初中数学“勾股定理”的教材研读

初中数学“勾股定理”的教材研读
摘要：以人教版八年级下册数学课本中的“勾股定理”为例，从整体、重点、局部三个方面展开教材研读，研读立足于对数学核心素养的分析去赏析教材、开发教材。

关键词：赏析与开发数学核心素养单元教材
教材是教学知识内容的重要载体,是课程标准的具体化,是课堂教学的主要依据。

而青年教师对教材研读的深浅，影响着学生对数学基本概念的理解，制约着
其数学思维的发展，数学思想的感悟。

以下将以“勾股定理”这一单元为例，谈谈
自己的理解：
一、整体研读
1.数学素养。

无论是国家层面上党的十九大中提出“立德树人”的根本任务，还是课程标准
中多次提及的“数学核心素养”，皆是为了引导学生树立正确的世界观、人生观、
价值观，促进学生全面而有个性的发展。

而这些宏观的设计都是需要落实到每一
门课程、每一堂教学中，才能得以实现。

而如何准确地把握课程目标、课程内容，认真研读教材是第一位的。

2.课标要求。

（1）了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理及其逆定理的探索过程。

（2）在应用探究中体验利用勾股定理解决问题方法的多样性，以及数形结
合思想。

（3）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及文化
的思想感情。

3.历史意义。

在数学史上勾股定理的证明是论证几何的发端，勾股定理是历史上第一个把
数与形联系起来的定理，勾股定理导致了无理数的发现，引起了我们数学史上第
一次数学危机。

而且勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引
出了费马大定理，费马大定理在我们数学书上也是有给出的。

在初等几何中勾股
定理是欧氏几何的基础定理，不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。

1971年5月
15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，勾股定理
就是是其中之首。

4.教材内容。

依据课程目标和理念，教材内容编写的大致流程为：首先，在章引言课本第21页，通过图片展示2002年北京召开国际数学家大会的会徽引出勾股定理，并
且紧跟着在第一节课“勾股定理”又介绍古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理，
让学生们也经历“观察——猜想——归纳——验证——应用”这一流程体现了知识的
发生、形成和发展的过程,从在等腰直角三角形中三边满足：“斜边的平方等于两
直角边平方的和”到一般三角形中“如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜
边长为c，那么a2+b2=c2”，这里体现着从特殊到一般的数学思想；在验证环节教材给出我国汉代赵爽注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，其通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研，因此，被选作2002年国际数学大会的会徽，又巧妙地回到本章引言。

这一小节
体现着观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

紧接着是对勾股定理的应用。

课本以例题讲解的形式处理了：（1）木板进
门问题；（2）梯子问题；以思考形式处理了；（3）利用勾股定理证明HL定理；通过活动探究形式处理了；（4）借助勾股定理在数轴上表示无理数问题。

勾股定理的逆定理也是本章中又一个重点，其实通过古埃及人画直角引课，
在旁边小框中注释我国古代大禹治水测量工程也用到，更说明其可行性，让学生
经历“动手实践——猜想——证明——应用”。

有机的将勾股定理与勾股定理的逆定
理进行比较，理清什么叫做命题？什么叫做逆命题？命题与定理之间的关系？通
过例1简单巩固勾股定理的逆定理，例2利用勾股定理的逆定理解决方位角问题。

本单元教材中还安排了两个阅读与思考一个是勾股定理的证明；一个是费马大定理，意在提醒授课者注意扩大学生的知识面。

从上述解读发现“数学源于生活,又应用于生活”，是本章教材内容所体现的主
要思想,勾股定理号称“千古第一定理”，有500多种证明方法，而教材中选取了其
中典型的四五种方法，利用“割补法”赵爽弦图证明勾股定理放在了正文，将其余
证法放在了阅读与思考里，不论哪一种证法都体现了数形结合的思想，利用几何
直观性解决问题。

