辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
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试卷第 3 页，共 5 页
19．已知椭圆 C： x2 y2 1 的右焦点为 F，斜率不为 0 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点． 43
(1)若
P
1,
1 2
是线段
AB
的中点，求直线
l
的方程；
(2)若直线 l 经过点 Q 4, 0 （点 A 在点 B，Q 之间），直线 BF 与 C 的另一个交点为 D，
x (1)求展开式中各项的二项式系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC ， E 是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F ．
(1)求证： PB 平面 EFD ； (2)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小．
辽宁省沈阳市新民市第一高级中学 2023-2024 学年高二下学 期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图：在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 A1C1, B1D1的交点．若
A
与
B
相互独立
D．若 B A ，则 P AB 1
3
10．下列结论正确的是（ ）
A．直线 5x 4y 1 0 的倾斜角大于 45
B．直线 2 m x 4y 2 m 0mR 过定点 1,1
C．直线 x y 1 0 与直线 2x 2y 1 0 之间的距离是 2
D．与点 A1, 2 的距离为 1，且与点 B 3, 1 的距离为 4 的直线共有 4 条
A． a 6, d 6 3
B． a 6, d 5 5
C． a 6, d 5 5
D． a 6, d 6 3
5．如图，二面角的度数为 60o ，其棱上有两点 A 、 B ，线段 AC 、 BD 分别在这个二面
角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，若 AB 5 ，AC BD 4 ，则线段 CD 的长为（ ）
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，若 AA1, BC 的中点分别为 M , N ，则下列 说法正确的是（ ）
A． DM C1N
B． VC DMN
1 3
C． A1D1// 平面 B1MD
试卷第 2 页，共 5 页
D．点 D 到平面 D1MN 的距离为 8 29 29
12．已知椭圆 C
A． 73
B． 41
C． 73
6．双曲线的渐近线方程为 y = ? 3 x ，则双曲线离心率为（ ） 4
试卷第 1 页，共 5 页
D． 41
A． 5 或 15
2
3
B． 5 或 5 43
C． 5 4
D．2
7．已知点 P a,b 在直线 x y 0 上，则 a2 b2 2a 2b 2 a 22 b2 的最小值
：
x2 4
y2
1的左、右焦点分别为
F1 ，
F2
，点
P
在椭圆上，若方程
mx y 5m 0所表示的直线恒过定点 M ，点 N 在以点 M 为圆心， C 的长轴长为直径
的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的离心率为 3 2
B．△PF1F2 的面积可能为 2
C． PF1 PF2 的最大值为 4
2PA ，E
是棱
PD
上的动点，且
uur PE
uuur PD
.
(1)证明： PA 平面 ABCD； (2)是否存在实数 ，使得平面 PAB 与平面 AEC 所成夹角的余弦值是 2 ？若存在.求出
3
的值；若不存在，请说明理由.
22．已知 C 为圆 x 12 y2 12 的圆心，P 是圆 C 上的动点，点 M 1, 0 ，若线段 MP
r
r
15．已知直线 l 的一个方向向量 a 1, 2, m ，平面 的一个法向量 n 1, 2,3 ，若l ，
则m.
16．设 (2x 1)6 a6x6 a5x5 L a1x a0 ，则 a0 ， a1 a3 a5 .（均用数字作答）
四、解答题 17．已知 (2x+ 1 )n 展开式前三项的二项式系数和为 22 .
