压轴题--菱形多选题(10题)学生版
菱形练习题及答案
菱形练习题及答案一、菱形的定义和特征菱形是指具有四条边长度相等且相互平行的四边形。
其特征包括：1) 所有四个角都是直角；2) 对角线相等，且互相垂直。
在数学中，菱形常被用作练习几何图形的平面几何题目。
二、菱形练习题以下是一些菱形练习题，每个题目后附有解题答案，以帮助学生更好地理解和掌握菱形的性质。
1. 题目：菱形ABCD的对角线AC长度为8cm，角ADC的度数为60°，求菱形的面积。
解答：首先，由于对角线相等，可以得知BD的长度也为8cm。
由菱形的性质可知，对角线相互垂直，故角BDC的度数为90°。
于是，我们可以通过AD和BD的长度以及ADC的度数，计算出三角形ADC 的边长。
根据余弦定理，我们可以得到：AC² = AD² + DC² - 2 * AD * DC * cos(ADC)8² = AD² + AD² - 2 * AD * AD * cos(60°)64 = 2AD² - 2 * AD² * 0.564 = AD²得到 AD = 8cm，同理可得DC = 8cm。
因此，菱形ABCD的面积为1/2 * AD * DC = 1/2 * 8 * 8 = 32cm²。
2. 题目：菱形EFGH的对角线EF长度为10cm，角EFG的度数为120°，求菱形的周长。
解答：由菱形的性质可知，菱形的周长等于4倍对角线的长度。
因此，菱形EFGH的周长为4 * 10 = 40cm。
三、菱形练习题答案1. 菱形ABCD的面积为32cm²。
2. 菱形EFGH的周长为40cm。
通过以上两个练习题，我们可以巩固菱形的定义和性质，掌握计算菱形的面积和周长的方法。
总结：菱形作为一种常见的几何图形，在数学学习中经常出现。
通过练习菱形题目，我们可以巩固菱形的定义和特征，提高解题能力，并运用这些知识解决实际问题。
(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档
A
H KG
E
F
B
DC
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ． （1）求证： △≌AD△E CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)
菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、 能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、 四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的 点”和 线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形 是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结 论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)一、单选题1．下列属于菱形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：13．已知某菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形的面积为（）A．28cm2cm B．26cm D．24cm C．24．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分5．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm7．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，∠ABC=70°，Ev 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（ ）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒8．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120ADC ∠=︒，过点O 的直线与AD ，BC 分别交于点E ，F ，若四边形BEDF 是矩形，则∠DOE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°10．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．A ．48B ．24C ．12D ．6二、填空题11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为_____．12．菱形一条对角线长为12cm ，周长为40cm ，则菱形的面积为_________平方厘米13．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点，O 经过点A ，B ，C ，若O 的半径为2，OD=4，则BC 的长为______．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，DE AB ⊥于点E ，连接OE ，若2BAD α∠=，则DEO ∠为______(用含α的代数式表示)．15．如图，点,,,E F G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点，下列结论：①EH EF =；②当AB=CD ，EG 平分HGF ∠；③当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形；其中正确的结论序号是_____________．三、解答题16．如图，在ABC 中，B D ∠=∠．请用尺规作图法，在ABC 外求作一点C ，使得四边形ABCD 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成6×6的网格，每个小菱形的顶点称为格点．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图①中，画出一个矩形ABCD，使C、D两点在格点上；（2）在图②中，若∠P＝60°，画一个矩形EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两边长分别为3和2．DE=2．19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)求四边形OCED的面积．20．如图，将一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与AD边上的点B′重合．过点B′作B′F//EB交CE于点F，连接EB′与BF．(1)求证：BE＝BF；(2)若DC＝3，AB′＝1，求四边形EBFB′的周长．参考答案1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．B8．C9．A10．C11．5212．9613．314．α15．②③16．解：如图所示∵分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C=∴BC BA=DC DA∵B D∠=∠∴AB AD=∴CB CD AD AB===∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点．17．解：添加AB=BC∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求；（2）如图②，矩形EFGH即为所求．19．(1)证明：∵CE BD∥∥DE AC∴四边形OCED是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴OD=OC∴平行四边形OCED是菱形．(2)连接OE，如图∵DE=2∴AC=2OC=2DE=4∵AD=23∴DC2222--=4(23)2AC AD∵DE AC∥，AO=OC=DE∴四边形AOED是平行四边形．∴OE=AD=23∴菱形OCED 的面积为232DC OE ⨯= 20． (1)证明：由翻折可知：∠B ′EF ＝∠BEF ，BE ＝B ′E ∵B ′F //EB∴∠B ′FE ＝∠BEF∴∠B ′FE ＝∠B ′EF∴B ′F ＝B ′E∴BE ＝B ′F∴四边形BE B ′F 是平行四边形∵B ′F ＝B ′E∴四边形BE B ′F 是菱形∴BE ＝BF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°∵AB ＝DC ＝3，AB ′＝1∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣B ′E在Rt △AEB ′中，根据勾股定理得：AE 2+AB ′2＝B ′E 2∴（3﹣B ′E ）2+12＝B ′E 2解得B ′E ＝53∵四边形EBFB ′是菱形∴四边形EBFB ′的周长＝4B ′E ＝4×53＝203．。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
2024年中考数学一轮专题速练：菱形
2024年中考数学一轮专题速练：菱形一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023春•长兴县)在菱形ABCD 中,∠ABC ＝60o,若AB ＝3,则菱形ABCD 的面积是( ) A.B.8C.D.2. (2023•遵义)如图,在菱形ABCD 中,AB ＝5,AC ＝6,过点D 作DE ⊥BA,交BA 的延长线于点E,则线段DE 的长为( )A.B.C.4D.3. (2021•蜀山区模拟)如图,菱形ABCD 的边长为12,∠ABC ＝60°,直线EF ⊥AC,垂足为点H,分别交AD 、AB 及CB 的延长线交于点E 、M 、F,若AE:FB ＝1:2,则CH 的长为( )A.12B.10C.8D.6 4. (2021南充)如图,在菱形ABCD 中,∠A ＝60°,点E,F 分别在边AB,BC 上,AE ＝BF ＝2,△DEF 的周长为36,则AD 的长为( )A. 6B.2 3C.3＋1D.23－15. (2023•乐山)如图,在菱形ABCD 中,AB ＝4,∠BAD ＝120°,O 是对角线BD 的中点,过点O 作OE ⊥CD 于点E,连结OA.则四边形AOED 的周长为( )A.9+2B.9C.7+2D.8 6. (2021•安丘市一模)如图,菱形ABCD 的边长为2,∠ABC ＝60°,E 是AD 边的中点,点P 是对角线BD 上的动点,当AP+PE 的值最小时,PD 的长是( )A.3B.23C.33D.3327. (2023•辽阳)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC ＝8.BD ＝6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE ＝CE,则OE 的长是( )A.2B.C.3D.48. (2021海南中考)如图,在菱形ABCD 中,点E,F 分别是边BC,CD 的中点,连接AE,AF,EF.若菱形ABCD 的面积为8,则△AEF 的面积为( )A.2B.3C.4D.5 9. (2021•红花岗区二模)如图,已知菱形ABCD,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的点,且满足AH ＝BE ＝CF ＝DG=31AB,则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比为( )A.94B.95C.33D.3210. (2023•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点,AD ∥x 轴且AD ＝4,∠A ＝60°,将菱形ABCD 绕点O 旋转,使点D 落在x 轴上,则旋转后点C 的对应点的坐标是( )A.(0,2)B.(2,﹣4)C.(2,0)D.(0,2)或(0,﹣2) 二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023•无锡)如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝50°,点E 在CD 上,若AE ＝AC,则∠BAE ＝ °.12. (2023•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA＝1,OB＝2,则菱形ABCD的面积为.13. (2023•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD＝2BE,∠DAE＝∠DEA,EO＝1,则线段AE的长为.14. (2021·青岛黄岛区模拟)如图,在菱形ABCD中,BC＝3,BD＝2,点O是BD的中点,延长BD 到点E,使得DE＝BD,连接CE,点M是CE的中点,则OM＝____.15. [2022·呼和浩特]已知菱形ABCD的面积为23,点E是一边BC上的中点,点P是对角线BD上的动点.连接AE,若AE平分∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值为,最大值为.16. (2021•绵阳)如图,在菱形ABCD中,∠A＝60°,G为AD中点,点E在BC延长线上,F、H分别为CE、GE中点,∠EHF＝∠DGE,CF＝,则AB＝.17. (2021·浙江金华)如图,菱形ABCD的边长为6 cm,∠BAD＝60°,将该菱形沿AC方向平移2 3 cm 得到四边形A′B′C′D′,A′D′交CD于点E,则点E到AC的距离为________cm.18. （2023贵州黔西南）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2022北京丰台)如图,在四边形ABCD中,∠DCB＝90°,AD∥BC,点E在BC上,AB∥DE,AE 平分∠BAD.(1)求证:四边形ABED为菱形;(2)连接BD,交AE于点O.若AE＝6,sin∠DBE＝35,求CD的长.20. (2021春•禹城市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是斜边AB的中点,把△BCD 沿BC翻折得到△BCE,作EF⊥AB于点F.(1)求证:四边形BDCE是菱形;(2)若AC＝12,AB＝20,求EF的长.21. (2022北京北理工附中)如图,在菱形ABCD中,E、F、G分别为边AB、AD、BC的中点,连接EF、FG、EG(1)求证:△EGF为直角三角形(2)连接ED,当103AD=,3tan4EFG∠=时,求ED的长.22. (2023•北京)如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.(1)求证:四边形OEFG 是矩形;(2)若AD ＝10,EF ＝4,求OE 和BG 的长.23. [2022·贺州]如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠C=90°,∠ADB=∠ABD=21∠BDC,DE 交BC 于点E,过点E 作EF ⊥BD,垂足为F,且EF=EC. (1)求证:四边形ABED 是菱形; (2)若AD=4,求△BED 的面积.24. (2021巴中)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝AD ＝CD ＝12BC.分别以B 、D 为圆心,大于12BD 长为半径画弧,两弧交于点M,画射线AM 交BC 于E,连接DE.(1)求证:四边形ABED 为菱形;(2)连接BD,当CE ＝5时,求BD 的长.。
专题 二次函数压轴训练题(四)---菱形、正方形存在性问题(解析版)
（苏科版）九年级下册数学《第5章二次函数》专题二次函数压轴训练题（四）------菱形、正方形存在性问题★★★方法指引：◎菱形的存在性问题(常为含60”角的菱形)通常有两大类:1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解◎正方形存在性问题正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标.【典例1】（2022春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，作直线BC ，点P 是抛物线在第四象限上一个动点（点P 不与点B ，C 重合），连结PB ，PC ，以PB ，PC 为边作▱CPBD ，点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）当▱CPBD 有两个顶点在x 轴上时，点P 的坐标为 ；（3）当▱CPBD 是菱形时，求m 的值．【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式；（2）先确定点D 在x 轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC ∥x 轴，然后根据抛物线的对称性确定点P 的坐标；（3）根据菱形的性质得PB ＝PC ，利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），∵▱CPBD 有两个顶点在x 轴上，∴点D 在x 轴上，而BD ∥PC ，∴点P 和点C 为抛物线上的对称点，而抛物线的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴点P 的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）；（3）∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，点P 的横坐标为m ．∴P （m ，m 2﹣2m ﹣3），∵▱CPBD 是菱形，∴PB ＝PC ，∴m 2+（m 2﹣2m ﹣3+3）2＝（3﹣m ）2+（m 2﹣2m ﹣3）2，整理得m 2﹣m ﹣3＝0，解得m =∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点，∴m ＞0，∴m 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和平行四边形的性质，勾股定理，菱形的性质，会利用待定系数法求二次函数的解析式、理解坐标与图形的性质是解题的关键．【变式1-1】如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，D 两点，与y 轴交于点C ，点B 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线上存在一点E ，使得S △EAB ＝S △CAD ，求点E 的坐标；（3）若平面直角坐标系内存在动点P ，抛物线上是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3化为顶点式求解即可；（2）由题意知，△EAD 与△CAD 有公共底AD ，若想使两三角形面积相等，则高相等即可，设出点E 的坐标，由高相等，列方程求解即可；（3）根据AC 为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对角线过点O ，可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，点B 的坐标（1，﹣4）；（2）如图，设E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵点C 为抛物线与y 轴的交点，∴C （0，﹣3），∵△EAD 与△CAD 有共同的底边AD ，且S △EAB ＝S △CAD ，∴点E 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离，∴|x 2﹣2x ﹣3|＝3，∴x 2﹣2x ﹣3＝3或x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，解得x 1＝2，x 2＝0，x 3=1，x 4=+1，∴E 1（2，﹣3），E 2（0，﹣3），E 3+1，3），E 4（1，3），∴点E 的坐标为（2，﹣3）或（0，﹣3+1，3）或（1，3）；（3）存在，理由：如图，∵四边形是以AC 为对角线的菱形，由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC 的垂直平分线交抛物线于点Q 1，Q 2，令x 2﹣2x ﹣3＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴OA ＝OC ＝3，∴AC 的垂直平分线过点O ，设AC 的中点为点F ，由C （0，﹣3），∴032=32，−302=−32，∴F （32，−32），∴直线Q 1Q 2的解析式为y ＝﹣x ，联立y =x 2−2x−3y =−x，解得：x =y =−x =y =，∴点Q【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积及菱形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•代县月考）如图，抛物线y =12x 2−32x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点E ，使OE ＝EC ，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点F 在直线l 上运动，点G 在平面内运动，若以点B ，C ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，且BC 为边，直接写出点F 的坐标．【分析】（1）令y ＝0，解方程即可求得点A 和点B 的坐标；令x ＝0，求得y 值，即可求得点C 的坐标；（2）由OE ＝EC 可得点E 在OC 的垂直平分线上，则点E 的纵坐标为﹣1，将y ＝﹣1代入抛物线y =12x 2−32x ﹣2，求出x 的值，即可求解；（3）分两种情况：①当BC 为边，BF 为对角线时；②当BC 为边，BF 为对角线时，根据菱形的性质即可求解．【解答】解：（1）当y =12x 2−32x ﹣2＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4，∴A （﹣1，0），B （4，0）；当x ＝0时，y =12x 2−32x ﹣2＝﹣2，∴C （0，﹣2）；（2）∵OE ＝EC ，∴点E 在OC 的垂直平分线上，∵C （0，﹣2），∴点E 的纵坐标为﹣1，将y ＝﹣1代入抛物线y =12x 2−32x ﹣2得，12x 2−32x ﹣2＝﹣1，解得x =∴点E 11）；（3）∵y =12x 2−32x ﹣2与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0），∴y =12x 2−32x ﹣2的对称轴为直线x =−142=32，设点F 的坐标的坐标为（32，m ），①当BC 为边，BF 为对角线时，BC ＝CF ，∴BC 2＝CF 2，∴42+22＝（32）2+（m +2）2，解得m ，∴点F 的坐标为（32，2）或（32，2）；②当BC 为边，CF 为对角线时，BC ＝BF ，∴BC 2＝BF 2，∴42+22＝（4−32）2+m 2，解得m∴点F 的坐标为（32，）或（32，综上所述，点F 的坐标为（32，2）或（32，2）或（32，）或（32，【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、线段垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【变式1-3】（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC 上存在一点M ，使得∠BMO ＝45°，过点O 作OH ⊥OM 交BC 的延长线于点H ，求点M 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得a−b+6=09a+3b+6=0，解得a=−2b=4，即可得出结论；（2）由待定系数法得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，证△OMN≌△HOK（AAS），得MN＝OK，ON ＝HK．则H（﹣2m+6，﹣m），再由点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，得﹣2（﹣2m+6）+6＝﹣m，解得m=65，即可解决问题；（3）分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点Q的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴a−b+6=09a+3b+6=0，解得：a=−2 b=4，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，点C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），∴3k+c=0 c=6，解得：k=−2 c=6∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，则∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）+6＝﹣m，解得：m=6 5，把m=65代入y＝﹣2x+6得：y=185，∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（65，185）；（3）存在，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，∴点D的坐标为（1，8），分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD=∴DQ＝CD=∴Q点的坐标为（1，81，8②当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ PC＝CQ，∴8﹣m解得：m=27 4，∴点Q的坐标为（1，274）；综上所述，点Q的坐标为（1，81，8+1，274）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．【变式1-4】已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；（2）根据等底等高的三角形面积相等，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据菱形的四边相等，可得QB的长，根据菱形的对边平行，可得Q点的纵坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵OA＝1，OB＝3，OC＝4．∴A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），将A，B，C代入函数解析式，得∴a+b+c=0c=316a−4b+c=0解得：a=−34，b=−94，c＝3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3；∵y=−34x2−94x+3=−34（x+32）2+7516∴抛物线的顶点坐标是（−32，7516），（2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为：设点P的坐标为P（m，n），∵S△ACB =12×5×3=152，S△ACP=12×5×|n|∴12×5×|n|=152，n＝±3∴当n＝3时，−34m2−94m+3＝3，解得m1＝0，x2＝﹣3即P（﹣3，3）或（0，3）当n＝﹣3时，−34m2−94m+3＝﹣3，解得m1m2=P23），P33）综上所述：P的坐标为（﹣3，3）或（0，333）（3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC＝5，当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BQ＝AC＝BC＝5，∵BQ∥AC，∴点Q到x轴的距离等于OB＝3，∴点Q的坐标为（5，3），当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用等底等高的三角形面积相等得出P点的纵坐标，有利用自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用菱形的四边相等得出QB的长．【变式1-5】（2023•鹤山市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=23x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n=163，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点A 和点C 坐标，从点A 和点B 坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点C 坐标代入，进一步求得结果；（2）箱求出n 的值，进而求得m 的值，进而求得点k 的值；（3）只需满足三角形ACQ 为等腰三角形即可．设点Q 的坐标，进而表示出AQ ，CQ 及AC ，进而根据AQ ＝CQ ，AQ ＝AC 及CQ ＝AC ，进一步求得结果．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣2，∴点C （0，﹣2），当y ＝0时，23x−2=0，∴x ＝3，∴点A （3，0），∴设y ＝a （x +1）•（x ﹣3），将点C （0，﹣2）代入得，﹣3a ＝﹣2，∴a =23，∴y =23（x +1）•（x ﹣3）=23x 2−43x−2；（2）∵抛物线的对称轴为直线：x ＝1，∵k ＞0，∴k +1＞1，∴当0＜x ＜1+k 时，∴当x ＝1时，n =23（1+1）×（1﹣3）=−83，∵m +n =163，∴m ＝8，当m ＝8时，23x 2−43x ﹣2＝8，∴x 1＝5，x 2＝﹣3（舍去），∴1+k ＝5，∴k ＝4；（3）设点Q （1，a ），∵A （3，0），C （0，﹣2），∴AQ 2＝（3﹣1）2+a 2＝a 2+4，AC 2＝32+22＝13，CQ 2＝1+（a +2）2＝a 2+4a +5，①当AQ ＝AC 时，a 2+4＝13，∴a ＝±3，∴Q 1（1，3），Q 2（1，﹣3），当AQ ＝CQ 时，a 2+4a +5＝a 2+4，∴a =−14，∴Q 3（1，−14），当AC ＝CQ 时，a 2+4a +5＝13，∴a ＝﹣2±∴Q 4（1，﹣Q 5（1，﹣2﹣综上所述：Q （1，3）或（1．﹣3）或（1．−14）或（1，﹣1，﹣2﹣【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，等腰三角形的判定和性质，点的坐标平移特征等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．【变式1-6】（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，c=−3a+2×1+c=0，∴c=−3 a=1，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴b=−3−3k+b=0，∴k=−1 b=−3，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+32）2+94，∴当m=−32时，PQ最大=94；（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD==t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t=3 2，∴P（−32，−32），∴N（﹣3，−32），如图2，当PM ＝PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，作PE ⊥x 轴于E ，∴BM ＝2BE ，可得四边形PDOE 是矩形，∴OE ＝PD ＝t ，∴BE ＝3﹣t ，∴t ＝2（3﹣t ），∴t ＝2，∴P （﹣2，﹣1），∴N （﹣2，1），如图3，当PB ＝MB 时，=t ，∴t ＝6﹣∴P （，3﹣∴N （0，3﹣综上所述：N （﹣3，−32）或（﹣2，1）或（0，3﹣【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．