×8=46
七八五十六 八八六十四
4
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探究新知
例 1 7个图案一共有多少块拼板？
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拼出的每个图案 都由7块拼板组成。
你发现了什么？
每增加1个图案， 就增加7块拼板。
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图案个数 1 2 3 4 5 6 7 拼板块数 7 14 21 28 35 42 49
你能完成表格吗？
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图案个数 1 2 3 4 5 6 7 拼板块数 7 14 21 28 35 42 49
大数乘法算法
大数乘法算法引言在计算机科学领域的算法中，大数乘法是一个经典且重要的问题。
它涉及到将两个较大的数相乘，可能超出常规数据类型的表示范围。
因此，需要设计一种高效的算法来处理这个问题。
本文将深入探讨大数乘法算法及其相关概念。
传统乘法算法传统的乘法算法是我们从小学时就学习的算法。
它将两个数的每一位相乘，然后将乘积逐位相加。
以下是一个简单的例子：123× 45-----615 (5 × 123)492 (4 × 123，向左移一位，相当于乘以10)-----5535 (615 + 492)我们可以看到，传统乘法算法需要逐位相乘，并进行进位操作。
对于较大的数，这种算法会变得非常耗时。
大数乘法算法大数乘法算法是专门用来解决大数相乘问题的算法。
下面将介绍两种常见的大数乘法算法：分治法和Karatsuba算法。
分治法分治法是一种将问题分解成子问题并分别解决的算法。
对于大数乘法，可以将两个数分成两半，然后将每个子问题的解相加得到最终的结果。
以下是分治法的步骤：1.将两个数分别拆分成两个子数。
例如，将123和45分别拆分成12、3和4，5。
2.对每个子问题递归地应用大数乘法算法。
例如，计算12 × 4、3 × 5。
3.将每个子问题的结果相加。
例如，计算12 × 4 + 3 × 5。
4.合并子问题的结果并返回最终的乘积。
使用分治法可以显著减少计算量，因为子问题的规模较小。
然而，分治法仍然需要进行递归操作，因此对于非常大的数，仍然存在一定的效率问题。
Karatsuba算法Karatsuba算法是一种改进的大数乘法算法，它比传统的乘法算法更高效。
Karatsuba算法的核心思想是利用数的二进制表示将乘法问题转化为更小的子问题。
以下是Karatsuba算法的步骤：1.将两个数用二进制表示，并找到二进制表示中位数相同的位置。
例如，对于10和11（二进制表示为1010和1011），找到相同的中位数为第2位。
三位数乘两位数
注意事项
在乘法运算中，需要注意进位问题。当某一位的乘积大于等于10时，需要向前一位进 位。
竖式计算方法与步骤
• 竖式计算方法：竖式计算是一种常用的乘法计算方法，适用于 多位数相乘。在竖式计算中，将两个数的个位对齐，从右往左 依次相乘，并将每次相乘的结果写在相应的位置。
竖式计算方法与步骤
计算步骤 1. 将两个数的个位对齐，从个位开始计算；
2. 用下面数的个位与上面的数相乘，得到的积的个位数与下面数的个位对齐；
竖式计算方法与步骤
01
3. 用下面数的十位与上面的数相乘， 得到的积的个位数与下面数的十位 对齐；
02
4. 将两次乘得的数相加，得到最终 结果。
02
CATALOGUE
乘法在实际生活中的应用
总时间。
03
曲线运动
在曲线运动中，可以通过将运动轨迹划分为多个小段，每小段近似看作
匀速直线运动，再利用乘法计算每段的路程和时间，最后求和得到总路
程和总时间。
03
CATALOGUE
乘法技巧与速算方法
近似估算法
近似取整
将三位数和两位数都近似取整到最 接近的整十或整百数，然后进行乘 法运算，最后根据取整的误差进行 调整。
忽略尾数
忽略三位数和两位数的尾数，将问 题简化为两个一位数与一个整十数 的乘法，从而快速得到近似结果。
分解因式法
分解质因数
将三位数和两位数分别分解质因数， 然后找出公共质因数进行约分，最后 将剩余的质因数相乘得到结果。
分解合数因数
将三位数和两位数分别分解成两个数的 乘积，这两个数可以是整十数、整百数 等易于计算的数，然后将两组数分别相 乘再相加得到结果。
平行四边形面积
初高中数学乘法公式补充
初高中数学公式的衔接【知识梳理】：常用的乘法公式有:【乘法分配律】【和的平方公式】【差的平方公式】【平方差公式】【和的立方公式】【差的立方公式】【立方和公式】【立方差公式】一、乘法公式与多项式1-1多项式的乘法【二项式相乘公式】如下图，一个长为，宽为的长方形，其面积为，也等于四个长方形的面积和，即。
cabdacbcbdad我们也可利用分配律来展开的乘积而得到下列的公式：【公式1】在应用上，a、b、c及d可为数字或任何文字符号。
【范例1】利用公式1展开下列各式：(1) (2) (3)【解】 (1)(2)(3)在上例的第(2)题中，的x2项(或称二次项)系数为1，x项(或称一次项)系数为5，常数项为6，其中最高次项为二次，所以称为x的二次多项式，并简称为一元二次式。
在第(3)题中，有x、y两个变量，其中6x2、xy和y2都是二次项。
因此，它的最高次项为二次，所以称它为x和y的二次多项式，并简称为二元二次式。
【类题练习1】展开下列各式：(1) (2)二项式相乘公式也常运用于来简化数的计算过程，例如：求123279127121123121127279的值。
我们观察到123279与123121有公因子123；127121与127279有公因子127，所以123279127121123121127279123279123121127279127121123(279121)127(279121)(279121)(123127)400250100000。
【范例2】展开下列各式：(1)(2)【解】 利用分配律：(1)(2)【范例3】 分别求的展开式中，、、和的系数。
【解】 利用分配律做展开运算时，只需要观察两式中，两项次数的和等于所要求次数，则其系数乘积的总和即为所求，因此的系数为 ；的系数为 ；的系数为 ；的系数为 。
【类题练习2】分别求的展开式中，、、、的系数。
【重点整理】1. 【二项式相乘公式】，其中a、b、c及d可为数字或任何文字符号。
中小学简便计算技巧
中⼩学简便计算技巧⼀、两位数乘两位数。
１.⼗⼏乘⼗⼏：⼝诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？解:1×1=1２＋４＝６２×４＝８12×14=168注：个位相乘，不够两位数要⽤0占位。
２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：⼝诀：⼀个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝2123×27=621注：个位相乘，不够两位数要⽤0占位。
３.第⼀个乘数互补，另⼀个乘数数字相同：⼝诀：⼀个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要⽤0占位。
４.⼏⼗⼀乘⼏⼗⼀：⼝诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=861５.11乘任意数：⼝诀：⾸尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在⾸尾11×23125=254375注：和满⼗要进⼀。
６.⼗⼏乘任意数：⼝诀：第⼆乘数⾸位不动向下落，第⼀因数的个位乘以第⼆因数后⾯每⼀个数字，加下⼀位数，再向下落。
例：13×326=？解：13个位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238注：和满⼗要进⼀。
数学中关于两位数乘法的“⾸同末和⼗”和“末同⾸和⼗”速算法。
所谓“⾸同末和⼗”，就是指两个数字相乘，⼗位数相同，个位数相加之和为10，举个例⼦，67×63，⼗位数都是6，个位7+3之和刚好等于10，我告诉他，象这样的数字相乘，其实是有规律的。
就是两数的个位数之积为得数的后两位数，不⾜10的，⼗位数上补0；两数相同的⼗位取其中⼀个加1后相乘，结果就是得数的千位和百位。
华师大版八年级数学上册 123 乘法公式完全平方公式 课件2
3) (-2x-1)2
方法三
解：原式=[(-2x)+(-1)]2 =(-2x)2 + 2·(-2x) ·(-1) + (-1)2 =4x2+4x+1
一三 二三 方法一 方法二
3) (-2x-1)2
方法一
方法二
原式 =[-(2x+1)]2 =(2x+1)2 = (2x)2+2·2x·1+1 =4x2+4x+1
实验田，以种植不同的新品种 b (如右图)。你有几种办法
可以求出这四块实验田的
总面积？
a
方法1：总面积= (a+b) 2 ；
a
b
方法2：总面积= a2+ ab+ab+b2.
结论: (a+b) 2 = a2 +2ab + b2.