的中垂线与 CP 相交于 Q 点． (1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹 N 的方程；
(2)过点 1, 0 的直线 l 与点 Q 的轨迹 N 分别相交于 A，B 两点，且与圆 O： x2 y2 2 相
试卷第 4 页，共 5 页
交于 E，F 两点，求 AB EF 2 的取值范围． 试卷第 5 页，共 5 页
小南第 1 次选择 A 类试题，那么第 2 次选择 A 类试题的概率为 0.6；如果第 1 次选择 B
Hale Waihona Puke 类试题，那么第 2 次选择 A 类试题的概率为 0.8．求小南同学第 2 次选择 A 类试题作答
的概率．
21．如图，在四棱锥 P ABCD 中， BD PC ，四边形 ABCD 是正方形，
PB
2AB
求证：点 A，D 关于 x 轴对称．
20．在一个有奖游戏中，参与者可从 A，B 两类数学试题中选择作答，答题规则如下：
规则一：参与者只有在答对第一次所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连
续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限．
(1)小周同学按照规则一进行答题，已知小周同学答对 A 类题的概率均为 0.75，答对一
次可得 2 分；答对 B 类题的概率均为 0.6，答对一次可得 3 分．如果答题的顺序由小周
选择，那么 A，B 两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；
(2)小南同学按照规则二进行答题，小南同学第 1 次随机地选择其中一类试题作答，如果
uuuur A1B1
ar ,
uuuur A1D1
r b,
uuur AA1
cr
，则向量
uuuur AM
（
）
A．
1
ar
1
r b
cr
B．
1
ar
1
r b
cr
22
22
C．
1
ar
1
r b
cr
22
D．
1
ar
1
r b
cr
22
2．已知随机变量 X
的分布列为 P(X
i)
i a
(i
1
，2，3，4
，5)
，则
P2(
X
5)
（
）
A． 1 3
B． 1
2
C． 3 5
D． 9 10
3．开学初，学校将新转学来的 A、B 等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，
每个班至少分一人，则 A、B 两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36 种
B．48 种
C．72 种
D．144 种
4．两条平行直线 2x y 3 0 和 ax 3y 6 0 间的距离为d ，则 a,d 的值分别为（ ）
为（ ）
A． 5
B． 2 2
C． 10
D． 2 5
8．已知圆 C : x 12 y2 4 ，直线 l : x my 2m 0 与圆 C 相交于 A, B 两点，若圆 C 上
存在点 P，使得VABP 为正三角形，则实数 m 的值为（ ）
A． m 4 3
C． m 4 或 m 0 3
D． PN PF2 的最小值为1 3
三、填空题 13．现有 A ， B ，C ， D ， E 五人排成一列，其中 A 与 B 相邻，C 不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
14．已知圆 x2 y2 9 与圆 x2 y2 3x 4 y 1 0 相交于 A, B 两点．则 AB ．
B． m 4
3
D． m 4 或 m 0
3
二、多选题
9．已知随机事件 A 、 B 发生的概率分别为 P A 1 ， P B 1 ，则下列说法正确的是
3
6
（）
A．若 A 与 B 互斥，则 P A U B 1
2
B．若 A 与 B 相互独立，则 P A B 4
9
C．若
P
AB
1 9
，则事件
19．已知椭圆 C： x2 y2 1 的右焦点为 F，斜率不为 0 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点． 43
(1)若
P
1,
1 2
是线段
AB
的中点，求直线
l
的方程；
(2)若直线 l 经过点 Q 4, 0 （点 A 在点 B，Q 之间），直线 BF 与 C 的另一个交点为 D，
x (1)求展开式中各项的二项式系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC ， E 是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F ．
(1)求证： PB 平面 EFD ； (2)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小．
辽宁省沈阳市新民市第一高级中学 2023-2024 学年高二下学 期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图：在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 A1C1, B1D1的交点．若
A
与
B
相互独立
D．若 B A ，则 P AB 1
3
10．下列结论正确的是（ ）
A．直线 5x 4y 1 0 的倾斜角大于 45
B．直线 2 m x 4y 2 m 0mR 过定点 1,1
C．直线 x y 1 0 与直线 2x 2y 1 0 之间的距离是 2
D．与点 A1, 2 的距离为 1，且与点 B 3, 1 的距离为 4 的直线共有 4 条
A． a 6, d 6 3
B． a 6, d 5 5
C． a 6, d 5 5
D． a 6, d 6 3
5．如图，二面角的度数为 60o ，其棱上有两点 A 、 B ，线段 AC 、 BD 分别在这个二面
角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，若 AB 5 ，AC BD 4 ，则线段 CD 的长为（ ）
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，若 AA1, BC 的中点分别为 M , N ，则下列 说法正确的是（ ）
A． DM C1N
B． VC DMN
1 3
C． A1D1// 平面 B1MD
试卷第 2 页，共 5 页
D．点 D 到平面 D1MN 的距离为 8 29 29
12．已知椭圆 C
A． 73
B． 41
C． 73
6．双曲线的渐近线方程为 y = ? 3 x ，则双曲线离心率为（ ） 4
试卷第 1 页，共 5 页
D． 41
A． 5 或 15
2
3
B． 5 或 5 43
C． 5 4
D．2
7．已知点 P a,b 在直线 x y 0 上，则 a2 b2 2a 2b 2 a 22 b2 的最小值
：
x2 4
y2
1的左、右焦点分别为
F1 ，
F2
，点
P
在椭圆上，若方程
mx y 5m 0所表示的直线恒过定点 M ，点 N 在以点 M 为圆心， C 的长轴长为直径
的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的离心率为 3 2
B．△PF1F2 的面积可能为 2
C． PF1 PF2 的最大值为 4
2PA ，E
是棱
PD
上的动点，且
uur PE
uuur PD
.
(1)证明： PA 平面 ABCD； (2)是否存在实数 ，使得平面 PAB 与平面 AEC 所成夹角的余弦值是 2 ？若存在.求出
3
的值；若不存在，请说明理由.
22．已知 C 为圆 x 12 y2 12 的圆心，P 是圆 C 上的动点，点 M 1, 0 ，若线段 MP
r
r
15．已知直线 l 的一个方向向量 a 1, 2, m ，平面 的一个法向量 n 1, 2,3 ，若l ，
则m.
16．设 (2x 1)6 a6x6 a5x5 L a1x a0 ，则 a0 ， a1 a3 a5 .（均用数字作答）
四、解答题 17．已知 (2x+ 1 )n 展开式前三项的二项式系数和为 22 .
的中垂线与 CP 相交于 Q 点． (1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹 N 的方程；
(2)过点 1, 0 的直线 l 与点 Q 的轨迹 N 分别相交于 A，B 两点，且与圆 O： x2 y2 2 相
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交于 E，F 两点，求 AB EF 2 的取值范围． 试卷第 5 页，共 5 页
小南第 1 次选择 A 类试题，那么第 2 次选择 A 类试题的概率为 0.6；如果第 1 次选择 B
Hale Waihona Puke 类试题，那么第 2 次选择 A 类试题的概率为 0.8．求小南同学第 2 次选择 A 类试题作答
的概率．
21．如图，在四棱锥 P ABCD 中， BD PC ，四边形 ABCD 是正方形，
PB
2AB
求证：点 A，D 关于 x 轴对称．
20．在一个有奖游戏中，参与者可从 A，B 两类数学试题中选择作答，答题规则如下：
规则一：参与者只有在答对第一次所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连
续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限．
(1)小周同学按照规则一进行答题，已知小周同学答对 A 类题的概率均为 0.75，答对一
次可得 2 分；答对 B 类题的概率均为 0.6，答对一次可得 3 分．如果答题的顺序由小周
选择，那么 A，B 两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；
(2)小南同学按照规则二进行答题，小南同学第 1 次随机地选择其中一类试题作答，如果
uuuur A1B1
ar ,
uuuur A1D1
r b,
uuur AA1
cr
，则向量
uuuur AM
（
）
A．
1
ar
1
r b
cr
B．
1
ar
1
r b
cr
22
22
C．
1
ar
1
r b
cr
22
D．
1
ar
1
r b
cr
22
2．已知随机变量 X
的分布列为 P(X
i)
i a
(i
1
，2，3，4
，5)
，则
P2(
X
5)
（
）
A． 1 3
B． 1
2
C． 3 5
D． 9 10
3．开学初，学校将新转学来的 A、B 等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，
每个班至少分一人，则 A、B 两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36 种
B．48 种
C．72 种
D．144 种
4．两条平行直线 2x y 3 0 和 ax 3y 6 0 间的距离为d ，则 a,d 的值分别为（ ）
为（ ）
A． 5
B． 2 2
C． 10
D． 2 5
8．已知圆 C : x 12 y2 4 ，直线 l : x my 2m 0 与圆 C 相交于 A, B 两点，若圆 C 上
存在点 P，使得VABP 为正三角形，则实数 m 的值为（ ）
A． m 4 3
C． m 4 或 m 0 3
D． PN PF2 的最小值为1 3
三、填空题 13．现有 A ， B ，C ， D ， E 五人排成一列，其中 A 与 B 相邻，C 不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
14．已知圆 x2 y2 9 与圆 x2 y2 3x 4 y 1 0 相交于 A, B 两点．则 AB ．
B． m 4
3
D． m 4 或 m 0
3
二、多选题
9．已知随机事件 A 、 B 发生的概率分别为 P A 1 ， P B 1 ，则下列说法正确的是
3
6
（）
A．若 A 与 B 互斥，则 P A U B 1
2
B．若 A 与 B 相互独立，则 P A B 4
9
C．若
P
AB
1 9
，则事件