用高等代数方法证明不等式-[开题报告]

毕业论文开题报告
数学与应用数学
用高等代数方法证明不等式
一、选题的背景、意义
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式的基本形式
1、在初等数学中，,,1,2,,,i i a b R i n ∀∈=L ，有
，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使120,1,2,,i i k a k b i n +==L
时，等式成立。

2、在积分学中，[](),(),f x g x C a b ∀∈，有，
，当且
仅
当存在不全为零的常数12,k k ，使12()()0k f x k g x +=时，等式成立。

柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

Hadamand 不等式是关于正定矩阵的行列式上界估计的不等式
Hadamand 不等式
2
22
111n n n
i i i i
i i i a b a b ===⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑∑∑[]
2
22()()()()b
b
a a
f x
g x dx f x dx g x dx
≤⋅⎰⎰
我们总约定：n n R ⨯为实数域R 上n n ⨯矩阵的集合，()1
n
ii i tr A a ==∑为
()n n ij A a R ⨯=∈的迹, det A 为A 的行列式，且用(),1,2,i A i n λ=L 表示A 在复数域上的所有特征根。

设()n n ij A a R ⨯=∈使正定矩阵，则A 的行列式1
det n
ii i A a =≤∏当且仅当A
是对角矩阵时，上式成立。

尤其应该指出的是，高等代数方法在证明不等式中有着独特的作用，参见[1]-[17]。

国内外研究现状、发展动态
本人以1999—2010十一年为时间范围，以“柯西不等式”、“柯西不等式的应用” “Hadamand 不等式“为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对可惜不等式的其研究进展主要分配在以下领域：
一、柯西不等式、Hadamand 不等式的证明 ； 二、柯西不等式的推广； 三、柯西不等式的应用举例；
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 【研究内容】 柯西不等式的证明 一、常规方法
配方（Lagrange 恒等式）法 数学归纳法 △判别法 向量内积法 二、新方法
基本不等式法 Jensen 总和不等式法 利用二次型正定
利用2维随机变量的数学期望 利用算术平均-几何平均不等式
柯西不等式的推论： 推论1：
设1212,n n a a a b b b L L 、、
、、、、为实数，则有
当且仅当1,2,,i i a b i n λ==L 时等号成立。

推论2：
设1212,n n a a a b b b L L 、、
、、、、为实数，则有
≤当且仅当1,2,,i i a b i n λ==L 时等号成立。

推广：
命题1：0,1,2,,;1,2,,;,,2,2,ij a i m j n m n N m n >==∈≥≥L L 则
12121111n
m m m
m n k n n n i i ik i i ik i i i i a a a m a a a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑L L 当且仅当111212122212:::::::::n n m m mn a a a a a a a a a ==L L L 时等号成立。

命题2：设2,0,0,1,2,,,2i i m a b i n n =>>=≥L ，则
()()()12121122()n n n n n
n n n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++L L L
当且仅当1212::::::n n a a a b b b =L L 时等号成立。

命题3：0,ij a >当1,2,,;1,2,,;i m j k k n ==++L L 令1ij a =既得
设01,2,,,,,,2,2,ij a i k m n k N m n k n >=∈≥≥≤L ，，，则
12121111n
m m m m n n n i i in i i in i i i i a a a a a a ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑L L 当且仅当111212122212:::::::::n n m m mk a a a a a a a a a ==L L L 时等号成立
命题4：10,1,2,,,i k a i m =>=L 令，于是则
111n
m m
n n i i i i a m a -==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑ 当且仅当12m a a a ===L 时等号成立。

柯西不等式在证明不等式中的应用
1、()2
2224,,,a b a b c a b c R a b c b c a a b c
+
-∈++≥+++++求证
2、111
1121 (23421231)
n
n n n -+-++->
-+
柯西不等式在求条件极值中的应用
2222,,,,,,m n x y R m n a x y b mx ny ∈+=+=+且求的最大值
149
,,,1x y z R x y z x y z
+∈++=++且，求的最小值
,,1a b c R a b c +∈++=，且
柯西不等式在解三角形方面的应用
1、2221αβγαβγ++=若,,为锐角，且满足cos cos cos
22232
ctg ctg ctg αβγ++≥
求证： 2、ABC ,,,R a b c △的三边长为其外接圆半径为
()2222
222
11136sin sin sin a b c R A B C ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭
求证： 3、2222A cos sin ,sin cos x y B x y θθθθ=+=+已知
2222A +B x y +≥求证：
Hadamand 不等式的证明则运用到代数的方法即算术-几何平均不等
式。

论文拟解决的主要问题
在本次论文中，我设定的拟解决的主要问题：
在解题中怎么分析题设条件及其形式特点,并把握处理规则,如何比较好地利用柯西不等式来提高解题的技巧，如何对柯西不等式的证明及其推广及多方面的应用做一个系统的归纳和总结。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
1、文献收集整理上，我将在中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群等互联网上查找相关论文；再到图书馆查找相关文献仔细阅读，争取做好毕业论文工作。

2、在具体解题中，我将采用了数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法，通过几个典型的例题，说明几个类型的问题。

四、论文详细工作进度和安排
第七学期第9周至第12周：收集相关资料，阅读相关文献。

第七学期第13周至第15周：在广泛阅读相关材料的基础上，深入分析问题，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，完成文献综述、开题报告，外文翻译。

第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，在导师的指导下，按照研究方案和路线撰写论文，完成论文初稿。

第八学期第4周至第10周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。

第八学期第11周至第12周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。

第八学期第13周至第14周:做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩
五、主要参考文献：
[1] 燕子宗,王章雄.柯西不等式的改进[J].荆州师范学院学报（自然科学报）.2000.8,23(2):9-11
[2] 陈广卿.一个有关凸函数不等式及其应[J].数学的实践与认识.1986.1,26(1):54-57
[3] 徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1984.5:126
[4] 陈亚萍.柯西不等式的妙用[J].黔南师专学报（自然科学版）.1996.2, 22(2):10-12
[5] 杨尚骏.高等代数重要习题讲解[M].安徽省教学学会,安徽大学数学系,1982.4:52-56
[6] 张远达.线性代数原理[M].上海教育出版社,1980.8:28-36
[7] 樊恽，钱吉林.代数学辞典[M].华中师范大学出版社，1994.12:411-421
[8] 丁卫平.关于正定矩阵一不等式的简单证明[J].大学数学. 2004.12,20(6):10-17
[9] 孙杰，王震.一个正定矩阵不等式定理的推广[J].枣庄师专学报. 1996.3,12(5):38-39
[10] 杨学技.不等式研究[M].西藏人民出版社, 2000.7:98-103
[11] 张禾瑞，赫镔新.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社，1983.5:25-32
[12] 叶伯诚.高等代数[M].青岛海洋大学出版社,1989.8:38-47
[13] 屠伯埙.矩阵秩的下界与方阵的非异性（I）[J].复旦学报（自然科学报）.1982.21(4):416-422
[14] 屠伯埙.矩阵秩的下界与方阵的非异性（III）[J].复旦学报（自然科学报）.1985.24(3):321-331
[15] 屠伯埙,李君如.方阵特征值之分布及其在稳定性理论中的应用[J].数学年刊A辑. 1987,8(6):659-663
[16] WolkowiczH，Styan GDH. More bounds for eigenvalues using trace[J]. Lin Alg Appl,1980.31:1-17
[17] Kress R,Ludwig de Vries H,Wegmann R.On nonnormal
matrcs[J]. Lin Alg Appl,1974,8:109-120。