2020年山东省临沂市河东区实验中学高二数学理期末试题含解析

2020年山东省临沂市河东区实验中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果P是等边△ABC所在平面外一点，且，△ABC边长为1，那么PA与底面ABC 所成的角是（）．
A．30°B．45°C．60°
D．90°
参考答案：
A
如图，易知为正三棱锥，面，
与底面所成的角，即为，
，，
∴，
故．
故选．
2. 任何一个算法都离不开的基本结构为（）
A．逻辑结构 B．条件结构 C．循环结构 D．顺序结构参考答案：
D
3. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：
B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数
C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
参考答案：
C
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．【解答】解：根据表中数据，得；
甲的平均数是==6，
乙的平均数是==6；
甲的中位数是6，乙的中位数是5；
甲的方差是=[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2，
乙的方差是=[3×（﹣1）2+02+32]=2.4；
甲的极差是8﹣4=4，乙的极差是9﹣5=4；
由以上数据分析，符合题意的选项是C．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题，是基础题目．
4. 把89化成五进制数的末位数字
为（）
A 1
B 2
C 3
D 4
参考答案：
B
略
5. 函数的单调减区间是（）
A．(0，2) B. (0，3) C.(0，5) D. (0，1)
参考答案：
A
6. 极坐标方程的图形是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式展开，再两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．
【解答】解：将原极坐标方程，化为：
ρ=sinθ+cosθ
ρ2=ρsinθ+ρcosθ
化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，
它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．
故选C．
7. 中心在原点，焦点在y轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
参考答案：
A
【分析】
设出双曲线的标准方程,可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为，进而求得和的关系，根据，求得和的关系，则双曲线的离心率可得.
【详解】设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为，
两条渐近线互相垂直，
，
，
，
，故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
9. 设a、b、c是空间中的三条直线，给出以下三个命题：
①若，，则；
②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
③若，，则.
其中正确命题的个数是（）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案：
B
【分析】
根据两两垂直可能存在的位置关系可判断①；在正方体中举出特例可判断②；根据空间平行线的传递性可判断③；
【详解】与可能垂直，还可能平行或异面，故①错误；
在正方体中，与共面，与共面，
但与不共面，故②错误；
由空间平行线的传递性可知③正确.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题.
10. 命题“存在实数,使”的否定是（）
（A）对任意实数, 都有（B）不存在实数，使x1
（C）对任意实数, 都有（D）存在实数，使
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足．当M、N运动时，下列结论中正确的是______ (填上所有正确命题的序号)．①平面平面；
②三棱锥的体积为定值；
③△DMN可能为直角三角形；
④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为．
参考答案：
①②④
【分析】
由，得到线段一定过正方形的中心，由平面，可得平面平面；
由的面积不变，到平面的距离不变，可得三棱锥的体积为定值；
利用反证法思想说明不可能为直角三角形；
平面与平面平行时所成角为0，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大.
【详解】如图：
当、分别是、上的动点（含端点），且满足，则线段一定过正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正确；
当、分别是、上的动点（含端点），过点作边上的高的长等于的长，所以的面积不变，由于平面，故点到平面的距离等于点到平面
的距离，则点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；所以②正确；
由可得: ,若为直角三角形，则一定是以为直角的直角三角形，但
的最大值为
，而此时
，
的长都大于
，故
不可能为直角三角形，
所以③不正确； 当、分别是、的中点，平面与平面平行，所成角为0； 当与
重合，与
重合，平面
与平面
所成锐二面角最大；
延长
角
于
，连接
，则平面
平面
，由于
为
的中点，
，所以
，且，故在中，为中点，为中点， 在中，
为
中点，为
中点，故，由于平面
，所以
平面
，则，
， 所以平面
与平面
所成锐二面角最大为
，故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查学生空间想象能力和思维能力，属于中档题.
12. 如图所示,,
,
,
,若
,那么
参考答案：
13. 某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h )，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.
在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S 的值是________．
参考答案： 6.42
14. 如图所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，
AC=1，BC=2，则AF ∶FC= 。

参考答案：
15. 设定义子在上的函数
满足
，若
，则
的值
为 参考答案：
2
16. 变量x与变量y之间的一组数据为：
y与x具有线性相关关系，且其回归直线方程为，则m的值为_____．
参考答案：
3
【分析】
先由数据计算出，代入回归直线方程可得，即可得到结论．
【详解】∵回归直线方程为0.7x+1.05，
又∵ 3.5，且回归直线过样本中心点（，
将 3.5代入0.7x+1.05，计算得到 3.5，
∴m＝4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查回归方程的应用，根据回归方程过样本中心是解决本题的关键．比较基础．
17. 过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．
参考答案：
8x+25y ﹣58=0
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：设A （x 1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，
∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．
∵M（1，2）恰为线段AB的中点，
∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，
∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．
故答案为8x+25y﹣58=0．
【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.
单价（万元）
销量（件）
（1）①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；
（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？
（附：）
参考答案：
（1）①依题意：，
∴回归直线的方程为.
②由于，则负相关，故随定价的增加，销量不断降低.
（2）设科研所所得利润为，设定价为，∴，∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.
19. 已知函数f（x）=（x﹣k）e x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当k=3时，求f（x）在区间[0，3]上的最小值．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出导函数，得到极值点，然后求解函数的单调区间即可．
（2）利用函数的单调性，直接求解函数在闭区间上的最小值即可．
【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣k+1）e x．
令f′（x）=0，得x=k﹣1，
所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1）；单调递增区间是（k﹣1，+∞）．
（2）k=3时，f（x）=（x﹣3）e x．
因为：f（x）在[0，2]单调递减，在[2，3]单调递增，
所以：f（x）在区间[0，3]上的最小值为f（2）=﹣e2
20. （14分）如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2=2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面．
（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；
（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直线AF与BE所成角的余弦值．
参考答案：
（1）解法一：由已知条件，，
所以，三角形中边上的高，………2分
于是.因为直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共
面，所以，三棱锥的高等于，于
是，………3分
. ………4分
解法二：由已知条件E为弧AB的右三等分点，
所以，，
………2分
因为直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面，所以，三棱锥的高等于，于
是，………3分
. ………4分
（2）解法一：设点是线段的中点，连接，
则由已知条件知道，，而，所以四边形是平行四边形，
因此，又平面，
于是，平面
，………6分
从而直线在平面上的射影是直线，
故就是直线与平面所成的角. ………7分由题设知，，
于是
=，………8分
所以，. ………9分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
………5分
平面ABE的一个法向量为………6分
设线DE与平面所成的角为，
则………8分
从而………9分（3）解法一：以点为坐标原点，，，分别为、、轴的正向
建立空间直角坐标系，则，，，，………10分于是，
，………………………11分设直线与所成角为，从而
直线与所成角的余弦值为………………14分
解二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
………10分………11分
设直线与所成角为，从而
直线与所成角的余弦值为 ………………………14分
21. (本小题12分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润． （1）求事件
：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（2）求的分布列及期望．
参考答案： 解：（Ⅰ）由
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，
元．
，
，
．
的分布列为
（元）．
略
21.(本小题满分12分)
某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）.
⑴分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式； ⑵该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润.
参考答案：
21.解：⑴设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元．由题意设，．
由图可知，∴．………………2分
又，∴．………………4分
从而，．………5分
⑵设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元．
…………7分
令，
则………9分
当时，，此时．
答：当产品投入万元，则产品投入万元时，该企业获得最大利
润. ………………12分
略。