第24章相似图形复习课件 第2课时

一.填空选择题:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
DE =BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
则△ AED与△ ABC的相似比为__1_:_2__.
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA
② ∵ △MAD∽ △MEA
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO ·EC.
分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： D
C
立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P
从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点
Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与
⊿ABC相似？
A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
分析：因△ABC∽△ABD，所以
D B
A E C
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE∥BC，且AD AB
AE =AC
△ADE与△ABC的相似比为1:2
2. 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
A
解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
D
E
∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
AD ()
DE =BC
A
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
D E
B
C
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
∴
AD AC
DE =BC
(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则△ ADE与△ ABC的相似比为______
ED EC ，只需证DE、EO、EC EO =ED
所在的三角形相似。
O E
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB
A
F
B
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴
ED EO
=EEDC，即
ED2=EO ·EC
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
2．定义
对应高,中线,角平分线的比 等于相似比
3．性质
对应周长的比等于相似比
4．判定 5．应用
面积比等于相似比的平方 1.AA 2.SAS 3.SSS 4.HL
∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
B
C
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
C
A
B
F
解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF
B
F
C
G
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： △ ADE∽ △ ABC （用两种方法证明）.
B
A E
D C
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°， F AD⊥BC,E是AC的中点，ED交 B D
AB的延长线于F.
求证: AB:AC=DF:AF.
A
E
C
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
D
则△ AED和△ ABC
A E
的相似比为＿＿＿.
B
C
2:5
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
5
4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上
取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=__2_c_m__.
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
② AM2=MD ·ME
B
C
D
B
E
A D
M
C
D
C
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，
O
DF=FB，DF交AC于E，
E
求证：ED2=EO ·EC.
A
F
B
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直
A
D
线分别交对角线BD、边BC、边
E
DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF·EG .
DC
A
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
D
E
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形___4____组。 B
C
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB.
A
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
∵ △DEF∽△ABC
D
E ∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm
4. 等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
A
解: ∵ △ABC ∽△BDC
D
∴
AC BC
BC =DC
B
C
即
18 6
6 =DC
∴ DC=2cm
5. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。
2A D3
7
E
3
B
C
解: ∵ △ADE∽△ACB
且
AE AD 1 AB =AC =3
∴
DE BC
AE =AB
1 =3
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。
F
AB BD ， 要证 AB DF
AC
AD
即证
BD AD
DF AF
AC
，
AF
BD
需证△BDF∽△DAF.
A
E
C
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
5. 如图，△ADE∽ △ACB,
A
2 D
3
则DE:BC=_1_:_3__ 。
7
E
3
6. 如图，D是△ABC一边BC B
C
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ D ）.
A. AC:BC=AD:BD
A
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
B
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
解: ∵ DE∥BC
A
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
DE
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
B
C
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
AB =AC
，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD ·ME
E
分析：已知中与线段有关的条件仅有
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴ BD DF
AD AF
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD ∴ AB BD
AC AD
∴
AB DF AC AF
小相
似 三 角
结形
1.线段成比例
1.比例的基本性质
2.合比性质
3.等比性质 4.平行线分线段成比 例定理及推论
BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF·EG .
A
D
E
B
F
C
G
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED
∴
EA EG
AB =DG
∴
EA EG
EF =EA
EF BE AB EA =ED= DG
分析：要证明 EA2 = EF·EG ，
EA EF 即 证明 EG =EA 成
∴ △ADC ∽ △DEC
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB
C
分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
A
D
B
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD
∴
AC AB AD =AC
∴ AC2=AD·AB
式 AC AD
AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用
两个角对应相等去判定两个三角形相
A 似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共
D
边，故是对应边MD、ME的比例中项。
B
M
C
证明：①∵∠BAC=90° M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE