江西省宜市奉新县第一中学高三数学上学期第五次月考试题 理

奉新一中2016届高三上学期第五次月考数学试卷（理）
一:选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

)
1.命题“∀x ∈[1,2]，x 2
－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5 2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2
α－sin αcos α的值是( )
A.25 B ．－2
5
C ．－2
D ．2 3. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一个焦点与抛物线ax y 82
=的焦点重合，则该双曲线的一条渐
近线的斜率等于（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D.
3
3
4．设函数f （x ）=ka x
﹣a ﹣x
，（a ＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，
则g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）.
A ．c b a ,,成等差数列 B. b c a ,,成等差数列 C. b c a ,,成等比数列 D. c b a ,,成等比数列
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面积的面积为（ ） A ．
2
B ．6
C ．5
D ．3
7. 已知3,ln 3ln ln -==-bd c a , 则2
2
)()(c d b a -+- 的最小值为（ ） A.
5
10
3 B.
516 C. 5
12 D. 518
8．已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球
心到截面ABC 的距离为（ ） A ．22 B ．2
3
C ．3
D ．6
9.定义
12n
n
p p p +++L 为n 个正数n p p p ,,,21Λ的“均倒数”．若已知正项数列{}n a 的前n 项的“均
倒数”为
1
23
n +，又12n n a b +=，则1223910111+b b b b b b ++…=( ) A ．
17 B ．1069 C ．14 D ．10
39
10.设函数32()1
32
x mx m n x y +++=+的两个极值点是12,x x 且12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞,记点(,)P m n 所表示的平面区域为D ,若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围是 （ ）
A.(1,3]
B.(1,3)
C.(3,)+∞
D.[3,)+∞
11.已知双曲线22
221(0)x y a b a b -=>，的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2，P 是双曲线右支上的一
点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为
2
，则双曲线的离心率是（ ） A ．
5
2
B ．2
C ．3
D ．22
12.函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，
x
x f x f ln sin )2
()(ππ
-'-=，（其中
)
(x f '是)(x f 的导函数），若
)9
1
(log ),3(log ),3(33.0f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A. c b a >>
B. c a b >>
C. a b c >>
D. b a c >> 二:填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上).
13.过函数f （x ）＝错误!未找到引用源。

－错误!未找到引用源。

＋2x ＋5图像上一个动点作函数的切线，
则切线倾斜角的范围 是________________. 14. 已知|a|=2，|b|=6,a 与的夹角为
3
π
，则b a +在a 上的投影为 15.点(,)M x y 是不等式组0333x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，
则m 的取值范围是 .
16. 已知圆2
2
:(1)1M x y +-=, 圆1)1(:2
2=++y x N , 直线21l l 、分别过圆心N M 、,
E
D
C
B
A
P
1l 与圆M 相交于B A 、, 2l 与圆N 相交于D C 、, P 是椭圆14
32
2=+y x 上的任意一点，则
PD PC PB PA ⋅+⋅的最小值为______________.
三:解答题（共5小题， 12+12+12+12+12=60分．须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17.在正项等比数列错误!未找到引用源。

中，公比错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

且错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的等比中项是2． （1）求数列错误!未找到引用源。

的通项公式；
（2） 若错误!未找到引用源。

，判断数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项和错误!未找到引用源。

是否存在最大值，若存在，求出使错误!未找到引用源。

最大时错误!未找到引用源。

的值；若不存在，请说明理由。

18.设函数x x x f 2cos 2)3
42cos()(+-
=π
（1）把函数)(x f 的图像向右平移2π个单位，再向下平移2
3
个单位得到函数)(x g 的图像，求函数)(x g 在
区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值,并求出此时x 的值；
（2）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2,2
3
)(=+=+c b C B f ．求a 的最小值．
19. 在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，CD PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，DC AB //，
︒=∠90ADC ，1===PD AD AB ,2=CD , (Ⅰ)求证：⊥BC 平面PBD ；
（Ⅱ）设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PC PE λ=，试
确定λ
的值，使得二面角P BD E --的大小为︒45．
20.在直角坐标xOy 平面内，已知点)0,1(F ，直线1:-=x l ，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ FP QF QP •=•. (1).求动点P 的轨迹Γ的方程；
(2).过点F 的直线交轨迹Γ于B A ,两点,交直线l 于点M ,已知AF MA 1λ=,BF MB 2λ=,,试判断
21λλ+是否为定值,若是,求出该定值；若不是，请说明理由.
21.已知函数x ax x x f -++=2
)1(n 1)( (∈a R )．
（Ⅰ）当1
4
a =
时，求函数()y f x =的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围．
四:选做题（10分．在第22题，第23题中选做一题，若两题均答，只给第22题分数。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 22．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方
程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (2，
4)的直线l 的参数方程为22224x y =-=-+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与
曲线C 相交于,A B 两点．
⑴写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； ⑵若2
PA PB AB •=，求a 的值． 23.(不等式选讲选做题)
、已知函数()2123f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．
奉新一中2016届高三上学期第五次月考数学参考答案（理） 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

)
CABD DCDC ABBB
二:填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13. 3[0,
)[
,)2
4π
π
πU 14 5． 15. 3m ≥． 16. 6
三:解答题（本大题共5小题， 12+12+12+12+12=60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.解: （1）依题意：错误!未找到引用源。

，
又错误!未找到引用源。

，且公比错误!未找到引用源。

， 解得 错误!未找到引用源。

∴ 错误!未找到引用源。

， ∴ 错误!未找到引用源。

， ∴ 错误!未找到引用源。

。

（2）∵ 错误!未找到引用源。

， ∴ 错误!未找到引用源。

∵当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

∴ 错误!未找到引用源。

∴ 错误!未找到引用源。

有最大值，此时错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

18、解：（Ⅰ）f （x ）=cos （2x ﹣
）+2cos 2
x =（cos2xcos +sin2xsin
）+（1+cos2x ）
=cos2x ﹣sin2x+1=cos （2x+
）+1，
所以)3
22cos(21)(π
-+-
=x x g 因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--∈-
3,67322πππx 所以当ππ-=-
322x 即6π-=x 时，函数)(x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为23-. （2）由题意，f （B+C ）=，即cos （2π﹣2A+）=，
化简得：cos （2A ﹣
）=，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣
，
），
则有2A ﹣
=
，即A=
，在△ABC 中，b+c=2，cosA=，
由余弦定理，a 2
=b 2
+c 2
﹣2bccos
=（b+c ）2
﹣3bc=4﹣3bc ，
由b+c=2知：bc≤
=1，当且仅当b=c=1时取等号，
∴a 2
≥4﹣3=1，则a 取最小值1．
19.解析：（Ⅰ）证明：Θ侧面⊥PCD 底面ABCD 于CD ，⊂PD 面PCD ，CD PD ⊥， ∴⊥PD 底面ABCD ， ⊂AD Θ面ABCD ∴AD PD ⊥
又Θ︒=∠90ADC ，即CD AD ⊥，
以D 为原点建立空间直角坐标系，则)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)1,0,0(P ， 所以)0,1,1(=DB ，)0,1,1(-=BC
所以0=⋅BC DB ，所以BD BC ⊥ 由⊥PD 底面ABCD ，可得BC PD ⊥,
又因为D DB PD =I ，所以⊥BC 平面PBD . ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PBD 的一个法向量为)0,1,1(-=BC ，且)1,0,0(P ，)0,2,0(C 故)1,2,0(-=PC ，又PC PE λ=，所以)1,2,0(λλ-=+=PE DP DE ………………7分 设平面EBD 的法向量为),,(z y x n =，)0,1,1(=DB
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0DE n ，得⎩⎨⎧=-+=+0)1(20z y y x λλ，取)2,1,1(λλλ--=n
所以4
cos
=
π
，………………………………10分
解得21±-=λ
)1,0(∈λΘ，故12-=λ…………………………12分
20.解析：(1)设(),P x y ，则()1,Q y -，()1,0F ，由QP •=得 2
4y x =……….5分
(2)设F 过的直线为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，21,M t ⎛
⎫--
⎪⎝⎭
由214x ty y x
=+⎧⎨=⎩ 得2440y ty --=， 124y y t +=，124y y =- 又1λ=,得1121ty λ=--
2λ= 得22
21ty λ=-- 所以12121212211222y y t y y t y y λλ⎛⎫⎛⎫++=--
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
0=………..12分 21.解：（Ⅰ）当14a =
时，2
1()ln(1)4
f x x x x =++- ,则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -'=
+-=>-++，令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<，
∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).极大值0，极小值4
3
2ln -
（Ⅱ）由题意[2(12)]
()(1)(1)
x ax a f x x x --'=
>-+，
（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b .…7分
（2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，21
12x a
=-， ①当1
2a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意.…8分
②当
1102a
->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1
(1,)2a -+∞上单调递增， 在1
(0,1)2a
-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，
只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<，所以此时实数a 的取值范围是1
1ln 22
a -≤<.
③当
1102a
-<即12a >时，函数()f x 在1
(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增， 在1
(1,0)2a
-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时， 函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a -≤，代入化简得1ln 2ln 2104a a
++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11
()(1)04g a a a '=->恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以1
2
a >时，①式恒成立， 实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞.
四:选做题（10分．在第22题，第23题中选做一题，若两题均答，只给第22题分数。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 22.（1）2),0(22
-=>=x y l a ax y c 为直线为曲线
(2)0)4(8)4(22
=+++-a t a t 曲线的直角坐标方程得将直线的参数方程代入
1
)0.(0435)(,)()
4(8),4(2221221221212
2121=∴>=-+∴=+-=∴=⨯+=+=+a a a a t t t t t t t t AB PB PA a t t a t t Θ （23）（本小题满分10分）
（Ⅰ）由()21236f x x x =-++≤得
13
322
x x -
++≤解得12≤≤-x ∴不等式的解集为[2,1]-．
（Ⅱ）∵()212321(23)4f x x x x x =-++≥--+=即)(x f 的最小值等于4，
由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．。