动脑筋
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
= 40000-400+1
= 39601
运用完全平方公式计算：
1) 962
2) 1052
3)79.82 4) 80.32
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
完全平方公式的结果 是三项，
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
方法二 原式=[(-2x)-1]2 =(-2x)2-2·(-2x)·1+1 =4x2+4x+1
方法三 原式=[(-2x)+(-1)]2=(-2x)2+2·(-2x)·(-1)+(-1)2 =4x2+4x+1
苏教版二年级数学1234的乘法口诀
苏教版二年级数学——1、2、3、4的乘法口诀教学目标：1、在教师帮助下，经历2、3、4和1的乘法口诀的编写过程，理解这些口诀的意义和结构，初步掌握乘法口诀的编写方法，记忆这些乘法口诀并会用它们来计算有关的乘法题。
2、进一步培养抽象概括能力和语言表达能力。
3、进一步感受数学与生活的联系，培养学习数学的兴趣。
教学重点：理解乘法口诀的含义，了解乘法口诀的结构，熟记乘法口诀，应用乘法口诀计算有关乘法。
教学过程：一、激情导入1. 多媒体演示王老师带着4组小朋友（每组4人）去公园的场景。
?播音：今天的天气真好，一（1）班的王老师要带孩子们去儿童乐园玩。
她带了多少个小朋友？青青：4+4=8，8+4=12，12+4=16，4+4+4+4就等于16!阳阳：我有比你更简单的方法呢!青青：我才不信呢!2. 谈话：小朋友，阳阳确实有更简单的计算方法，你们想学习吗？?揭题：2、3、4的乘法口诀。
（板书）谈话：走，我们随王老师他们一起去儿童乐园玩吧!二、学习新知1. 谈话：随着王老师的一声令下，小朋友都跑到儿童乐园里自己最喜欢的地方去玩了。
大家一起随王老师去看看吧。
2. 学习2的乘法口诀。
多媒体演示跷跷板画面。
提问：小朋友，你看到了什么？学生回答。
提问：一个跷跷板坐2人，1个2是几？你会列出乘法算式吗？还可以怎么列？两个跷跷板坐几人？2个2是几，你怎么列乘法算式？讲述：12=2我们可以编一句口诀：一二得二，会说吗？一二得二表示什么意思？那你会根据22=4编一句口诀吗？小组同学交流一下，得出二二得四。
追问：二二得四表示什么意思？表扬：哎呀，小朋友真不简单，讨论一下就编出了这句口诀。
看看21=□你运用什么口诀？谈话：王老师看你们这么聪明，想考考你们啦!投影显示下列画面：3. 学习3的乘法口诀。
谈话：走，我们和王老师一起去别的地方看看。
多媒体演示小朋友荡秋千的场景。
提问：这些小朋友在干什么？图上共有几个秋千？每个秋千上坐几个人？你还想到什么问题？小组互相交流一下。
123乘法公式(1)
12.3乘法公式（1）--------- 两数和乘以这两数的差⑴教学目标1．知识目标：理解两数和乘以这两数差的公式；2．能力目标：会应用两数和乘以这两数差公式进行计算；3．情感目标：通过主动探索与相互之间的交流，获得新的知识体系和学习技巧，进一步激发自己的学习兴趣，体会数学的应用价值．教学重点与难点1．教学重点：理解两数和乘以这两数差的公式的各项特点，通过练习强化对公式的记忆，2．教学难点：两数和乘以这两数差的公式的应用．教学过程一、知识回顾，复习引入1．多项式乘以多项式的法则是什么？2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果．3．计算：（利用多项式与多项式的乘法法则）(1) (x＋2)(x－2)；(2) (a＋3b)(a－3b) ．4．观察，引导⑴请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?⑵这两个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?5．归纳小结：发现公式中，当a、b互为相反数时，一次项系数就为零．可得公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2二、学生活动，探索规律先观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算＝－三、数学理论，数学运用例1 计算（课本P31例1 ）⑴ (a ＋3)(a －3) ； ⑵ (2a ＋3b )(2a －3b )；⑶ (1＋2c )(1－2c ) ； ⑷ (－2x －y )(2x －y ) ．解：⑴ (a ＋3)(a －3)＝a 2－32＝a 2－9．⑵ (2a ＋3b )(2a －3b )＝(2a )2－(3b )2＝4a 2－9b 2．⑶ (1＋2c )(1－2c )＝12－(2c )2＝1－4c 2．⑷ (－2x －y )(2x －y )＝(－y －2x )(－y ＋2x )＝(－y )2－(2x )2＝y 2－4x 2．例2 先化简，再求值： (2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2．解：原式＝(2x )2－y 2－［(2y )2－x 2］＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝5x 2－5y 2．当x ＝1，y ＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15．四、课内练习，巩固提高课内练习：1．(2a ＋12)(2a －12)． 2．(－3x ＋2y )(－3x －2y ) ．3．(ab －2)(－2－ab ) ．4．(a ＋2)(a －2) (a 2＋4) ．五、回顾反思，升华提高1．理解并能运用公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2来进行计算，能识别题目是否满足此公式．2．能否找出题目中相当于公式里的a与b的数或式子．课后作业课本练习-----两数和乘以这两数的差⑵教学目标1．知识目标：理解两数和乘以这两数差的公式．2．能力目标：会应用两数和乘以这两数差公式进行有关的简便计算以及实际应用．3．情感目标：通过主动探索与相互之间的交流，能熟练掌握两数和乘以这两数差公式，从中体会数学的应用价值．教学重点与难点1．教学重点：利用两数和乘以这两数差的公式进行简便计算及应用．2．教学难点：两数和乘以这两数差的公式的灵活应用．教学过程六、复习提问，知识回顾1．两数和乘以这两数差的公式是什么？2．利用公式说出以下各题的结果．(1) (x＋4)(x－4)；(2) (a－2b)(a－2b)；(3) (x2＋2y)(x2－2y)；(4) (－x＋3y)(－x＋3y) ．七、数学理论，数学运用例1（课本P32例2 ）计算：1998×2002．解：1998×2002＝(2000－2)×(2000＋2)＝20002－22＝4000000－4＝3999996．小结：利用两数和乘以这两数差的公式简便运算．例2 （课本P32例3 ）街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米．改造后得到一块长方形草坪，求这块长方形草坪的面积.解：(a＋2)(a－2) ＝a2－4．答：改造后的长方形草坪的面积是(a2－4)平方米．小结：利用两数和乘以这两数差的公式来解决实际问题，分析问题时可以利用图形来说明．例3 计算：(2＋1)(22＋1) (24＋1) (28＋1) (216＋1)＋1．分析：本题不能直接利用公式，但可以通过转化来解决问题．解：(2＋1)(22＋1) (24＋1) (28＋1) (216＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1) (24＋1) (28＋1) (216＋1)＋1＝(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1) (216＋1)＋1＝(24－1) (24＋1) (28＋1) (216＋1)＋1＝(28－1) (28＋1) (216＋1)＋1＝(216－1) (216＋1)＋1＝232－1＋1＝232．八、课内练习，巩固提高课内练习计算：1．(3x ＋4)(3x －4) ．2．(9x ＋12y )(12y －9x ) ．3．102×984．(12＋1) (122＋1) (124＋1) (128＋1)思考题：如果(2a ＋2b ＋1) (2a ＋2b －1) ＝63，那么a ＋b 的值为多少．分析：要求a ＋b 的值，那我们能否把a ＋b 看成一个整体，这样的话，条件所给的式子又能不能用公式去解决．解：设x ＝a ＋b ．则有 (2x ＋1) (2x －1) ＝634x 2＝64x 2＝16x ＝±4．九、回顾反思，升华提高1．本节课是对两数和乘以这两数差的公式的强化和深化，对学生提出更高的要求，使学生能灵活掌握两数和乘以这两数差的公式．2．在进行乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合两数和乘以这两数差的公式，如果符合，则直接应用公式；如果不符合，那看是否能转化为此公式，如例3．课后作业课本习题。
常用的巧算和速算方法
常用的巧算和速算方法小学数学速算与巧算方法例解【转】速算与巧算在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。
速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。
一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是5=45 共9个数（2）计算：1+3+5+7+9=5×5 中间数是5=25 共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10=6×5 中间数是6=30 共有5个数（4）计算：3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数（5）计算：4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×4=20×4=80共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.加法中的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂396590 乘法公式知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()ab a b a b两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y （3）指数变化：如3232()()mn mn （4）符号变化：如()()a b a b （5）增项变化：如()()m n p m n p （6）增因式变化：如2244()()()()ab ab ab ab 要点二、完全平方公式完全平方公式：2222a baab b2222)(babab a两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2222a b a b ab22a b ab224a ba bab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ；2233()()a b a ab b a b ；33223()33a b aa babb ；2222()222ab c abcab ac bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)2332a b b a ； (2) 2323a b a b ； (3) 2323a ba b ； (4)2323a b a b ； (5)2323a b a b ； (6)2323a ba b ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) 2323a b a b ＝23b －22a ＝2294b a ．