函数的单调性

函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
x 1
函数的单调区间(二)利用函数的函调性求值
例1：如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4) 上单调递增，则实数a的取值范围是________．
例2：设函数
f x x x a
xa
若 a 0且在区间 1, 内单调递减,
求a的取值范围.
函数单调性的应用（三）解函数不等式
} ①f(x1)<f(x2)
②f(x)是增函数
x1<x2 D
例：(1) y=f(x)是R上的增函数，解不等式 f(1-x)≤f(1-x2)
(2)y=f(x)是[-1,1]上的增函数，解不等式 f(1-x)≤f(1-x2)
例例43：.若xR,且f(-x)=f(x),f(x)在[0,+)上是减函数,
若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为 减函数． 简称”同增异减”
4. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反
函数单调性的应用（一）单调性的证明
} ①x1<x2 D
②f(x1)<f(x2)
函数f(x)是增函数
ax
例：证明函数f(x)=