【优化方案】2020高中数学 第1章1.5.3知能优化训练 新人教A版选修2

1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b
f (t )d t 的值( )
A ．小于零
B ．等于零
C ．大于零
D ．不能确定
解析：选B.在[a ，b ]上，f (x )的积分等于f (t )的积分，因此，其值为0. 2．已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛－t
0 x d x 等于( )
A ．0
B ．2
C ．－1
D ．－2 解析：选D.∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数，
∴⎠⎛－t t x d x ＝0.而⎠⎛－t t x d x ＝⎠⎛－t 0 x d x ＋⎠⎛0t x d x ， 又⎠⎛0
t x d x ＝2， ∴⎠⎛－t
0 x d x ＝－2.故选D. 3．不用计算，根据图形，用不等号连接下列式子．
⎠⎛01x d x ________⎠⎛0
1
x 2d x (如图所示)．
答案：>
4．已知⎠⎜⎛0
π
2sin x d x
＝⎠⎜⎛π
2
sin x d x ＝1，⎠⎜⎛0
π
2 x 2
d x ＝π
3
24
，求下列定积分：
(1)∫π
0sin x d x ；(2) ⎠⎜⎛0
π
2 (sin x ＋3x 2
)d x .
解：(1)∫π
0sin x d x ＝⎠⎜⎛0π
2sin x d x ＋⎠⎜⎛π
2
sin x d x ＝2；
(2) ⎠⎜⎛0π
2 (sin x ＋3x 2
)d x
＝⎠⎜⎛0π
2sin x d x ＋3⎠⎜⎛0
π
2x 2
d x ＝1＋π3
8
.
一、选择题
1．定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的大小( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )，区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关
解析：选A.定积分的大小与被积函数以及积分区间有关，与ξi 的选择无关．
2．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02
[f (x )＋6]d x ＝( )
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
解析：选C.根据定积分的性质，
⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝⎠⎛02f (x )d x ＋⎠⎛0
2
6d x ＝3＋6×2＝15.
3．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛－66
f (x )d x ＝( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
解析：选B.偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛－66
f (x )d x ＝2⎠⎛06
f (x )d x ＝16.故选B.
4．下列等式成立的是( ) A.⎠⎛a b
x d x ＝b －a B.⎠⎛a b
x d x ＝1
2
C.⎠⎛
－11
|x |d x ＝2⎠⎛0
1
|x |d x
D.⎠⎛a b (x ＋1)d x ＝⎠⎛a b
x d x
解析：选C.由y ＝|x |为偶函数，图像关于y 轴对称，得⎠⎛－11
|x |d x ＝2⎠⎛01
|x |d x ，故选C. 5．设a ＝⎠⎛01x 1
3d x ，b ＝⎠⎛01
x 2d x ，c ＝⎠⎛01
x 3
d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c >a >b
B ．a >b >c
C ．a ＝b >c
D ．a >c >b
解析：选B.根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01
x 3d x <⎠⎛01
x 2d x <⎠⎛01x 1
3d x ，a >b >c ，故选B.
6．若⎠⎛－a a |56x |d x ≤2020，则正数a 的最大值为( )
A ．6
B ．56
C ．36
D ．2020
解析：选A.由⎠⎛－a a |56x |d x ＝56⎠⎛－a a |x |d x ≤2020得⎠⎛－a a |x |d x ≤36，∴⎠⎛－a a |x |d x ＝
2⎠⎛0
a x d x ＝a 2
≤36，即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6. 二、填空题
7．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b
[f (x )＋g (x )]d x ＝________.
解析：⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a
b g (x )d x ＝3＋2＝5.
答案：5
8．化简⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＋⎠⎛34
f (x )d x ＋…＋⎠⎛99100
f (x )d x ＝________.
解析：连续运用⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b
f (x )d x (a <c <b )，原式＝∫1000f (x )d x .
答案：∫100
0f (x )d x
9．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 解析：由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－⎠⎛－π0
sin x d x .
答案：－⎠⎛－π0
sin x d x 三、解答题
10．已知⎠⎛01
e x d x ＝e －1，⎠⎛12
e x d x ＝e 2－e ，⎠⎛0
2
x 2d x ＝83，⎠⎛12
2x
d x ＝2ln2.求： (1)⎠⎛02
e x
d x ； (2)⎠⎛02
(e x ＋3x 2)d x ；
(3)⎠⎛12
(e x ＋1x )d x .
解：(1)⎠⎛02e x d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛12
e x d x
＝e －1＋e 2－e ＝e 2
－1.
(2)⎠⎛02
(e x ＋3x 2)d x ＝⎠⎛02
e x d x ＋⎠⎛02
(3x 2)d x ＝⎠⎛02
e x d x ＋3⎠⎛02
x 2d x ＝e 2－1＋8＝e 2＋7.
(3)⎠⎛12
(e x ＋1x )d x
＝⎠⎛1
2
e x d x ＋12⎠⎛12
2x
d x ＝
e 2
－e ＋ln2.
11．用定积分的意义求下列各式的值．
(1)⎠⎛－1
1 4－x 2
d x ； (2)⎠⎛－12 2x d x . 解：
(1)由y ＝4－x 2
可得x 2
＋y 2
＝4(y ≥0)， 其图象如图． ⎠⎛－11
4－x 2d x 等于所对圆心角为π3
的弓形面积CED 与矩形ABCD 的面积之和 S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π
3
－3，
S 矩形＝AB ·BC ＝23，
∴⎠⎛－11
4－x 2
d x ＝23＋2π3－3＝2π3
＋ 3.
(2)⎠⎛－1
2
2x d x 表示由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0以及y ＝2x 所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，
∴⎠⎛－1
2 2x d x ＝2×42－1×2
2
＝4－1＝3.
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 5
x ∈[－1，1x x ∈[1，π
sin x x ∈[π，3π]
，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知
⎠⎛－11x 5d x ＝0.⎠⎛π
3π
sin x d x ＝0(如图所示)
⎠⎛－1
3π
f (x )d x ＝⎠⎛－11
x 5d x ＋⎠⎛1π
x d x ＋⎠⎛π3π
sin x d x
＝⎠⎛1π
x d x ＝12(π2
－1)．。