(3) 2323a ba b ＝22a－23b＝2249ab ．(4) 2323a b a b ＝22a －23b ＝2249ab ．(5)2323a b a b＝23b －22a ＝2294b a ．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x yy ；（2）(2)(2)x x ；（3）(32)(23)xy y x ．【答案】解：（1）原式2222392244xx y y ．（2）原式222(2)4xx ．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x xy xy xy ．2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算： (1)23a b ； (2)232a ； (3)22x y； (4)223x y．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) 22222332396a b aa b baab b ．(2) 222223223222334129a a aa aa ．(3) 22222222244x yxx y y xxy y．(4)2222222323222334129x y x yxx y y xxy y ．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意22a ba b 之间的转化．4、（2015春?吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案与解析】解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×５=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、（2016春?常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y=3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，∴xy+3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．举一反三：【变式】已知2a b和ab的值．a b，求22()7()4a b，2【答案】解：由2a ab b；①27a b，得22()7由2()4ab ，得2224aab b．②①＋②得222()11a b ，∴22112a b．①－②得43ab ，∴34ab．。
四年级数学必考乘法交换律结合律分配律(附专项练习及答案)
四年级数学必考乘法交换律、结合律、分配律（附专项练习及答案）什么是乘法交换律？三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
它是一种简算定律，在小学四年级均有涉及。
乘法交换律是乘法运算的一种运算定律。
主要公式为ab=ba（注意，在乘法与数字中，乘号用·表示，列：a·b=b·a或：ab=ba）。
作用：它可以改变乘法运算当中的运算顺序，在日常生活中乘法交换律运用的不是很多，主要是在一些较复杂的运算中起到简便的作用。
应用：（1）因数中间有零或者未尾有零交换位置相乘一般情况下可以简便计算过程。
（2）其中一个因数由重复的数字组成的，利用交换律计算也有简便。
运算例题如: 3×4×5=3×5×4=605.5×9×10=5.5×10×9=55×9=495什么是乘法结合律？定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
运算方法：主要公式为(a×b)×c=a×(b×c),它可以改变乘法运算当中的运算顺序 .在日常生活中乘法结合律运用的不是很多,主要是在一些较复杂的运算中起到简便的作用。
乘法结合律是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
注意：乘法结合律不适用于向量的计算。
例子：69×125×8=69×(125×8)=69×1000=6900什么是乘法分配律？两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。
用字母表示：（a+b）x c=axc+bxc还有一种表示法：ax(b+c)=ab+ac示例25×404=25×(400+4)=25×400+25×4=10000+100=10100乘法分配律的逆运用25×37+25×3=25×(37+3)=25×40=1000乘法分配律还可以用在小数、分数的计算上。
九九乘法口诀表(A4纸可直接打印,附乘法口算窍门诀窍)
九九乘法口诀表(A4纸可直接打印,附乘法口算窍门诀窍)九九乘法口诀表十二2×2=42×3=62×4=82×5=102×6=122×7=142×8=162×9=183三×3=93×4=123×5=153×6=183×7=213×8=243×9=2744×4=164×5=204×6=244×7=284×8=324×9=3655×5=255×6=305×7=355×8=405×9=4566×6=366×7=426×8=486×9=5477×7=497×8=567×9=6388×8=648×9=7299×9=8111×1=121×2=231×3=341×4=451×5=561×6=671×7=781×8=891×9=91一一一二一三一四一五一六六一七一八八一九九二二二得四二三得六二四得八二五一十二六十二二七十四二八十六二九十八3三三得到九三四二三五三六八三七二一三八二四三九二七四四四十六四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六5五五二五六三五七三五八四五九四五六六六三十六六七四十二六八四十八六九五十四777四978567963 8八八六十四八九七十二999八1 123456789122×2=42×3=62×4=82×5=102×6=122×7=142×8=162×9=1833×3=93×4=123×5=153×6=183×7=213×8=243×9=2744×4=164×5=204×6=244×7=284×8=324×9=3655×5=25 5×6=305×7=355×8=405×9=4566×6=366×7=426×8=486×9=5477×7=497×8=567×9=6388×8=648×9=7299×9=8111×1=121×2=231×3=341×4=451×5=561×6=671×7=781×8 =891×9=91/5Grand 99乘法公式表（19×19的乘法口诀表）1的乘法为：1×1=11×2=21×3=31×4=41×5=51×6=61×7=71×8=81×9=91×10=101×11=111×12=12 1×13=131×14=141×15=151×16=161×17=171×18=181×19=192×2=42×10=202×18=363×3=93×11=333×19=574×4=164×11=444×18=725×5=255×12=606×6=366×13=787×7=497×14=988×8=648×15=1209×9=819×16=1442乘的乘法有:2×3=62×4=82×5=102×6=122×7=142×8=162×9=182×11=222×12=242×13=262×14=2 82×15=302×16=322×17=342×19=383乘的乘法有:3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=243×9=273×10=303×12=363×13=393×14=423×1 5=453×16=483×17=513×18=544的乘积为：4×5=204×6=244×7=284×8=324×9=364×10=404×12=484×13=524×14=564×15=604×16=644×17=684×19=765乘的乘法有:5×6=305×7=355×8=405×9=455×10=505×11=555×13=655×14=705×15=755×16=805×17=855×18=905×19=956乘的乘法有:6×7=426×8=486×9=546×10=606×11=666×12=726×14=846×15=906×16=966×17=102 6×18=1086×19=1147的乘积为：7×8=567×9=637×10=707×11=777×12=847×13=917×15=1057×16=1127×17=1197×18 =1267×19=1338乘的乘法有:8×9=728×10=808×11=888×12=968×13=1048×14=1128×16=1288×17=1368×18=1448×19=1529的乘积为：9×10=909×11=999×12=1089×13=1179×14=1269×15=1359×17=1539×18=1629×19=17 110乘的乘法有:2/510×10=10010×11=11010×12=12010×13=13010×14=14010×15=15010×16=16010×17=1 7010×18=18010×19=19011倍的乘法是：11×11=12111×12=13211×13=14311×14=15411×15=16511×16=17611×17=18711×18=1 9811×19=20912倍的乘法是：12×12=14412×13=15612×14=16812×15=18012×16=19212×17=20412×18=21612×19=2 2813倍的乘法是：13×13=16913×14=18213×15=19513×16=20813×17=22113×19=24714倍的乘法是：14×14=19614×15=21014×16=22414×17=23814×18=25215倍的乘法是：15×15=22515×16=24015×17=25515×18=27015×19=28516倍的乘法是：16×16=25616×17=27216×18=28816×19=30417倍的乘法是：17×17=28917×18=30617×19=32318倍的乘法是：18×18=32418×19=34219倍的乘法是：19×19=361印度计算机培训请试着用心算算出下面的答案：13×12=？（乘数）×（乘数）印度人是这样算的：第一步：首先将13+2=15加到（13）和乘法器的一位数（2）上3/513×18=23414×19=266第2步：然后将第1步的答案乘以10（即，在其后面加一个0）第三步：再把被乘数的个位数（3）乘以乘数的个位数（2）2×3=6（13+2）× 10+6=156就这样，用心算就可以很快地算出11×11到19×19了喔。
《用2~6的乘法口诀求商》教案(含试卷)
《用2~6的乘法口诀求商》教案学习内容：用2~6的乘法口诀求商。
学习目标：使学生初步学会用2～6的乘法口诀求商的方法，并能用2～6的乘法口诀进行一些比较简单的除法计算（被除数不超过36）。
学习过程：1．按顺序背乘积不大于36的2～6的乘法口诀。
2．二（）得八二（）一十（）六十二三（）得九（）三得六三（）十二3．读出下面各除法算式，并说出每个除法算式中各部分的名称以及每个除法算式表示的意思。
93＝384＝2123＝4l26＝24、让学生观察练习五的第1题，并独立完成后，再请学生说说你是怎样想的。
5、第2题请学生先从鸽子归巢的情境图中收集信息，完成填空。
再让学生提出问题，并填写除法算式。
6、第3、5题采用游戏的形式进行。
7、第4、7题采用活动的形式进行练习。
8、第6、9题采用比赛的形式进行练习。
9、让学生打开课本阅读第8题。
四人小组说说题意，并提醒学生用今天学习的方法计算。
10、教师提问，学生回答，再填写。
如：要算12除以2等于几怎样想？用哪句口诀？在口诀的括号里应填什么？商是几？那么，12除以2等于几？在此基础上独立做quot;126＝□quot;。
教师巡视，注意对差生的辅导，集体订正。
11、第11题，教师说明题意，并带着学生先做。
做题时，可以要求学生边计算边小声说一说思路，或说出用的是哪句口诀。
如果想不起来用哪句口诀，可以看除法算式上面的乘法算式。
教师巡视，集体订正。
订正时，要让学生说是怎样想的。
对于学习比较好的学生，可以让他们直接说口诀，不必再说quot;想几和几相乘得几quot;这一步，以简缩学生的思维。
对计算有困难的学生，还应让他们按照先想乘法，再想口诀，最后得商的方法。
使他们切实掌握用口诀求商的方法。
12、第12题是“平均分”的实际问题。
先让学生根据直观图，口述要解决的问题和有关信息数据，再让学生独立解决提出的问题。
13、师生共同总结本练习课的内容。
熟练总结出用乘法口诀求商的方法。
教学反思：小升初数学模拟试卷一、选择题1．m为合数，小明根据短除法分解质因数得到,以下描述正确的有（）个①x=1可能是方程ax+1=2的解②a，b，c中不可能有偶数，也不可能有合数③a，b，c可能都是偶数④如果a是2的倍数，那么a一定是2A．0 B．1 C．2 D．42．一个四位数abcd，a是1-9中的质数，b是1-9中的合数，c是1-9中的偶数，d是1-9中的奇数，则以下说法错误的有（）个①一共可组成320个四位数②其中最大的数是7989③其中最小的数读作“一千四百二十一”④最大的数与最小的数的差是5568⑤这些四位数是5的倍数的可能性为0⑥若b=c，则一定有b=c=4⑦在其中最小的那个四位数中，一定有a=1A．5 B．4 C．3 D．23．“鸡兔同笼”是我国古代名题之一，《孙子算经》是这样记载的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，你认为结果是（）A．鸡23只兔12只B．鸡12只兔23只C．鸡14只兔21只4．下列图形中，（）不是轴对称图形．A．B．C．D．5．明明今年a岁，东东今年a+4岁，再过x年，他们相差（）岁．A．a B．4 C．x6．一张长10cm、宽8cm的纸，如果在它的四个角上各剪去一个边长为2cm的正方形，那么剩下纸片的周长与原来长方形的周长相比，( )。
五年级上册数学概念公式123
五年级上册数学概念公式第一单元：小数乘法1、小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.2×5表示5个1.2是多少。
2、一个数乘纯小数的意义就是求这个数的十分之几、百分几、千分之几……是多少。
如：1.2×0.5表示求1.2的十分之五是多少。
3、小数乘法的计算方法：计算小数乘法，先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
乘得的积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点上小数点。
4、一个数（0除外）乘1，积等于原来的数。
一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
5、整数乘法的交换律、结合律和分配率，对于小数乘法也适用。
第二单元：小数除法1、小数除法的意义与整数除法的意义相同,是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
如：2.4÷1.6表示已知两个因数的积是2.4与其中一个因数是1.6,求另一个因数是多少。
2、小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
如果除到末尾仍有余数，要添0再继续除。
3、被除数比除数大的，商大于1。
被除数比除数小的，商小于1。
4、计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，数位不够的要添0补足。
再按照除数是整数的小数除法进行计算。
5、一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。
一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。
一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。
6、A除以B=A÷B；A除B=B÷A；A去除B=B÷A；A被B除=A÷B。
7、一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
8、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
小数部分是无限的小数叫做无限小数。
八年级数学上册123乘法公式教案华东师大版
12.3 乘法公式习题课教学目标知识与技能：引导学生进行观察、分析，使他们能掌握每一个公式的结构特征，及其公式的含义，并能熟练应用乘法公式．过程与方法：经历探索和理解，感受到乘法公式是一般到特殊的认知过程，开阔学生视野．情感态度与价值观：培养探究意识，感悟数学方法，形成良好的数学感知，体会其实际价值．重点、难点、关键重点：乘法公式的正确应用，提高运算能力．难点：对乘法公式的结构特征以及意义的理解．关键：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特征，加深理解，并培养学生在多变的情况下运用公式．教具准备投影仪．教学过程一、回顾1．口述两数和乘以它们的差的公式．2．口述两数和的平方的公式．3．这两个公式在结构特征上有什么区别？二、参与其中，主动探索例1 计算：（1）（72y+35x）（53x－72y）（2）（－37a－15a2b）（37a－15a2b）（3）（3x－4y）（3x+4y）（9x2+16y2）思路点拨：计算上述题目，注意正确应用两数和乘以这两数的差，在应用公式时注意符号问题．例2 计算（2x－3y－1）（2x+3y+1）．思路点拨：本题不能直接用乘法公式，应进行适当的变形，使这个算式符合公式的特征．可采用适当的分组，变形为[2x－（3y+1）][ 2x +（3y+1）]，这就完全符合公式条件了．解：（2x－3y－1）（2x+3y+1）=[2x－（3y+1）][2x+（3y+1）]=4x2－（3y+1）2=4x2－（9y2+6y+1）=4x2－9y2－6y－1点评：如本道题这样的两个三项式的积，一般说，在对应的三项之中，有一项相同，两项互为相反数，或者有两项完全相同，一项互为相反数，通常是将完全相同的项分为一组，符号相反，绝对值相等的项分为另一组．例3 运用乘法公式计算．（1）745×815（2）100012思路点拨：因为745可以改写成8－15，815可以改写成8+15，•这样可用两数和乘以这两数差的公式．同样，100012可以改写成（10000+1）2，可以用两数和的平方公式来运算．解：（1）745×815=（8－15）（8+15）=64－124632525（2）（10000+1）2=100002+20000+1=100020001 例4 先化简，再求值．[（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2），其中x=2，y=－1．思路点拨：本道题应先通过化简，这里的中括号内的两项用乘法公式展开并整理后得12y2+2x2，则原代数式化简为（12y2+2x2）（12y2－2x2），再通过观察和分析，•可联想到用两数和乘以这两数的差的公式就容易进一步化简了．解 [（x+12y）2+（12y－x）2]（12y2－2x2）=[（x2+xy+14y2）+（14y2－xy+x2）]（12y2－2x2）=（12y2+2x2）（12y2－2x2）=14y2－4x2当x=2，y=－1时原式=14×（－1）2－4×22=14－16=－1534点评：对于代数式求值问题，一般是先将所给代数式化简成最简单的形式，然后代入求值．教师活动：讲演范例、引导．学生活动：参与讨论、探索规律．教学活动：合作探究．三、随堂练习，巩固知识1．填空题：（1）（2x+7y）（2x－7y）=_________（2）（－x－2y）2=_________（3）19952－1994×1996=_________（4）若x+y=－1，xy=5，则x2+y2=_______（5）若a+b=－5，ab=7，则（a－b）2=________（6）（x－y）（x+y）（x2－y2）=_________2．计算题．（1）（3x+4）2（3x－4）2（2）（x+y－z）（x－y+z）（3）（x+3）2－2（x+3）（x－3）－3（x－3）2（4）（x－2b+1）2（5）0.982教师活动：操作投影仪、巡视、引导．学生活动：书面练习，板演、回答提问．教学方法和媒体：投影显示练习题．四、全课小结，提高认识1．本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法，•掌握好乘法公式的结构特征，并注意其区别． 2．掌握乘法公式使计算简便．3．通过学习能灵活运用公式进行计算，提高运算能力，•还应提高综合运用公式的能力．五、作业布置选用课时作业设计．课时作业设计一、判断题1．（a－b）2=a2－b2（）2．（x－y）2=x2－2xy－y2（）3．（2x－y）（2y－x）=4x2－y2（）4．（x+2y）（x－2y）=x2－4xy+y2（）5．（－m－n）2=m2+2mn+n2（）二、填空题6．（x 2+23）2=x 4+______+49 7．（x －52y ）2=x 2－5xy+______8．（______+2714)______55b =+ab+______9．（－7x －3y ）2（－7x+3y ）2=________10．12x 2－3（x －1）（x －7）=________ 11．若a+1a =53，则a 2+21a =__________12．若x （x －1）－（x 2－y ）=4，则222y x +－xy=_________三、选择题13．计算（a －1）（a+1）（a 2+1）的正确结果是（ ）．A ．a 4+1B ．a 4－1C ．a 4+2a+1D ．a 2－114．在下列各式的计算中正确的个数有（ ）个．（1）（－x －y ）2=x 2+y 2 （2）（14x+1）2=14x 2+12x+1（3）（x －2y ）2（x+2y ）2=x 4－16y 4（4）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）=m 8－2m 4n 4+n 8A ．0B ．2C ．3D ．415．多项式x 的计算结果是x 2y 2－2xy+1，则x 等于（ ）．A ．（xy －1）2B ．（xy+1）2C ．（x+y ）2D ．（x －y ）216．下列各式的计算中，错误的是（ ）．A ．（x+1）（x+4）=x 2+5x+4B ．（x 2－13）（x 2+13）=x 4－19C ．1－2（xy －1）2=－2x 2y 2+4xy －1D ．（1+4x ）（1－4x ）=1－32x+16x 2四、计算题17．（2m －1）（2m+1）－3（m －2）218．（1－2x ）（1－3x ）－4（3x －1）219．（14x －25y ）2（14x+25y ）220．（m 4+116）（m 2+14）（m+12）（m －12）21．（a －2b+3）（a+2b －3）22．（a －2b －3）（a －2b+3）23．[（x －y ）2+（x+y ）2]（x 2－y 2）24．（m －n －3）2五、先化简，再求值25．（m －14n ）（m+14n ）－3（m+14n ）2，其中m=－1，n=4．26．[（x+y ）2+（x －y ）2+（x －12y ）2－（x+12y ）2]·（x+y ），其中x=12，y=34．六、解下列方程27．（x －2）（x+1）=（x －3）（x+5）－1028．（2x+1）（x －1）－1=（1+x ）（2x －1）29．（3x －4）（3x －4）>8（x －2）（x+3）+x 2答案:一、1．× 2．× 3．× 4．× 5．∨二、6．43x 2 7．2225498.425y a a b 9．81y 4－882x 2y 2+2401x 410．9x 2+24x －21 11．79 12．•8三、13．B 14．A 15．A 16．D四、17．m 2+12m －1318．－30x 2+19x －3 19．422481116120.25650625256x x y y m -+-21．a 2－4b 2+12b －9 22．a 2－4ab+4b 2－9 23．2x 4－2y 424．m 2+n 2+9－2mn －6m+6n五、25．0 26．3532六、27．x=233 28．x=－12 29．x<4八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．--种饮料有大、中、小3种包装，一个中瓶比2个小瓶便宜2角，一个大瓶比一个中瓶加上一个小瓶贵4角，若大、中、小各买1瓶，需要9元6角.设小瓶单价是x角，大瓶的单价是y角，可列方程组为（）A．39832x yy x+=⎧⎨-=⎩B．39832x yy x+=⎧⎨+=⎩C．29834x yy x+=⎧⎨-=⎩D．39822x yx y-=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设设小瓶单价为x角，大瓶为y角，根据题意列出二元一次方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：设小瓶单价为x角，大瓶为y角，则中瓶单价为（2x-2）角，可列方程为：39832x yy x+=⎧⎨-=⎩，故选A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．2．若等腰三角形的周长为15cm，其中一边为7cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．4cm B．4cm或7cm C．1cm或7cm D．7cm【答案】C【分析】分底为7cm和腰为7cm两种情况进行讨论，再根据三角形的三边关系进行验证．【详解】分两种情况讨论：①当底为7cm时，此时腰长为4cm和4cm，满足三角形的三边关系；②当腰为7cm时，此时另一腰为7cm，则底为1cm，满足三角形的三边关系；综上所述：底边长为1cm或7cm．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况讨论是解答本题的关键．3．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于()A ．65°B ．95°C ．45°D ．85°【答案】B 【分析】根据OA ＝OB ，OC ＝OD 证明△ODB ≌△OCA ，得到∠OAC=∠OBD ，再根据∠O ＝50°，∠D ＝35°即可得答案.【详解】解：OA ＝OB ，OC ＝OD ，在△ODB 和△OCA 中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA （SAS ）,∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°，故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 4．下列说法正确的是（ ）A 3x =x ，则x=0或1B ．算术平方根是它本身的数只有0C ．25 3D 5【答案】C【分析】根据算术平方根，立方根，实数和数轴的关系逐个判断即可．【详解】A 3x =x ，则x=0或±1，故本选项错误； B 、算术平方根是它本身的数有0和1，故本选项错误；C 、253，故本选项正确；D 、数轴上的点可以表示无理数，有理数，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，实数和数轴的关系的应用，主要考查学生的辨析能力和理解能力．-的点P 5．如图，已知数轴上的五点A，O，B，C，D分别表示数1-，0，1，2，3，则表示51应落在线段()A．线段BC上B．线段OA上C．线段OB上D．线段CD上【答案】A-的取值范围，然后根据数【分析】先求出5的取值范围，从而求出5-1的取值范围，继而求出51轴即可得出结论．【详解】解：∵2＜5＜3∴2-1＜5-1＜3-1即1＜5-1＜2-＜2∴1＜51-的点P应落在线段BC上．由数轴可知表示51故选A．【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．6．下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】A是轴对称图形，不符合题意，B不是轴对称图形，符合题意，C是轴对称图形，不符合题意，D是轴对称图形，不符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．7．已知关于x 的分式方程111k x x x +=--无解，则k 的值为 （ ） A ．2k =-B ．2k =C ．1k =-D ．1k = 【答案】A 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程可得答案． 【详解】解： 111k x x x+=--， 1,11k x x x +-∴=-- 1,k x ∴+=-方程的增根是1,x =把1x =代入1k x +=-得：2.k ∴=-故选A ．【点睛】本题考查分式方程的增根问题，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值是解题的关键．8．已知多项式()()231x x x bx c -+=++，则b 、c 的值为（ ） A ．2b =，3c =B ．4b =-，3c =C ．2b =-，3c =-D ．4b =-，3c =-【答案】C 【分析】根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后对应系数即可求出结论．【详解】解：∵()()231x x x bx c -+=++ ∴2223x x x bx c --=++∴2b =-，3c =-故选C ．【点睛】此题考查的是整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则是解决此题的关键．9．直线l 上有三个正方形A 、B 、C 放置如图所示，若正方形A 、C 的面积分别为1和12，则正方形B 的面积为（ ）．A ．11B ．12C ．13 D．145【答案】C【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得EDF HFG ∠=∠，然后可依据AAS 证明EDF ∆≌HFG ∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵A 、B 、C 都是正方形，∴DF FH =，90DFH ∠=︒，90EDF HFG ∴∠=∠=︒∴90DFE HFG ∠+∠=︒，90EDF DFE ∠+∠=︒∴EDF HFG ∠=∠，在DEF ∆和FGH ∆中，,EDF HFGDEF HGF DF HF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴EDF ∆≌HFG ∆ (AAS)，DE FG ∴=，EF HG =；∴在Rt DEF 中，由勾股定理得：22222DF DE EF DE HG =+=+，即11213B A C S S S =+=+=，故选：C ．【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，发现两个直角三角形全等是解题的关键. 10．49的平方根为（ ）A ．7B ．－7C ．±7D ．±7【答案】C【分析】根据平方根的定义进行求解即可.【详解】.∵2(7) =49，则49的平方根为±7. 故选：C二、填空题11．如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A 方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为x ，△PAB 面积为y ，如果y 与x 的函数图象如图②所示，则矩形ABCD 的面积为__．【答案】1【分析】根据图象②得出AB 、BC 的长度，再求出面积即可．【详解】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6，所以矩形ABCD 的面积是4×6=1， 故答案为1．【点睛】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．12．如图：已知AB=AD,请添加一个条件使得△ABC ≌△ADC ，_______（不添加辅助线）【答案】DC=BC(∠DAC=∠BAC)【分析】根据已知条件，已知三角形的两条边相等，若使三角形全等，由SSS 或SAS 都可判定，即添加边相等或夹角相等即可.【详解】∵AB=AD,AC=AC∴添加DC=BC(或∠DAC=∠BAC)即可使△ABC ≌△ADC ，故答案为：DC=BC(∠DAC=∠BAC).【点睛】此题主要考查添加一个条件判定三角形全等，熟练掌握，即可解题.13．如图，在Rt ABC ∆中， 3490AB AC BAC BC ==∠=︒，，，的中垂线DE 与Rt ABC ∆的角平分线AF 交于点E ，则四边形ABEC 的面积为____________【答案】12.25【分析】过点E 作EG ⊥AB 交射线AB 于G ，作EH ⊥AC 于H ，根据矩形的定义可得四边形AGEH 为矩形，然后根据角平分线的性质可得EG=EH ，从而证出四边形AGEH 为正方形，可得AG=AH ，然后利用HL 证出Rt △EGB ≌Rt △EHC ，从而得出BG=HC ，列出方程即可求出AG ，然后根据S 四边形ABEC = S 四边形ABEH ＋S △EHC 即可证出S 四边形ABEC = S 正方形AGEH ，最后根据正方形的面积公式求面积即可．【详解】解：过点E 作EG ⊥AB 交射线AB 于G ，作EH ⊥AC 于H∴∠AGE=∠GAH=∠AHE=90°∴四边形AGEH 为矩形∵AF 平分∠BAC∴EG=EH∴四边形AGEH 为正方形∴AG=AH∵DE 垂直平分BC∴EB=EC在Rt △EGB 和Rt △EHC 中EG EH EB EC =⎧⎨=⎩∴Rt △EGB ≌Rt △EHC∴BG=HC∴AG －AB=AC －AH∴AG －3=4－AG解得AG=3.5∴S 四边形ABEC = S 四边形ABEH ＋S △EHC= S 四边形ABEH ＋S △EGB=S 正方形AGEH=AG 2=12.25故答案为：12.25.【点睛】此题考查的是正方形的判定及性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质和正方形的面积公式，掌握正方形的判定及性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质和正方形的面积公式是解决此题的关键．14．已知3221-可以被10到20之间某两个整数整除，则这两个数是___________．【答案】15和1；【分析】将3221-利用平方差公式分解因式，根据3221-可以被10到20之间的某两个整数整除，即可得到两因式分别为15和1．【详解】因式分解可得：3221-=（216+1）（216-1）=（216+1）（28+1）（28-1）=（216+1）（28+1）（24+1）（24-1），∵24+1=1，24-1=15，∴232-1可以被10和20之间的15，1两个数整除．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式分解因式.15．如图，身高为xcm 的1号同学与身高为ycm 的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x__y （用“＞”或“＜”填空）．