【变式1-7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且OA＝1，OC＝4．（1）求抛物线解析式；（2）在该抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点Q（5，3）和该抛物线上一动点M，试求当|QM﹣AM|的值最大时点M的坐标，并直接写出|QM﹣AM|的最大值．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线QA解析式，当点M与点Q、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|QM﹣AM|＜QA，当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM﹣AM|＝QA，当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM﹣AM|的值最大，即点M为直线QA与抛物线的交点，联立直线QP与抛物线解析式，求出当|QM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|QM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴a+b+c=0c=316a−4b+c=0，解得：a=−34，b=−94，c＝3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3；（2）在该抛物线上是不存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC＝5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），∵（5，3）不在抛物线上；当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，在该抛物线上是不存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；（3）如图，设直线QA的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（1，0），Q（5，3），∴5k+b=3 k+b=0，解得：k=34，b=−34，∴直线QA的解析式为y=34x−34，当点M与点Q、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|QM﹣AM|＜QA，当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM﹣AM|＝QA，∴当点M与点Q、A在同一直线上时，|QM﹣AM|的值最大，即点M为直线QA与抛物线的交点，解方程组y=34x−34y=−34x2−94x+3，得x1=1y1=0或x2=−5y2=−92，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，−92）时，|QM﹣AM|的值最大，此时|QM﹣AM|的最大值为5．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式1-8】如图，已知抛物线y=16x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值；（3）如图2，将抛物线向右平移6个单位，向上平移2个单位，得到新的抛物线y'，新抛物线y'的顶点为D，是否在新抛物线y'的对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B两点的坐标代入，进而求得结果；（2）作PE⊥AB于E，交BC于F，求BC的关系式，进而设和表示出点P和点F的坐标，求出PF的表达式，进而求得PF的最大值，进一步求得三角形PBC的最大值；（3）先求出点B、点D的坐标，求出BD的长，分为BD是边和对角线两种情形，当BD是边时，点M 可在D的上方和下方，利用平移或中点坐标公式求得结果．【解答】解：（1）由题意得，−2×62+6b+c=0，∴c =−2b =−23，∴y =16x 2−23x−2；（2）如图1，作PE ⊥AB 于E ，交BC 于F ，可得BC 的关系式是：y =13x−2，设点P （m ，16m 2−23m−2），F （m ，13m−2），∴PF ＝（13m−2）﹣（16m 2−23m−2）=−16m 2+m =−16（m ﹣3）2+32，∴当m ＝3时，PF 最大=32，∵S △PBC =12PF •（x B ﹣x C ）=12×6⋅PF =3PF ，∴△PBC 的面积最大值是92；（3）∵原抛物线可化为y =16（x ﹣2）2−23，∴其顶点是（2，−23），∵2+6＝8，−23+2=43，∴新抛物线的顶点是D ′（8，43），对称轴是直线x ＝8，∴BD 如图2，当BD为边时，点M在D的上方，∵M（8∴N（6如图3，点M在D点下方，N（6，如图4N（10，0），如图5，BD 为对角线时，设M （8，a ），由MB ＝MD 得，22+a 2＝（43−a ）2，∴a =−1518，∴M （8，−1518），∴N （6，8718），综上所述：N （66，8718）或（6，10，0）．【点评】本题考查二次函数及其图象性质，菱形性质，菱形的分类（等腰三角形分类），平移与坐标之间的关系等知识，解决问题的关键是正确分类．【变式1-9】（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y 轴上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；（3）如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c，即可得出答案；（2）分别以点D为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可；（3）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，t），Q（m，n），求出AC2＝18，AP2＝t2+4，PC2＝t2﹣6t+10，分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，∴0=−(−3)2−3b+c 0=−12+b+c，解得：b=−2 c=3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴C（0，3），等腰△ACD，如图甲，当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，∴D（0，0）；当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，∴OC＝OD，∴D（0，﹣3）；当以点C为顶点时，AC＝CD==∴点D的纵坐标为3﹣+3，∴D（0，3﹣0，+3）；综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣0，+3）；（3）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1，设P（﹣1，t），Q（m，n），∵A（﹣3，0），C（0，3），则AC2＝（﹣3）2+32＝18，AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四边形ACPQ是菱形，∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t ＝3∴P 1（﹣1，3P 2（﹣1，3+∵四边形ACPQ 是菱形，∴AP 与CQ 互相垂直平分，即AP 与CQ 的中点重合，当P 1（﹣1，3∴m 02=−3−12，n 32解得：m ＝﹣4，n =∴Q 1（﹣4，当P 2（﹣1，3+∴m 02=−3−12，n 32解得：m ＝﹣4，n∴Q 2（﹣4②以AC 为对角线时，则PC ＝AP ，如图2，∴t 2﹣6t +10＝t 2+4，解得：t ＝1，∴P 3（﹣1，1），∵四边形APCQ 是菱形，∴AC 与PQ 互相垂直平分，即AC 与CQ 中点重合，∴m−12=−302，n−12=032，解得：m ＝﹣2，n ＝2，∴Q 3（﹣2，2）；③当以CP 为对角线时，则AP ＝AC ，如图3，∴t 2+4＝18，解得：t∴P 4（﹣1P 5（﹣1，∵四边形ACQP 是菱形，∴AQ 与CP 互相垂直平分，即AQ 与CP 的中点重合，∴−3m 2=0−12，n 02解得：m ＝2，n ＝3∴Q 4（2，3+Q 5（2，3综上所述，符合条件的点P 、Q 的坐标为：P （﹣1，3Q （﹣4，P （﹣1，3+Q （﹣4P （﹣1，1），Q （﹣2，2）或P （﹣1Q （2，3P （﹣1，Q （2，3【点评】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．【变式1-10】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），可设y＝a（x+2）2+9，再将点B（0，5）代入，解得a的值，则可得抛物线的解析式；（2）求得直线BC与直线CD的解析式，设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）根据S△CGH =12HG×CP，将S△CGH＝用含x的式子表示出来，再由S△BCD＝S△DKC+S△DKB，求得S△BCD；根据线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，得出关于x的方程，解方程并作出取舍，则可得P 点的坐标；（3）设点M的坐标为（m，m+5），求得CD的值，再分情况讨论：当CD与DM是菱形的两边时，则CD＝DM；当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'＝DM'；当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'＝DM'．分别得出关于m的等式，解得m的值，则可得点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），∴可设y＝a（x+2）2+9，又∵抛物线过点B（0，5），代入得：5＝4a+9，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），∴当y＝0时，﹣x2﹣4x+5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴A（1，0），C（﹣5，0），又∵D（﹣2，9），∴直线BC的解析式为y＝x+5；设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣5，0），D（﹣2，9）代入，得：0=−5k+b9=−2k+b，解得：k=3b=15，∴直线CD的解析式为y＝3x+15．设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）．∴S△CGH =12HG×CP=12（5+x）（3x+15﹣x﹣5）=12（5+x）（2x+10）＝（5+x）（x+5）＝（x+5）2，设抛物线的对称轴交直线BC于点K，如图：∵顶点D的坐标为（﹣2，9），∴对称轴为直线x＝﹣2，∴K（﹣2，3），∴DK＝9﹣3＝6，∴S△BCD ＝S△DKC+S△DKB=12×6×3+12×6×2＝15，∴若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，则（x+5）2=12×15，解得：x1=x2=∴P0）；（3）如图，设点M的坐标为（m，m+5），∵C（﹣5，0），D（﹣2，9），∴CD当CD与DM是菱形的两边时，则CD＝DM，∴=解得m1＝﹣5（不合题意，舍去），m2＝7，∴点M（7，12）；当CD与CM''是菱形的两边时，则CD＝CM''，∴=解得m＝±5，∴点M（5，M（﹣5，﹣当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'＝DM'，解得m=−5 4，∴点M（−54，154）．综上所述，点M的坐标为（7，12）或（5，5，﹣−54，154）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数图象上的点的坐标特点、三角形的面积计算、一元二次方程及菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【典例2】如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点A 在y 轴的左侧，点C 在x 轴的下方，且OA ＝OC ＝5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的一动点，当PB +PC 的值最小时，求点P 的坐标；（3）在（2）条件下，点E 为抛物线的对称轴上的动点，点F 为抛物线上的动点，以点P 、E 、F 为顶点作四边形PEFM ，当四边形PEFM 为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M 的坐标．【分析】（1）由题意，可得A （﹣5，0），C （0，﹣5）．把点A ，C 的坐标代入y ＝x 2+bx +c ，得到关于b 、c 的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式；（2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线x ＝﹣2．由抛物线y ＝x 2+4x ﹣5与x 轴交于点A ，B ，得出点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称．连接AC ，交对称轴于点P ，根据两点之间线段最短可知此时PB +PC 的值最小．利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣5，把x ＝﹣2代入，求出y ＝﹣3，进而得出点P 的坐标；（3）在（2）条件下，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）．设F （x ，x 2+4x ﹣5），根据正方形的性质可得E （﹣2，x 2+4x ﹣5），M （x ，﹣3），PM ＝PE ，根据两点间的距离公式列出方程|x +2|＝|x 2+4x ﹣5+3|，解方程即可求解．【解答】解：（1）由题意，可得A （﹣5，0），C （0，﹣5）．∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A ，点C ，∴25−5b +c =0c =−5，解得b =4c =−5，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2+4x ﹣5；（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，∴对称轴是直线x＝﹣2．∵抛物线y＝x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，∴点A，B关于直线x＝﹣2对称．连接AC，交对称轴于点P，此时PB+PC的值最小．