勾股定理是直角三角形特有的性质,是初中数学内容的重点之一,是高中知识余弦定理的特例，具有一定的实践性与研究性。

对勾股数的探索有助
于对学上数感的培养。

教材中勾股定理的应用多和实际生活问题联系，从实际问
题中能抽象出直角三角形则应用勾股定理直接解决问题；若不能则可构建直角三
角形，再利用勾股定理解决问题。

这不仅体现着数学建模，而且体现着应用意识
的培养，不得不说“数学素养教学”课堂的落实，教材是我们很好的引路人。

二、重点研读
1.借现实情境提出问题。

课本章前图1给出的图案是2002年北京召开的国际数学家大会的会徽，国家数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被
誉为数学界的“奥运会”。

以“赵爽弦图”为背景，展现了我国古代对勾股定理的研
究成果，是我国古代数学的骄傲，激起了学生对勾股定理的探索兴趣。

为探索勾
股定理提供了背景材料，渗透了爱国主义教育。

图1图2
2.观察特例，发现新知。

本节课教材以毕达哥拉斯在朋友家做客发现勾股定
理为素材，让学生们也来当一次数学家，提出问题：
（1）看看能从中可以发现什么数量关系？
（2）你能找出图2中正方形A、B、C的面积之间的关系吗？
（3）正方形A、B、C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？
通过这样的问题思考来激发学生的好奇、探究、主动学习的欲望。

学生很容
易通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等
腰直角三角形补成一个大正方形得到“正方形A、B的面积之和等于大正方形C的
面积”。

最后教师引导，由正方形的面积等于边长的平方归纳出等腰直角三角形三边之间的特殊关系：“等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。

3.深入探究，归纳总结。

紧接着课本中以探究活动形式探究等腰直角三角形
是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有这种特殊的关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？渗透了从特殊到一般的数学思想。

这种设计为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力
及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。

图3
学生分组交流，鼓励学生尝试从不同的角度求面积的方法，如：在正方形C
周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得
到正方形C的面积；或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正
方形，求得正方形C的面积。

并通过对方法的反思，获得解决问题的经验，即通
过“割补法”求图形的面积。

学生由此可归纳得到：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积。

在上
一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角
边的平方和等于斜边的平方。

基于以上思考探究，得出猜想:
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋
b2＝c2。

4.拼图验证、加深理解。

教材中介绍了我国古人赵爽的证法，与课本章前图
相辉映。

“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定
理（如图4、图5）。

让学生模仿数学家的思维方式、思维过程，体验勾股定理
的探索与验证，体会数形结合的思想，发展创造性思维，由传统的数学课堂向实
验的数学课堂转变。

图4图5
5.勾股定理的其他证法。

对于本课内容，教材第30页阅读与思考又给出了其
他证明，与教材正文给出的弦图证法相呼应，再次体会了数形结合思想，感受解
决问题方法的多样性。

三、局部研读
本章勾股定理，是直角三角形的一个性质。

既然是性质，突出的是应用。

现
以勾股定理的验证为例，进行解读。

【新疆中考】如图6是用硬纸板做成的两直角边长分别是a，b，斜边长为c
的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明
勾股定理的图形。

1.画出拼成的这个图形的示意图。

2.证明勾股定理。

图6
此题勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的，这种方法是以数形转换为指导，图形拼补为手段，以各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的。

一般应遵循以下步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等
变形→导出勾股定理。

“勾股定理”这一单元从教材正文到习题设置处处蕴含着数学思想、数学素养。

有学者说“教之道在于度，学之道在于悟”，而这个“度”该如何把握取决于教师对
教材的研读深浅。

当然，有效的课堂教学还离不开研究学生的知识基础和生活经验，研究学生的思维现实和学习规律。

归根结底，教材，一科之本，需细细研读。

参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京师
范大学出版社，2016。

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会义务教育数学课程标准解读(2011年版)[M].北京师范大学出版社，2016。

[3]罗增儒以素养教学为导向的课堂研修[J].中学数学教学参考，2019，1-2中
旬刊，2-3。

[4]胡良梅序、根、魂：研读教材的三重境界[J].中小学教师培训，2018，12，49-50。

[5]梁秀娟以研读教材助推教师专业成长[J].视点名师讲坛，2017，23，16-17。