1号2号【答案】＜【解析】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，故答案为＜．16．约分：2322515a bcab c-=______．【答案】2 53acb -【分析】根据分式的基本性质，找到分子分母的公因式，然后进行约分即可.【详解】2322515a bcab c-=22555533abc ac acabc b b⋅-=-⋅.故答案为2 53acb -.【点睛】此题主要考查了分式的约分，确定并找到分子分母的公因式是解题关键.17．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为__________．【答案】（4,2）【解析】试题考查知识点：图形绕固定点旋转思路分析：利用网格做直角三角形AMB，让△AMB逆时针旋转90°，也就使AB逆时针旋转了90°，由轻易得知，图中的AB′就是旋转后的位置．点B′刚好在网格格点上，坐标值也就非常明显了．具体解答过程：如图所示．做AM ∥x 轴、BM ∥y 轴，且AM 与BM 交于M 点，则△AMB 为直角三角形,线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°，可以视为将△AMB 逆时针方向旋转90°（）得到△ANB′后的结果． ∴,AN ⊥x 轴，NB′⊥y 轴，点B′刚好落在网格格点处 ∵线段AB 上B 点坐标为（1，3）∴点B′的横坐标值为：1+3=4；纵坐标值为：3-1=2即点B′的坐标为（4,2）试题点评：在图形旋转涉及到的计算中，还是离不开我们所熟悉的三角形．三、解答题18．先化简,再求值: 2224(3)(3)(105)(2)45x y x y xy xy x y x y +---++-,其中x=1，y=2. 【答案】2134x xy -；5【分析】利用平方差公式、完全平方公式以及整式的混合运算将原式化简，再将x=1，y=2代入化简后的式子，求值即可.【详解】解：原式22222222984444x y xy x y x xy y x y =--++++- 2134x xy =-当x=1，y=2时，原式21314121385=⨯-⨯⨯=-=【点睛】本题考查整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则以及平方差公式、完全平方公式是解题关键.19．已知：如图，,,8,3B C AB AC AB AE ∠=∠===，(1)求证：ABE ACD △≌△.(2)求BD 的长.【答案】 (1)证明见详解；(2)BD=5.【分析】(1)由已知利用ASA 即可得证；(2)利用全等三角形对应角相等得到AE=AD ，再由BD AB AD =-即可求得答案．【详解】解：(1)在ABE ∆和ACD △中B C AB AC A A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩() ABE ACD ASA ∴∆≌(2)ABE ACD ∆≌,AE AD ∴=.33AE AD =∴=，.8BD AB AD AB =-=，,835BD ∴=-=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件.20．两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成：2(1)(9)x x --，另一位同学因为看错了常数项而分解成了2(2)(4)x x --.请求出原多项式，并将它因式分解.【答案】1x 1−11x ＋2；1（x−3）1．【分析】根据多项式的乘法将1（x−1）（x−9）展开得到二次项、常数项；将1（x−1）（x−4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式1后利用完全平方公式分解因式．【详解】∵1（x−1）（x−9）＝1x 1−10x ＋2；1（x−1）（x−4）＝1x 1−11x ＋16；∴原多项式为1x 1−11x ＋2．1x 1−11x ＋2＝1（x 1−6x ＋9）＝1（x−3）1．【点睛】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．21．（1）计算：()05 3.1-+π-（2）化简求值：()()()22244x y x y x y y +--+÷⎡⎤⎣⎦，其中3x =，2y =-．【答案】（1）4；（2）25x y --，4【分析】(1)利用负数的绝对值是正数，任何一个数的零指数幂等于1（0除外）以及二次根式和三次根式的运算即可求出答案；(2)利用多项式乘以多项式将括号里的展开后再合并同类项，最后利用多项式除以单项式化简，将具体的值代入即可．【详解】解：(1)原式51424=+-+=；(2)原式()()2222248164820425x y x xy yy xy y y x y =----÷=--÷=--． 当3x =，2y =-时原式()23526104=-⨯-⨯-=-+=．【点睛】本题主要考查的是实数的混合运算以及整式的乘除，掌握正确的运算方法是解题的关键．22．阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ⑴对于正实数，如实数9.1，在整数9—10之间，则整数部分为9，小数部分为9.1-9=0.1．⑵对于负实数，如实数-9.1，在整数-10—-9之间，则整数部分为-10，小数部分为-9.1-（-10）=0.2．依照上面规定解决下面问题：（1的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 、b 的值．（2）若x 、y 分别是8(x y +的值．（3）设， a 是x 的小数部分，b 是 - x 的小数部分．求222a b ab ++的值．【答案】（1）a=2 2；（2）5；（3）1【分析】（1的取值范围，然后根据题意即可求出a 和b 的值；（2的取值范围，然后根据不等式的基本性质即可求出8－x 、y 的值，代入求值即可；（3）将x 化简，然后分别求出x 的取值范围和-x 的取值范围，根据题意即可求出a 和b 的值，代入求值即可．【详解】解：（1）∵2＜3的整数部分a=2，小数部分2-；（2）∵3 4∴-4＜-3∴4＜＜5∴x=4，小数部分-4= 4∴(x y +)=5（3） ∵ x= 1=，∴-x=1-∵1＜2，∴21＜3，-3＜1-＜-21的整数部分为2，小数部分11-的整数部分为-3，小数部分b=2-∴原式 = 2()a b +=1 【点睛】此题考查的是求一个数的整数部分和小数部分，掌握一个数算术平方根的取值范围的求法是解决此题的关键．23．解方程组（1）623 x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）2232x yx y=⎧⎨-=⎩．【答案】（1）51xy=⎧⎨=⎩；（2）42xy=⎧⎨=⎩【分析】（1）利用加减法解方程组；（2）利用代入法解方程组.【详解】（1）623x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①-②得：3y=3，y=1，将y=1代入①，解得x=5，∴原方程组的解是51 xy=⎧⎨=⎩；（2）2232x yx y=⎧⎨-=⎩①②，将①代入②得：4y-3y=2，解得y=2，将y=2代入①得x=4，∴原方程组的解是42 xy=⎧⎨=⎩.【点睛】此题考查二元一次方程组的解法，根据每个方程组的特点选择适合的解法是解题的关键. 24．如图，//AB CD.（1）用直尺和圆规按要求作图：作ACD ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点P ；作AF CP ⊥，垂足为F . （2）判断直线CF 与线段FP 的数量关系，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）CF FP =，证明详见解析.【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及过一点作已知直线的做法作出图形即可；（2）根据作图得出ACP PCD ∠=∠，再结合//AB CD 得出APC ACP ∠=∠，从而得出AP AC =，再根据等腰三角形的三线合一即可得出结论【详解】解：（1）CP ，AF 如图所示：（2）CF FP =.理由：∵CP 平分ACD ∠， ∴ACP PCD ∠=∠,∵//AB CD ，∴APC PCD ∠=∠,∴APC ACP ∠=∠，∴AP AC =，∵AF ⊥CP∴CF FP =.【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．解不等式组3112232x x x ⎧+>-⎪⎨⎪-≥⎩，并求出它的整数解．【答案】解集为：31x -<≤；整数解为：2101--、、、.【分析】分别将不等式组中的两个不等式解出，然后进一步求出解集，从而得出整数解即可. 【详解】①由31122x x +>-得：223x >-，解得：3x >-； ②由32x -≥解得：1x ≤；∴原不等式组解集为：31x -<≤，∴整数解为：2101--、、、.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形逐一判断即可得答案．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，C.是中心对称图形，故该选项符合题意，D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180°后与原图形能够重合．2．下列各式计算结果是6x 的是（ ）A ．23x x ⋅B ．()32xC ．122x x ÷D ．24x x + 【答案】B【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除及合并同类项的知识解答即可.【详解】235x x x ，故A 错误； ()326x x =，故B 正确；12210x x x ÷=，故C 错误；2x 与4x 不是同类项，无法合并，故D 错误.故选：B【点睛】本题考查的是同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除及合并同类项，掌握各运算的法则是关键. 3．已知点P （1+m ，3）在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A ．1m <-B ．1m >-C ．1m ≤-D ．1m ≥-【分析】令点P的横坐标小于0，列不等式求解即可．【详解】解：∵点P P（1+m，3）在第二象限，∴1+m＜0，解得：m＜-1．故选：A．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．如图，已知△ABC，AB=5，∠ABC=60°，D为BC边上的点，AD=AC，BD=2，则DC=()A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，求出BE=52，进而求出DE=52-2=12，即可求CD．【详解】过点A作AE⊥BC．∵AD=AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，∴BE=52．∵BD=2，∴DE=52﹣2=12，故选：B．【点睛】此题考查等腰三角形与直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．5．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE 的长为（）A．5 B．10 C．12 D．13【答案】D【分析】ED垂直平分AB，BE＝AE，在通过△ACE的周长为30计算即可【详解】解：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．6．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是A．B．C．D．【答案】D【详解】开始一段时间内，乙不进行水，当甲的水到过连接处时，乙开始进水，此时水面开始上升，速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，故选D．7．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．75°B．55°C．40°D．35°【答案】C【解析】试题分析：如图，根据平行线的性质可得∠1=∠4=75°，然后根据三角形的外角等于不相邻两内角的和，可知∠4=∠2+∠3，因此可求得∠3=75°-35°=40°．故选C考点：平行线的性质，三角形的外角性质8．若x2+ mx + 9 是一个完全平方式，那么m 的值是（）A．9 B．±18 C．6 D．±6【答案】D【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3积的2倍．【详解】解：∵x 2+mx+9是一个完全平方式，∴x 2+mx+9=（x ±3）2，∴m=±6，故选D ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．若关于x 的分式方程3533x m x x +=--无解，则m 的值是（ ） A ．3B ．3-C ．9D ．9- 【答案】D【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母为零的值，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案.【详解】解：方程去分母得：()353x x m +-=-，整理得：815x m =-， ∴158m x -=， ∵方程无解， ∴1538m -=， 解得：m=-9.故选D.【点睛】本题考查了分式方程的解，利用分式方程的增根得出关于m 的方程是解题关键．10．20190等于（ ）A ．1B ．2C ．2019D ．0【答案】A【分析】任意一个非零数的零次幂都等于1，据此可得结论．【详解】20190等于1，故选A ．【点睛】本题主要考查了零指数幂，任意一个非零数的零次幂都等于1．二、填空题11．现在美国麻省理工大学攻读博士学位的96后中国“天才少年”曹源经过潜心研究，发现将两层石墨烯，旋转到特定的“魔法角度”（1.1︒）叠加时，它们可以在零阻力的情况下传导电子，成为超导体，他因此荣登世界顶级科学期刊《自然》，2018年度十大科学家之首！石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.000000000034米，将这个数用科学记数法表示为_____________米.【答案】113.410-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：-110.000000000034=3.410⨯故答案为：113.410-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．在学校文艺节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是2 1.5S =甲，2 2.5S =乙，那么身高更整齐的是________（填“甲”或“乙”）队．【答案】甲【分析】根据方差的大小关系判断波动大小即可得解，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小.【详解】因为2S <甲2S 乙，所以甲队身高更整齐，故答案为：甲.【点睛】本题主要考查了方差的相关概念，熟练掌握方差与数据波动大小之间的关系是解决本题的关键. 13．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝25，AC ＝5，以BC 为斜边作等腰Rt △BCD ，连接AD ，则线段AD 的长为_____．310 【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则四边形AEDF 是矩形，先证明△BDE ≌△CDF （AAS ），可得DE ＝DF ，BE ＝CF ，以此证明四边形AEDF 是正方形，可得∠DAE ＝∠DAF ＝45°，AE ＝AF ，代入AB ＝25，AC ＝5可得BE 、AE 的长，再在Rt △ADE 中利用特殊三角函数值即可求得线段AD 的长．【详解】过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则四边形AEDF 是矩形，∴∠EDF ＝90°，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDE ＝∠CDF ，∵∠BED ＝∠CFD ＝90°，BD ＝DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ），∴DE ＝DF ，BE ＝CF ，∴四边形AEDF 是正方形∴∠DAE ＝∠DAF ＝45°，∴AE ＝AF ，∴25﹣BE ＝5+BE ，∴BE ＝5， ∴AE ＝35， ∴AD ＝2AE ＝310， 故答案为：310．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．14．在()()2121x x ax +++的运算结果中2x 系数为2-，那么a 的值为_____________．【答案】4-【分析】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x 2的系数是−2，列出关于a 的等式求解即可．【详解】解：（x ＋1）（2x 2＋ax ＋1）＝2x 3＋ax 2＋x ＋2x 2＋ax ＋1＝2x 3＋（a ＋2）x 2＋（1＋a ）x ＋1；∵运算结果中x 2的系数是−2，∴a ＋2＝−2，解得a ＝−1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了多项式的乘法，注意运用运算结果中x 2的系数是−2，列方程求解．15．甲.乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲.乙两种商品原来的单价分别为x 元.y 元，则可列方程组为_________________；【答案】()()()100110%140%100120%x y x y +-+⨯+⎨⎩+⎧＝＝ 【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”，列出关于x 和y 的一个二元一次方程，根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%”，列出关于x 和y 的一个二元一次方程，即可得到答案．【详解】解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，∵甲、乙两种商品原来的单价和为100元，∴x+y=100，甲商品降价10%后的单价为：（1-10%）x ，乙商品提价40%后的单价为：（1+40%）y ，∵调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，调价后，两种商品的单价为：100×（1+20%），则（1-10%）x+（1+40%）y=100×（1+20%），即方程组为：()()()100110%140%100120%x y x y +-+⨯+⎨⎩+⎧＝＝故答案为()()()100110%140%100120%x y x y +-+⨯+⎨⎩+⎧＝＝. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 16．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m 气温下降6℃，则气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为_____．【答案】t=﹣0.006h+1【解析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃，∴每升高1m 气温下降0.006℃，∴气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为t=﹣0.006h+1，故答案为：t=﹣0.006h+1．【点睛】本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．17．多项式294n +加上一个单项式后能称为一个完全平方式，请你写出一个符合条件的单项式__________．【答案】12n【分析】首末两项是3n 和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，据此解答即可.【详解】由题意得，可以添加12n ，此时()22912432n n n ++=+，符合题意.故答案为：12n （答案不唯一）.【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a 2±2ab+b 2是解答本题的关键． 三、解答题18．如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边三角形ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ．。
小学一至五年级数学重点公式及定义一
小学一至五年级数学重点公式及定义一、九九乘法口诀1×1=11×2=22×2=41×3=32×3=63×3=91×4=42×4=83×4=124×4=161×5=52×5=103×5=154×5=205×5=251×6=62×6=123×6=184×6=245×6=306×6=361×7=72×7=143×7=214×7=285×7=356×7=427×7=491×8=82×8=163×8=244×8=325×8=406×8=487×8=568×8=641×9=92×9=183×9=274×9=365×9=456×9=547×9=638×9=729×9=81二、图形计算公式：1.正方形周长＝边长×4字母公式：C=4a正方形面积=边长×边长字母公式：S=a×a2.长方形周长=长+宽×2C=2a+b长方形面积=长×宽S=ab三、常用数量关系及计算公式：1、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度2、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价3、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间=工作效率四、长度单位：米m、分米dm、厘米cm、毫米.长度单位相邻单位之间的进率是10.1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米五、面积单位：相邻单位之间的进率是100平方千米、公顷、公亩、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米.1平方千米=100公顷1公顷=100公亩1公亩=100平方米1平方千米=1000000平方米1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米六、重量单位：吨、千克.