设直线AC的解析式为y＝mx+n，则−5m+n=0n=−5，解得m=−1n=−5，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，当x＝﹣2时，y＝﹣3，∴点P的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．设F（x，x2+4x﹣5），∵四边形PEFM为正方形，∴E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM＝PE，∴|x+2|＝|x2+4x﹣5+3|，∴x2+4x﹣2＝x+2，或x2+4x﹣2＝﹣x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0，或x2+5x＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，x3＝0，x4＝﹣5，∴M（﹣4，﹣3）或M（1，﹣3）或M（0，﹣3）或M（﹣5，﹣3）．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．【变式2-1】已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2nx ﹣3n 2（n ＞0）与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 及顶点的坐标（用含n 的代数式表示）；（2）如图所示，当AB ＝4时，D 为（4，﹣1），在抛物线上是否存在点P 使得以线段PD 为直径的圆经过坐标原点O 若点P 存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；已知E 在x 轴上，F 在抛物线上，G 为平面内一点，若以B 、E 、F ，G 为顶点的四边形是正方形，请直接写出E 点所有可能的坐标．【分析】（1）y ＝x 2﹣2nx ﹣3n 2＝（x ﹣3n ）（x +n ），即可求解；（2）设点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），由中点公式得：点O ′（x 42，x 2−2x−42），则O ′O ＝O ′D ，即可得到关于x 的方程，解方程即可；分BE 为正方形的边、BE 为正方形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）y ＝x 2﹣2nx ﹣3n 2＝（x ﹣3n ）（x +n ），当y ＝0时，x 1＝﹣n ，x 2＝3n ，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣n ，0）、（3n ，0），顶点的坐标为（n ，﹣4n 2）；（2）存在，理由：AB ＝4时，则4m ＝4，解得：m ＝1，故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3），抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，设点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），由中点公式得：点O ′（x 42，x 2−2x−42），则O ′O ＝O ′D ，即(x 42)2+(x 2−2x−42)2=(x 42−4)2+(x 2−2x−42+1)2，整理得：x 2﹣6x ﹣3＝0，解得：x ＝3±故点P 的坐标为：（3﹣12﹣设点E 的坐标为：（a ，0），①当BE 为正方形的边时，则点F （a ，a 2﹣2a ﹣3），则BE ＝FE ，即|a ﹣3|＝|a 2﹣2a ﹣3|，解得：a ＝3或0或﹣2（舍去3），故点E 的坐标为：（0，0）或（﹣2，0）；②当BE 为正方形的对角线时，则BE 和GF 相互垂直平分，即点F 在BE 的中垂线上，△FBE 为等腰直角三角形，即点F 到BE 的距离等于12BE ，而BE ＝a ﹣3，故F （a−32，|a−32|），将点F 的坐标代入抛物线表达式得：|a−32|=(a−32)2−2×a−32−3 解得：a ＝﹣3或3或﹣7（舍去3），故点E 的坐标为：（﹣3，0）或（﹣7，0）；综上点E 的坐标为：（0，0）或（﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣7，0）．【点评】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，中点坐标公式，两点间的距离公式，正方形的性质等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．【变2-2】（2022秋•越城区期中）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接BC，CD．首先证明△OBC是等腰直角三角形，分两种情形分别求出点Q的坐标即可．（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴−1−b+c=0−9+3b+c=0，解得，b=2 c=3，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连接BC，CD．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a=当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a=∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M00），00）．。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之菱形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之菱形（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．3．如图，已知直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）线段OC＝，线段AD＝；（2）点M在CD上，且CM＝OM，抛物线y＝2x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A，点C重合），过点P作PD⊥x轴交AC于点D，求PD 的最大值；（3）将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B′，点O平移后的对应点为点O′，点C平移后的对应点为点C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标．5．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x的另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝x+与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x ﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．11．如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E．（1）求点A，B，C的坐标；（2）连接CP，当CP平分∠OCB时，求点P的坐标；（3）平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．12．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．13．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）．（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当△MQC的周长最小时，求△CME面积的最大值；（2）在（1）的条件下，当△CME的面积最大时，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90得到点N’，再将点N′向上平移个单位长度得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形．若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC的面积有最大值时，过点P分别作PE⊥x轴于点E，作PF ⊥y轴于点F，延长FP至点G，使PG＝3，在坐标平面内有一个动点Q满足PQ＝，求QE+QG的最小值（2）在（1）的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点A时，将抛物线y′位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D′为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A′O′P′，在平面内是否存在点T，使以点D′、R，O′、T为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出O′的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若射线MC平分∠PMO，求t的值；（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q 从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，一条抛物线经过点A、点B，并与x轴交于另一点C．抛物线的对称轴x＝﹣1与抛物线的交点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q，直线PQ将△ABD的面积分成1：3两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点E从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点F从点C出发，沿线段CA由C向A运动，E、F的运动速度都是每秒1个单位长度，当点F到达A点时，E、F同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点M，使E、F运动过程中的某一时刻，以A、E、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E 的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．21．如图，直线与y轴交于A点，过点A的抛物线与直线交于另一点B，过点B 作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB 于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，﹣3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O﹣A﹣B﹣C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m＝；（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，①求此抛物线W的解析式；②若点Q在直线y＝﹣1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．24．已知抛物线C1：y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：；（2）当m＝1时，判定△ABC的形状，并说明理由；（3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．25．将抛物线C1：y＝（x+2）2﹣2绕原点O逆时针旋转180°后再向下平移1个单位，得抛物线C2．（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向右平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向左也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与直线y＝﹣1交点从左到右依次为D，E．①如图1，当M、B、N三点共线时，求m的值；②如图2，在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x的另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝x+与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．2．【解答】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x 1）（x﹣x 2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m 2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m 2+m﹣1）＝﹣ m 2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝＝1，将y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为（2，1）；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为（n，n+3），点D的坐标为（0，3）∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴点E的坐标为（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为（﹣2，﹣2﹣1）（如图2）或（2，2﹣1）（如图3）③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为（k，k+3），点C的坐标为（0，﹣1）．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．∴点E的坐标为（﹣4，﹣1）将点E上移1个单位长度得点G．∴点G的坐标为（﹣4，3）．综上所述，点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．3．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴y＝0时，x＝﹣3，x＝0时，y＝1，∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1），∴OC＝3，DO＝1，∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4。
专题07 菱形【2022春人教版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)
【2022春人教版八下数学压轴题突破专练】专题07 菱形一．选择题1．（2021秋•南关区校级期末）如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（）A．22 B．20 C．18 D．162．（2020秋•泾阳县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（）A．4.8 B．2C．5 D．6 3．（2021•陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD：∠B＝1：3，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P．过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为4．则菱形ABCD的面积为（）A．8 B．4C．16 D．8 4．（2021•海港区模拟）如图，菱形ABCD中，∠1＝15°，则∠D＝（）A．130°B．125°C．120°D．150°5．（2021春•宁明县期末）如图，菱形ABCD中，BC＝5，对角线AC等于8，DE⊥AB，则DE 的长为（）A．5 B．6 C．9.6 D．4.86．（2021春•浦北县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC 于点E，则AE的长是（）A．3 B．C．D．7．（2021春•玄武区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（）A．100°B．70°C．50°D．20°8．（2021春•大冶市期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（）A．6 B．C．D．59．（2021春•赞皇县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 10．（2021春•铜梁区校级期末）如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O 为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm二．填空题11．（2020秋•安丘市期末）如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD菱形（是，或不是）．12．（2021秋•淮北月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．13．（2021秋•清苑区期中）已知菱形的周长为12cm，从菱形的一个钝角顶点分别向对角的两条邻边作垂线，垂足恰好都是所在边的中点，则菱形的面积是cm2．14．（2021秋•莲湖区校级月考）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．15．（2018春•嘉兴期末）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连接DF，则DF的长为．16．（2021•张家川县模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为．17．（2021•连州市模拟）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝．18．（2021春•鄞州区校级期中）若菱形的面积为60，一条对角线长为10，则另一条对角线长为．三．解答题19．（2021•镇江一模）D是△ABC的边AB上的一点，E是边BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接CD、BF．（1）求证：DE＝EF．（2）已知BC＝8，DF＝6，当DB＝时，四边形CDBF是菱形．20．（2021春•顺城区期末）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．21．（2021春•庆阳期末）如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝8，求AC的长．22．（2021春•永嘉县校级期末）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．23．（2021•扬州三模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，过点B 作AC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABEC为菱形；（2）若AB＝6，连接OE，求OE的值．24．（2020春•桦南县期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：（1）AC⊥BD；（2）四边形ABCD是菱形．25．（2019春•莱州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．26．（2020春•北流市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．27．（2018春•新罗区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．28．（2017春•碑林区校级期末）如图①，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P 分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝6，∠BAD＝60°，且AB＞6．（1）如图②，作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠EPF∠HPG（填“＜”“＞”或“＝”）．（2）∠FPE的大小是．（3）若AP＝8，求AE+AF的值．。
中考数学总复习《菱形》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《菱形》专项提升训练（带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD为平行四边形，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________；(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________．2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.第2题图(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；(3)菱形ABCD的周长为________，面积为________．知识逐点过考点1 菱形的性质及面积边对边平行，四条边①________角对角②________对角线对角线互相③________，并且每一条对角线④________一组对角(人教独有)对称性既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤______条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点面积公式S＝ah＝12mn【温馨提示】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形考点2 菱形的判定1.有一组⑥________的平行四边形是菱形(定义)；边2．⑦________相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直且平分的四边形是菱形真题演练命题点与菱形性质有关的计算1. 菱形的边长为5，则它的周长为________．2. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠F AD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．第2题图拓展训练3. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第3题图教材原题到重难考法与菱形有关的证明与计算例如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠DEF＝∠DFE.例题图变式题1. 变菱形中所含的三角形顶角为特殊角，满足120°角含60°角的半角模型如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠A ＝∠EDF ＝60°.若AE ＋CF ＝6，求菱形ABCD 的面积．第1题图2. 连接对角线，探究线段间的数量关系如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，AB ＝4，AE ＝BF ，∠A ＝60°，连接BD ，DE ，DF ，EF ，EF 与BD 相交于点G . (1)求证：△AED ≌△BFD ； (2)若BF ＝1，求GFGE的值．第2题图基础过关1.如图，在菱形ABCD 中，连接AC ，BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°第1题图2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()A. (5，－2)B. (2，－5)C. (2，5)D. (－2，－5)第3题图4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC ＝6，BD＝8，则OE＝()A. 2B. 52 C.3 D. 4第4题图5. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__________，使四边形ABCD成为菱形．第5题图6. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为__________．7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．第7题图8. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin ∠BAC＝__________．第8题图9. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为点B，D，若AB ＝6 cm，则EF＝________cm.第9题图10. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．第10题图综合提升11. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE 的面积为________.第11题图新考法推荐12.(注重教材定理的证明)思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，垂足为点O .求证：▱ABCD 是菱形． 知识应用(2)如图②，在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AD ＝5，AC ＝8，BD ＝6. ①求证：▱ABCD 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若∠E ＝12 ∠ACD ，求OFEF的值．图① 图② 第12题图参考答案1. (1)AC ⊥BD (答案不唯一)【判定依据】对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (2)AB ＝AD (答案不唯一)【判定依据】四条边都相等的四边形是菱形． 2. (1)2，1，1，3 ；(2)120°，30°，60°；(3)8，23 .知识逐点过①相等 ②相等 ③垂直且平分 ④平分 ⑤两 ⑥邻边相等 ⑦四条边真题演练1. 20 【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.2. (1)证明：∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形 ∴AB ＝AD ＝AF ∴△ABF 是等腰三角形 又∵∠BAD ＝∠F AD ∴AD ⊥BF ；(3分)(2)解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ，AB ∥CD 由(1)知AB ＝AD ＝AF ∴AB ＝AF ＝BF ∴△ABF 是等边三角形 ∴∠BAF ＝60°，(5分) ∵∠BAD ＝∠F AD ∴∠BAD ＝30° 又∵AB ∥CD∴∠ADC ＋∠BAD ＝180°∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)3. 9 【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，记EF 交BD 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ＝12 BD ＝4，在Rt △ABO 中，AB ＝5，BO ＝4，∴AO＝3，∴AC ＝6，∵E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝3，GO ＝12 BO ＝2，∵DO ＝4，∴DG ＝6，∴S △DEF ＝12 EF ·DG ＝12×3×6＝9.第3题解图教材原题到重难考法例 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形 ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，AD ＝CD ∵BE ＝BF ∴AE ＝CF在△ADE 和△CDF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ∠A ＝∠C AE ＝CF∴△ADE ≌△CDF (SAS)； (2)由(1)知△ADE ≌△CDF ∴DE ＝DF ∴∠DEF ＝∠DFE . 1. 解：如解图，连接BD∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60° ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA∴△ABD 和△BCD 均为等边三角形 ∴CD ＝BD ，∠C ＝∠DBE ＝∠BDC ＝60° ∵∠EDF ＝60°∴∠EDB ＋∠BDF ＝∠BDF ＋∠FDC ＝60° ∴∠EDB ＝∠FDC ∴△DBE ≌△DCF ∴BE ＝CF ∵AE ＋CF ＝6∴AE ＋BE ＝6＝AB ∴S 菱形ABCD ＝2S △ABD ＝2×34AB 2＝183 .第1题解图2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠C 又∵∠A ＝60° ∴∠C ＝60°∴△ABD 和△BCD 是等边三角形 ∴∠A ＝∠DBF ＝60°，AD ＝BD . 在△AED 和△BFD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ∠A ＝∠DBF AD ＝BD∴△AED ≌△BFD (SAS)；(2)解：如解图，过点E 作EM ∥AD 交BD 于点M第2题解图由(1)知△ABD 为等边三角形 ∴∠A ＝∠ABD ＝60° ∵EM ∥AD∴∠BEM ＝∠A ＝∠ABD ＝60° ∴△BEM 为等边三角形 ∵AB ＝4，BF ＝1∴EM ＝BE ＝AB －AE ＝AB －BF ＝3 ∵EM ∥AD ，BF ∥AD∴BF ∥EM∴△BGF ∽△MGE∴GF GE ＝BF ME ＝13.基础过关1. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∠ACD ＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.2. B 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝4，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形．当CD ＝CE ＝4时，四边形ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.3. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形且对角线交点与坐标原点O 重合，∴OA ＝OC ，且点A 与点C 关于原点对称．∵点A (－2，5)，∴点C 的坐标是(2，－5).4. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC .∵BD ＝8，AC ＝6，∴OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝42＋32 ＝5.在Rt △OBC 中，∵∠BOC ＝90°，点E 是BC 的中点，∴OE ＝12 BC ＝52. 5. AD ∥BC (或AB ＝CD 或OB ＝OD 或∠ADB ＝∠CBD 等) 【解析】 当添加AD ∥BC 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加AB ＝CD 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加OB ＝OD 时，∵AD ＝BC ，AC ⊥BD ，∴Rt △ADO ≌Rt △CBO (HL)，∴AO ＝CO ，DO ＝BO ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加∠ADB ＝∠CBD 时，∴AD ∥BC ，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形.6. 24 【解析】 根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，该菱形的面积为12×6×8＝24.7. 10 【解析】 ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC .∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵AB ＝10，∴AC ＝AB ＝10.8. 45【解析】 由题意可设AC ＝6x ，BD ＝8x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO＝3x ，OB ＝4x ，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝5x .在Rt △BAO 中，sin ∠BAC ＝BO AB ＝4x 5x ＝45. 9. 23 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵∠DAB ＝60°，∴∠EAB ＝∠DCF ＝30°，∠ADC ＝120°，∴∠FDA ＝∠F AD ＝30°，∴AF ＝DF ，AB ＝CD .∵BE ⊥AB ，DF ⊥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (ASA)，∴BE ＝DF .∴BE ＝AF ，在Rt △ABE 中，设BE ＝AF ＝x ，则AE ＝2x ，即x 2＋62＝(2x )2，解得x ＝23 ，∴EF ＝AE －AF ＝23 .10. 证明：(1)∵AD ＝BC∴AD ＋DC ＝BC ＋DC即AC ＝BD .在△AEC 和△BFD 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BDAE ＝BFCE ＝DF∴△AEC ≌△BFD (SSS)∴∠A ＝∠B∴AE ∥BF ；(2)方法一：由(1)知，∠A ＝∠B在△ADE 和△BCF 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF∠A ＝∠B ，AD ＝BC∴△ADE ≌△BCF (SAS)∴DE ＝CF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．方法二：由(1)知，△AEC ≌△BFD∴∠ECA ＝∠FDB∴EC ∥DF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．11. 24 【解析】∵CF ∥BE ，∴∠BEO ＝∠CFO .∵BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，∴BO ＝CO ，∠BOE ＝∠COF ＝90°，∴△BOE ≌△COF (AAS)，∴BE ＝CF ，OE ＝OF ，∴四边形BFCE 为平行四边形．∵EF ⊥BC ，∴▱BFCE 为菱形．∵在▱ABCD 中，AD ＝8，∴BC ＝8，∴OC ＝12BC ＝4.∵CE ＝5，∴在Rt △EOC 中，OE ＝EC 2－OC 2 ＝52－42 ＝3，∴S 菱形BFCE ＝12 BC ·EF ＝12 BC ·2EO ＝12×8×2×3＝24. 12. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO ＝CO ，BO ＝DO .∵AC ⊥BD ，垂足为点O∴AC 与BD 相互垂直平分∴AB ＝AD∴▱ABCD 是菱形；(2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6∴AO ＝4，DO ＝3.∵AD ＝5∴AD 2＝AO 2＋DO 2∴△AOD 是直角三角形且∠AOD ＝90°∴AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形∴▱ABCD 为菱形；②解：如解图，过点O 作OG ∥BC 交CD 于点G .由题意及(2)①易知菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，BO ＝3，CO ＝4，BC ＝5，CA 平分∠BCD∴∠BCO ＝∠OCD ＝12∠BCD . ∵∠E ＝12 ∠ACD ＝12∠OCD ，∠BCO ＝∠E ＋∠COE ∴∠BCO ＝2∠E∴∠COE ＝∠E∴CE ＝OC ＝4.∵OG ∥BC ，O 为BD 的中点 ∴OG 为△BDC 的中位线∴OG ＝12 BC ＝52，△OFG ∽△EFC ∴OGEC ＝OFEF∴524 ＝OFEF∴OFEF ＝58 .第12题解图。
(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)
菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( ）A．M（5，0)，N(8,4）B．M（4,0），N(8，4）C．M(5，0），N（7,4）D．M（4，0），N（7，4）2．(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳)菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为( ）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7。
5 D．二．填空题（共15小题)5．（2011•铜仁地区)已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8,BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．7．(2011•南京）如图,菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点,且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图 7题图 8题图 9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________ 度．10．(2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=_________ 度．10题图12题 13题图 14题图11．（2009•朝阳)已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ．12．（2009•安顺）如图所示,两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D ﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________ 点．13．（2008•长沙）如图,P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________ cm．14．(2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ ．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm,则它的面积是_________ cm2．17．（2004•贵阳)如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C 重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________ ．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ．19．如图:点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________ 度．三．解答题(共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B(﹣3，0）．(1）求点D的坐标；(2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB,垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县)如图，四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1)求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳)如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．(2006•大连)已知：如图,四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可)．（1）连接_________ ；（2)猜想：_________ = _________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示,在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4）,则顶点M、N的坐标分别是（)A．M(5，0），N（8，4） B．M(4，0），N(8，4）C．M（5,0），N（7,4）D．M（4，0），N(7，4）考点：菱形的性质;坐标与图形性质.专题：数形结合。
2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)
专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。
在尤轴上，点。
在平面中，求。
点坐标，使得以A、B、C＞。
为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。
点坐标为（秫，0）,。
点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。
2023中考菱形综合题集(压轴题)
2023中考菱形综合题集(压轴题)第一部分：填空1. 在数字“2023”中，“3”的位数是个位。
2023”中，“3”的位数是个位。
2. 某场演唱会有2000张门票出售。
已售出1700张，这时突然下雨，有1/5的人没有来参加演唱会。
实际到场观看演唱会的观众有多少人？答：1360人。
2000张门票出售。
已售出1700张，这时突然下雨，有1/5的人没有来参加演唱会。
实际到场观看演唱会的观众有多少人？答：1360人。
3. 周师傅做了84个汉堡，发现还剩下1/3未卖出。
已售出的中1/4是早上卖的，中午卖了32个，余下的傍晚卖出去了18个。
这些数据理解正确后，请回答：如此销售后，周师傅最后剩下12个汉堡。
12个汉堡。
第二部分：选择1. 设某两位年龄相同的玩家小明和小刚，小明已经捐献了2升550毫升的血液，小刚已经捐献了1升350毫升。
这时小明的血液量比小刚血液量多。
下列表示小明血液毫升数的选项不正确的是：多。
下列表示小明血液毫升数的选项不正确的是：A.2550B.2500C.2350D.2300答：C2. 一个菱形密封膜的对角线长分别为5和8cm，则其周长为多少？A.22cmB.26cmC.30cmD.34cm答：B3. 以下哪个大写字母在旋转180度后能变成原来的字母：A. SB. HC. QD. O答：D第三部分：计算1. 将7（1/3 + 1/6 + 1/18）化简未带分数的形式，得到的简化结果是 5。
5。
2. 至少需要多少辆3米长的大巴车，才能够将一个长为1000米的物品运回家中？答：334辆。
3. 小明、小韩、小李三个人同时到一家甜品店，小明和小韩一人买了3个甜品，小李一人买了4个甜品，他们一共花费了992元。
如果这家甜品店卖出的每个芒果慕斯价格为8元，那么小明、小韩、小李三人中，买的芒果慕斯最多的那一个人所购买的芒果慕斯数量是多少个？答：24个。
第四部分：简答1. 什么是素数？答：素数（质数）指在大于1的自然数中，除1和其本身外不能被其他自然数整除的数。
菱形中的几何综合(压轴题专项讲练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
菱形中的几何综合正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。
分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。
一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．二、菱形的性质1．菱形具有平行四边形的一切性质；2．菱形的四条边都相等；3．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；4．菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．三、菱形的判定1．一组邻边相等的平行四边形是菱形；2．四条边都相等的四边形是菱形．3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【典例1】菱形ABCD中，对角线BD=6cm，∠A=60°，点P从A出发，沿A→D→B以2cm/秒的速度匀速运动，到点B停止，过P作边AB的垂线交AB于Q，以PQ为边向右作等边△PQE，设运动时间为t秒．（1）菱形ABCD的边长为______cm．（2）当P在边AD上运动时，用含t的代数式表示PQ、BQ．（3）连接BE，当△QEB是直角三角形时，求t的值．（4）当菱形ABCD的对角线BD平分△PQE的边时，t的取值范围是____________．（1）根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可；（2）设运动t秒，则AP=2t，根据30°所对直角边是斜边的一半求出AQ，进一步即可表示PQ和BQ；（3）分类讨论：点P在AD上时，①当∠QEB=90°时，表示出QE和QB，根据QE=列方程即可求得；②当∠EBQ=90°时，表示出QE和QB，根据QB=列方程即可求得；点P在BD上时，此时△QEB为钝角三角形；（4）分类讨论：当BD平分BE时，则EF=12PE，表示出EH，QH，根据QH=列方程即可；当BD平分QE 时，此时点P在BD上，即可得出取值范围．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠A=60°，对角线BD=6，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD=6(cm)．故答案为：6．（2）设运动t秒，∵点P从A出发，沿A→D→B以2cm/秒的速度匀速运动，到点B停止，过P作边AB的垂线交AB于Q，∴AP=2t，∠PQA=90°，∵∠A=60°，∴∠APQ=90°―60°=30°，∴AQ=t，PQ===(cm)，∴BQ=BA―AQ=(6―t)(cm)．∴PQ=(cm)，BQ=(6―t)(cm)．（3）点P在AD上，当△QEB是直角三角形，设运动时间为t秒，①∠QEB=90°时，如图所示：∵PQ⊥AB，△PQE是等边三角形，∴∠PQE=60°，∠EQB=30°，QE=PQ=，∴QB=2BE，∵BQ2=QE2+BE2，∴(2BE)2=)2+BE2，∴BE=t或BE=―t（不符合题意，舍去）∴QB=2t，∴2t=6―t，∴t=2（秒）；②当∠EBQ=90°时，如图所示：∵∠EQB =30°，QE =PQ=，∴BE =12QE =，∴BQ===32t ，∴32t =6―t ，∴t =125（秒）．③点P 在BD 上运动时，设QE 交BD 于点H ，如图所示，∵PQ ⊥AB ，△PQE 是等边三角形，∴∠PQE =∠QPE =60°，∠EQB =90°―60°=30°，PQ =PE ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，∴∠ABD =12∠ABC =12(180°―∠A )=60°，∴∠BPQ =90°―∠PBQ =90°―60°=30°，∴∠BPE =∠QPE ―∠BPQ =60°―30°=30°，∴∠BPQ =∠BPE =30°，在△BPQ 和△BPE 中，PQ =PE ∠BPQ =∠BPE PB =PB，∴△BPQ≌△BPE (SAS)，∴∠PBE =∠PBQ =60°，∴∠QBE =∠PBE +∠PBQ =60°+60°=120°，∴△QEB 是钝角三角形，不可能是直角三角形．∴综上所述，当△QEB 是直角三角形时，t 的值为2秒或125秒．（4）当菱形ABCD 的对角线BD 平分△PQE 的边时，如图所示，当BD 平分PE 时，此时点P 在AD 上，∵四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，∴∠ADB =12∠ADC =12(180°―∠A )=60°，∵PQ ⊥AB ，△PQE 是等边三角形，∴∠PQA =90°，∠QPE =∠PEQ =60°，QE =PQ =∴∠APQ =90°―∠A =90°―60°=30°，∴∠DPE =180°―∠APQ ―∠QPE =180°―30°―60°=90°，∴∠EFH =∠DFP =90°―∠PDF =―60°=30°，∴∠EHF =180°―∠EFH ―∠FEH =180°―30°―60°=90°，∴HE =12EF =14PE =14PQ =，∴QH =QE ―HE ==，∵∠EQB =30°，∠BHQ =∠EHF =90°，∴BQ =2BH ，∵BQ 2=QH 2+BH 2，∴(2BH )2=t 2+BH 2，解得：BH =34t 或BH =―34t （不符合题意，舍去）∴BQ =2BH =32t ，∴32t =6―t ，∴t =125（秒）；②当BD 平分QE 时，此时点P 在BD 上，如图所示：∵∠PQB =90°，∠PBQ =60°，∴∠QPB =30°，∵△PEQ 是等边三角形，∠BPQ =∠BPE =30°，∴PH 是QE 边上的中线，∴点H 是QE 的中点，当P 在D 点时，2t =6，∴t =3，当P 在点B 时，2t =12，∴t =6，∴P 在BD 上运动时，t 的取值范围是3≤t ≤6，综上所述，当菱形ABCD 的对角线BD 平分△PQE 的边时，t =125或3≤t <6．故答案为：t =125或3≤t <6．1．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =8，点E 在BC 上，CE =P 是菱形ABCD 四条边上异于点E 的一点，CE =CP ，则以下长度中，不可能是DP 的长度的是（）A．8―B．4C．8D．2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM,AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD=2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在一张菱形纸片ABCD中，AB=2，∠ABC=30°，点E在BC边上（不与点B，C重合），将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF，EF，DF．有以下四个结论：①AE=BE；②△ABE沿直线AE折叠过程中，∠BFD是一个定值；③当AE⊥BC时，四边形ACFD的面④当FE平分∠AFB时，FD=）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H，，则S△ABF:S四边AFCD=．6．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形ABCD中，∠DAB=60°，E，F分别在AB，CD边上，将菱形沿EF=．折叠，点A，D的对应点分别是A′，D′，且A′D′经过B点，若A′E⊥AB，则DFCF7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等边△ABC中，点F为CB延长线上一点，点D是AC的中点，连接DF交AB于点M，以DF为边向下作等边△DFE，连接CE、ME，若ME⊥DF，BM+BF=6，则CE的长为．8．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，点P在菱形的边上，若DE=DP，则CP的长为．9．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，BC边上的中点，G为DE上一点，若AB=4，∠B=∠EGF=60°，则DG的长为10．（2023·江西抚州·三模）在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P 从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为．11．（22-23八年级下·浙江台州·期中）菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．（1）如图1，E为边AB、E不重合），则EG、AG的关系是___，请说明理由．（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．（2023·江苏·模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．（1）当∠BAE＝15°时，求EF的长；（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；（3）若EF＝k⋅BE，求k的取值范围．13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形ABCD中，BC=CD，对角线AC平分∠BCD，点H为CD 边上一点，连接BH交AC于点F，∠AFH=∠BAC+∠BHC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，点E在BC上，BE=CF，AE交BH于点N，AL⊥BH于点L，若∠ABC=60°，求证：AN=2NL．（3）如图3，在（2）的条件下，H为CD的中点，点G在BH上，点M在AE上，连接AG，CM，AG=5，CM=∠AGB=2∠EMC，求线段BH的长14．（2024·贵州·一模）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E，F分别是BC，AD的中点，点G，H分别在AB，CD上，且BG=DH，分别沿EG，FH折叠菱形ABCD，点B，D的对应点分别为点M，N，连接AM，CN，EN，FM．（1）问题解决：如图①，请判断线段AM，CN的数量关系和位置关系：；（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在AB，CD上时，请判断四边形ENFM的形状，并说明理由；的值．（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求AGBG15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形ABCD是菱形，连接AC，∠ACB=60°．（1）如图，求证：AC=BC．（2）如图，点P在△ACD的内部，连接AP、BP，BP与AC相交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若AF2+EF2=AC2，求∠AFE的度数．（3）如图，在（2）问条件下，若点E为AP中点，AP=AB的值．16．（2024·广东汕头·一模）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP，AQ分别交边BC，CD于点P，Q．（1）【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________．（2）【探究】如图2，当点P为BC上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由．（3）【应用】若菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，在BC边上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=7时，请直接写出线段DQ的长．17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，（A、P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=BE=△APE的面积．18．（2023·广东广州·二模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是平面内一动点，以AP为边作等边△APE，其中A，P，E按逆时针方向排列．（1）如图①，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则线段BP与CE的数量关系是；BP 与CE的夹角度数是；（2）如图②，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD外部时，连接CE=PD+CE；（3）如图③，当点P在线段BD的延长线上时，连接CE，请直接用等式表示线段AD，PD，CE之间的数量关系：．19．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形ABCD中，∠D=60°，AB=6cm点P在边BC上由C向B 运动，点Q在边CD上由D向C运动，速度均为1cm/s，连接AP、AQ，以AP、AQ为邻边构造▱APMQ，连接AM 过点B作BG⊥AM，交折线A―D―C于点G，分别交AP、AQ于点E、F．（1）求证：▱APMQ为菱形．（2）连结CE，CF，求△ECF周长的最小值，并说明理由．（3）当点G在线段AD上时，若某时刻满足DG=DQ，①证明：E为AP中点．②请直接写出此时P点的运动时间．20．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．（1）如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为_________；（2）如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；（3）如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．。
初中数学菱形30题专项练习
菱形30题本专题的制作目的是帮助学生进一步熟悉并掌握菱形的性质和判定，并且能灵活运用到实际题目中。
分了三个模块：①菱形的性质（15题）；②菱形的判定（15题）；共30题。
先仔细研究方法总结，再进行巩固练习。
重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块－菱形的性质u歪理·菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它真奇平行四边形的所高性质，还真高自己独特的性质．圄形性质符号表示萎形ABCD边菱形的四条边都相等AB = BC = CD = DAA 菱形的对边平行AB//CD, AD I/BCB命D角菱形的对角相等LDAB = LBCD, LABC= LADC对角菱形的两条对角线亘相垂AClBD线直，AC平分LBAD和ζBCD并且每一条对角线平台一BD平分ζABC和ζADC组对角·菱形的对称性菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．①菱形的对称中心是对角线的交点，过这点的任意直线可将菱开三分成两个全等的图形．Dc②菱形高2条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．A。
I/D�王�＠如图，对菱形ABCD的叙述正确的是（）．DA--. j三�cA.AC= BDB.L'.OA B = L'.O BAC.AC l BDD.高4条对称轴。
如图，菱形纸片ABCD中，L'.A= 60。
’折叠菱形纸片ABCD，使点C落在D P( P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则ζD E C的大小为（）．A.78。
B.75。
C.60。
D.45° D C C'。
如图，在三角形ABC中，AB>AC, D、E分别是AB、AC上的点，!:1ADE沿线段DE翻折，使点A藩在边BC上，记为F，若四边形AD F E是菱形，则下列说法正确的是（）．A.DE是l1ABC的中位线C.AF是BC边上的高BB.A F是BC边上的中线D.A F是!:1ABC的角平分线A,,.D人；＼飞FEc＠将矩形纸片ABCD 即日图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB=3，则菱形AECF 的面积为（）．DcDFc协饲→「－－ABAEBA.1B.2{2,C.2./3D.4＠如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0,E 、F分别是AB 、BC 边上的中点，连接EFy 若EF=J言，BD=4，则菱形ABCD 的周长为（）． BDcA.4B.4./6C.4.fiD.28。
中考数学试卷菱形压轴题
一、选择题1. 在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若∠BAC=60°，则∠BEF的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=2AF，若∠ABE=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题3. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=10cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为________cm。
4. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，若∠ABE=40°，则∠B的度数是________°。
三、解答题5. （15分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，∠ABE=50°。
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）求证：BE=EF；（3）若∠BAC=60°，求菱形ABCD的面积。
证明：（1）证明：连接AE、AF。
因为ABCD是菱形，所以AD=BC，AB=AD。
又因为E、F分别是AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC。
由菱形的性质，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。
因此，四边形AEFD的对边平行且相等，所以四边形AEFD是平行四边形。
（2）证明：因为BE=AF，且四边形AEFD是平行四边形，所以AD=BF。
又因为ABCD是菱形，所以AD=BC。
所以BC=BF，即BC=AF。
又因为∠ABE=50°，所以∠ABF=180°-∠ABE-∠BAF=180°-50°-90°=40°。
所以∠ABF=∠BCF。
又因为AB=BC，所以三角形ABF与三角形BCF全等（AAS）。
所以BE=EF。
（3）求菱形ABCD的面积：由（2）知，三角形ABF与三角形BCF全等，所以AB=BC。
2022-2023学年北师大版九年级上册菱形的性质与判定 压轴题
1.1 菱形的性质与判定（压轴题）-北师大版九年级上册一．选择题1．若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（）A．336cm2B．480cm2C．300cm2D．168cm22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（）A．B．C．10D．83．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（）A．4B．8C．16D．205．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（）A．B．C．D．56．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（）cm．A．13B．24C．52D．607．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD ＝10，则DE的长为（）A．2B．4C．D．48．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（）A．60°B．80°C．85°D．100°9．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是（）cm．A．B．C．12D．2410．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③二．填空题11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠CBD的度数为．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是平方厘米．15．如图，菱形ABCD中，∠A＝100°，点E、G分别是AB、BC边上的中点，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接GE、GF，则∠GFC＝．三．解答题16．如图．P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长；（2）若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周长．18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为．20．在△ABC中，过A作AD∥BC，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，∠EFB＝∠CAB．（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；（2）如图2，G是AD的中点，H是边AC的中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD＝48cm，∴AB＝25cm，OA＝OC，OB＝OD＝24cm，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝7（cm），∴AC＝2OA＝14cm，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×14×48＝336（cm2），故选：A．2．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，∴AB＝＝＝10，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，∴×16×12＝10×DE，∴DE＝，故选：A．3．【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选：B．4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，则菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4×8＝16故选：C．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△BCO，∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，∵AO＝OC，∴AC＝2OE＝4，∴，∴BC＝，∴AB＝，故选：A．6．【解答】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，∴另一对角线长为＝24（cm），根据勾股定理，菱形的边长为＝13（cm），则菱形的周长＝13×4＝52（cm）．故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，∵AC＝16，CD＝10，∴CO＝8，∴OD＝＝＝6，∵CE＝CD＝10，∴OE＝CE﹣OC＝10﹣8＝2，∴DE＝＝＝2，故选：A．8．【解答】解：连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO，∴BF＝DF，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠ADF＝40°，∴∠CDF＝60°，故选：A．9．【解答】解：如图，一个木制的活动衣帽架为菱形ABCE．∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成，∴当挂钩B、D间的距离是30cm时，BE＝＝10（cm），∵四边形ABCE为菱形，∴AC⊥BE，AO＝CO，BO＝EO，∵BE＝10cm，∴BO＝5cm，∵AB＝13cm，∴OA＝＝＝12（cm），∴AC＝2AO＝24（cm），故选：D．10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正确；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，故②正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，∴当CE⊥AB时，△ECF的边长取最小值，在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，∴CE＝BC•sin B＝5×＝，∴△ECF的边长最小值为，故③错误；过点E作EM∥BC，交AC于点M，∵△BEC≌△AFC，∴BE＝AF＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝3．∵AD∥BC，∴AF∥EM，∴＝＝，∴S△FGC＝S△EGC，方法2：∵AF＝2，∴AE＝3，∵菱形对角线是∠EAF的角平分线，∴点G到AF和AE两边距离相等，∴两个三角形等高，∴面积比＝AF：AE＝2：3．故④正确．故选：C．二．填空题11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝40°，CD＝CB，∴∠CBD＝70°，故答案为：70°．12．【解答】解：∵顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），∴OB＝6，OC＝4，∴BC＝OB+OC＝10，∵菱形ABCD，∴AB＝AD＝BC＝10，AD∥BC，在Rt△ABO中，，∴A（0，8），∵AD∥BC，AD＝10，∴D（10，8）．故答案为：（10，8）．13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∵S菱形ABCD＝24，∴×8×BD＝24，解得：BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝×6＝3，故答案为：3．14．【解答】解：四边形ABCD是菱形，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以OA＝8，OB＝，即BD＝12，所以菱形的面积为（平方厘米），故答案为：96．15．【解答】解：如图，延长EG，DC交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝100°，AB∥CD，∴∠B＝∠BCH，∠BEG＝∠H，∵点E、G分别是AB、BC边上的中点，∴AE＝BE＝AB，BG＝GC＝BC，∴BE＝BG＝GC，在△BEG和△CHG中，，∴△BEG≌△CHG（AAS），∴BE＝CH，EG＝GH，∴GC＝CH，∴∠H＝∠CGH，∵∠BCD＝∠H+∠CGH＝100°，∴∠H＝∠CGH＝50°，∵EG＝GH，EF⊥CD，∴GF＝GH，∴∠GFC＝∠H＝50°，故答案为：50°．三．解答题16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠P AD＝∠P AB＝30°，∵PE⊥AE，∴AP＝2PE＝2，∴AE＝＝＝；（2）四边形AEPF是正方形，理由如下：在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（AAS），∴PE＝PF；∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，∴四边形AEPF是矩形，∴四边形AEPF是正方形．17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，DO＝BD＝5，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD＝＝＝13，由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．18．【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA）；（2）证明：∵△AOE≌△COD，∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形，又∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四边形AECD是菱形．19．【解答】（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：如图，过O作OP⊥AE于P，∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠EAC，∴△AOB∽△AEC，∴＝，∴＝，解得EA＝，∵OP⊥AE，∴AB•OP＝OA•OB，∴OP＝，∴S△AOE＝AE•OP＝×＝．故答案为：．20．【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠CAB∴DE∥AC，∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∴四边形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴菱形ACED是正方形，∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，∵G是AD的中点，H是AC边中点，∴AG＝DG＝CE，∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），∵BC＝2AC，∴BE＝CE＝AD，∵AD∥BE，∴∠B＝∠DAF，∵∠AFE＝∠BFE，∴△BFE≌△AFD（AAS），∵AD＝CE＝BE，∴△BEF≌△ECH，∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．。
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001如图，在菱形ABCD中，tanA= √3，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不
与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：（1）△AED≌△DFB；（2）CG与BD一定不垂直；（3）∠BGE的
大小为定值；（4）S
四边形BCDG = √3
4
CG2；其中正确结论的序号为________．
（1）（3）（4）（5）
002如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是．（填序号即可）
①△BEF∽△CHE
②AG＝1
③EH＝
④S△BEF＝3S△AGH
①②③
003如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
004如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；
②∠BMD=120°；
③△AMH是等边三角形
=AM2．
④S
四边形ABMD
其中正确结论的是．
①②③④．
点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①△AED≌△DFB；
②S四边形BCDG＝CG2；
③若AF＝2DF，则BG＝6GF；
④CG与BD一定不垂直；
⑤∠BGE的大小为定值．
其中正确的结论个数为（）
A．4 B．3C．2 D．1
006如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：
①AE＝AF；
②∠CEF＝∠CFE；
③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；
④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．
上述结论中正确的序号有．（把你认为正确的序号都填上）
①②③．
点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①∠ADE=∠DBF；
②△DAE≌△BDG；
③若AF=2DF，则BG=6GF；
④CG与BD一定不垂直；
⑤∠BGE=60°．
其中正确的结论个数为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
008（2019•深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）
=①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则GF
EG
1
．
3
A．1 B．2 C．3 D．4
009（2019•眉山）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：
①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC 的距离为2√3−2．
则其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
010如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，F 分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个。