相邻单位之间的进率是10001吨=1000千克1千克=1000克七、时间单位：一世纪=100年一年=四季度一年=12月一年=365天平年一年=366天闰年一季度=3个月一个月=3旬上旬、中旬、下旬一个月=30天小月一个月=31天大月二月=28天平年二月=29天闰年一星期=7天,一天=24小时,一小时=60分,一分=60秒一年中的大月：一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月七个月一年中的小月：四月、六月、九月、十一月四个月八、1、加法交换律：a+b=b+a2、加法结合律：a+b+c=a+b+c3、连除的简算：a÷b÷c=a÷b×c4、简便乘法：因数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.九、1.什么是分数把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.2.分数大小的比较：同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小.十、1、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数2、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被数3、有余数的除法：被除数＝商×除数+余数五年级数学上册第一单元小数乘法复习：乘法运算定律1、乘法交换律：a×b=b×a2、乘法结合律：a×b×c=a×b×c3、乘法分配律：a×b+a×c=a×b+c因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数25×4=100125×8=1000一、小数乘法应该怎样计算1.先按照整数乘法算出积,再点上小数点；2.点小数点时,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点.3.乘得的积的小数位数不够,要在前面用0补足,再点小数点.二、积与因数的大小比较1.一个数0除外乘大于1的数,积比原来的数大2.一个数0除外乘等于1的数,积等于原数一个数0除外乘小于1的数,积比原来的数小.第二单元位置1.什么叫做列竖排叫做列.2.什么叫做行横排叫做行3.什么是数对数对：由两个数组成,中间用逗号隔开,用括号括起来.4.数对表示位置的方法：先表示列,再表示行.5.想一想：怎样在方格纸上用数对确定物体的位置在方格纸上用数对确定物体的位置,先找出数对表示的是第几列,第几行,然后在列数与行数相交处描点.表示为：列数,行数第三单元小数除法复习：1、除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变.2.O 除以任何不是O的数都得O.3.小数的性质就什么小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变,这就是小数的性质.4.被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数5.整数除法的计算方法：1从被除数的高位起,先看除数有几位,再用除数试除被除数的前几位,如果它比除数小,再试除多一位数；2除到被除数的哪一位,就在那一位上面写上商；不够商1,写“0”占位.3每次除后余下的数必须比除数小.一、除数是整数的小数除法要怎样计算小数除法计算法则1.按整数除法的方法去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐,整数不够除,商0,点上小数点,如果有余数要添0再除.2、除数是小数的除法要怎样计算的小数除法计算法则1先移动除数的小数点,使它变成整数；2除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位位数不够的,在被除数的末尾用“0”补足；3然后按除数是整数的小数除法进行计算.3、商的近似数计算商时,要比需要保留的小数位数多算出一位,然后按照“四舍五入”法截取商的近似数.4．什么是循环小数一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数.5．什么是有限小数小数部分的位数有限的小数是有限小数.例如,0.9375是一个有限小数.6．什么是无限小数小数部分的位数无限的小数是无限小数.例如,52.52525……就是一个无限小数；第五单元简易方程1.什么是方程含有未知数的等式就是方程.2.什么是等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.3.等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等.4.等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等.5.列方程解决实际问题有哪些步骤 1.找出未知数,有字母x表示；2.分析实际问题中的数量关系,找出等量关系,列方程；3.解方程并检验作答.第六单元多边形的面积1.平行四边形面积=底×高s=ah2.三角形面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底h=s×2÷a三角形底=面积×2÷高a=s×2÷h6、3.梯形面积=上底+下底×高÷2s=a+b×h÷2圆木、钢管等堆成的形状.通常用下面的方法求总根数：顶层根数+底层根数×层数÷2第七单元数学广角———植树问题非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么：棵数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×株数－1株距＝全长÷株数－1⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1。
珠心算2的乘法口诀练习题
珠心算2的乘法口诀练习题1. 两位数乘一位数：（1）13 × 4 = ?（2）27 × 3 = ?（3）56 × 5 = ?（4）89 × 2 = ?（5）42 × 6 = ?2. 两位数乘两位数：（1）11 × 12 = ?（2）23 × 15 = ?（3）34 × 23 = ?（4）57 × 39 = ?（5）89 × 47 = ?3. 三位数乘一位数：（1）123 × 7 = ?（2）234 × 6 = ?（3）345 × 9 = ?（5）567 × 4 = ?4. 三位数乘两位数：（1）123 × 12 = ?（2）234 × 15 = ?（3）345 × 23 = ?（4）456 × 39 = ?（5）567 × 47 = ?5. 四位数乘一位数：（1）1234 × 8 = ?（2）2345 × 9 = ?（3）3456 × 6 = ?（4）4567 × 4 = ?（5）5678 × 7 = ?6. 四位数乘两位数：（1）1234 × 12 = ?（2）2345 × 15 = ?（4）4567 × 39 = ?（5）5678 × 47 = ?7. 长方形面积算式计算：（1）长16米，宽12米的长方形面积 = ?（2）长25米，宽18米的长方形面积 = ?（3）长45米，宽32米的长方形面积 = ?（4）长63米，宽47米的长方形面积 = ?（5）长79米，宽56米的长方形面积 = ?8. 圆的面积算式计算：（1）半径为5米的圆面积 =？（2）半径为8米的圆面积 =？（3）半径为12米的圆面积 =？（4）半径为15米的圆面积 =？（5）半径为20米的圆面积 =？以上是珠心算2的乘法口诀练习题，希望能够帮助你巩固乘法口诀，并提高珠心算能力。
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12.3乘法公式（2）
------- 两数和（差）的平方⑴
教学目标 1．知识目标：能说出两数和的平方公式的特点，并会用式子表示
2．能力目标：会应用两数和的平方公式进行有关计算．
3．情感目标：通过对有关面积的变换，使学生从中体会到数形结合的思想，领略数学的美． 教学重点与难点
1．教学重点：掌握两数和的平方公式的特点．
2．教学难点：能区别两数和乘以这两数差的公式与两数和的平方公式．
教学过程
一、图形探索，问题引入
1． 观察下面的图形，并用等式表示图中图形面积的运算．
从中我们又得到了这样一个计算结果：
(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
二、公式探索，寻找特点
公式特点：
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善) ⑴ 左边是一个两数和的平方
⑵ 右边是个三项式，其中两项是左边二项式前后的平方，中间一项是左边两项积的2倍
注意：两数和乘以这两数差的公式与两数和的平方公式之间的区别．
2．用(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2计算(a －b )2．
引导学生将“－b ”看作一个数，将(a －b )2化为[a ＋(－b )]2＝a 2＋2a ×(－b )＋(－b )2＝a 2－2ab ＋b 2，并指出这也是一个乘法公式：(a －b )2＝ a 2－2ab ＋b 2．
＝ a 2 b 2
＋ ＋
＝ ＋ ＋
小结：直接利用两数和的平方公式进行计算，使学生逐步熟悉并掌握这个公式．；
例2 （课本P 34例5(1) ）计算：(2x －3y )2．
解：(2x －3y )2
＝(2x )2－2·2x ·3y ＋(3y )2
＝4x 2－12xy ＋9y 2．
例3计算：(－4x －3y )2
解：(－4x －3y )2
＝［－(4x ＋3y )］2
＝(4x )2＋2·4x ·3y ＋(3y )2
＝16x 2＋24xy ＋9y 2．
四、课内练习，巩固提高
课内练习
计算：
1．(3x ＋4)2 ． 2．(2x ＋12
y )2． 3．(－2a ＋3b )2． 4．(－12
x －2y 2)2．
五、回顾反思，升华提高
1．本节课是初步理解和掌握两数和的平方公式，能利用这个公式进行简单的计算．
课后作业
课本练习
--------- 两数和（差）的平方⑵
教学目标
1．知识目标：理解两数和的平方的公式．
2．能力目标：会应用两数和的平方公式进行有关的简便计算以及实际应用．
3．情感目标：通过主动探索与相互之间的交流，能熟练掌握两数和的平方公式，从中体会数学的应用价值．
教学重点与难点
1．教学重点：利用两数和的平方公式进行简便计算及应用．
2．教学难点：两数和的平方公式的灵活应用．
教学过程
六、复习提问，知识回顾
1．两数和的平方公式是什么？
2．利用公式说出以下各题的结果．
(1) (x＋4)2．(2) (a－2b)2．
(3) (－x－3)2．(4) (－x＋3y)2．
七、数学理论，数学运用
例1 计算：19992．
解：19992
＝(2000－1)2
＝20002－2×2000×1＋12
＝4000000－4000＋1
＝3996001．
小结：利用两数和（差）的平方公式来简便运算．
例2 计算：(a＋b＋c)2．
解：(a＋b＋c)2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc．
小结：本题先把a＋b看成一个整体，用两次两数和的平方公式，从本题中也可以得到三数和的平方的公式．
例3 填空：
1．( ＋)2＝a2＋＋16b2．
2．(3x － )2＝9x 2－12xy ＋ ．
3．(x ＋4)2＝(x －4)2＋ ．
4．4x 2＋2mxy ＋25y 2是一个完全平方式，则m ＝ ．
分析：根据公式的特点来进行填空．
八、课内练习，巩固提高
课内练习
计算：
1．3022． 2．(a ＋2b －3c )2．
3．(－x ＋12)2＋(x ＋12
)2． 4．(－4a ＋2b －c )2． 思考题：
1．已知a 2＋b 2＝1，a －b ＝12
，求(a ＋b )4．
九、回顾反思，升华提高
1．本节课是对两数和（差）的平方公式的强化和深化，对学生提出更高的要求，使学生能灵活掌握两数和（差）的平方公式．
2．对于三个数或式子的平方可以先把一部份作为一个整体，经过两次平方来计算，或者直接应用三数的平方公式进行计算．
课后作业
课本习题。