2019届四川省宜宾市高三第二次诊断性模拟考试数学(文)试题(PDF版)

宜宾市2019届高三第二次诊断性诊断测试题
数 学（文史类）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=
B A
A. {|24}x x <≤
B. ,3,4}2{
C. }4{3，
D. }2|{>x x 2．已知i 是虚数单位，复数i)1(i 2+-=z ，则z 的虚部为
A. 2
B. i 2-
C. i 2
D. 2-
3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A.
95 B. 53 C. 158 D. 32
4．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是
20x y ±=，则该双曲线的离心率是
A. C. 2 D.
5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1
B. 4:1
C. 5:1
D. 6:1
6．已知4.02=a ，2.09=b ，3
43）（=c ，则
A. c b a <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D. a b c <<
7．等比数列}{n a 的各项均为正数，已知向量a ),54a a （=，b ),67a a （=，且a ⋅b 4=，则
=+++1022212log log log a a a
A. 12
B. 10
C. 5
D.
5log 22+
1正视图
侧视图
第5题图
俯视图
8．已知ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且︒===30333B c b ，，，则AB 边上的
中线的长为
A.
273 B. 43 C. 23或273 D. 43或
273 9．函数1
1
ln sin )(+-⋅=x x x x f 的大致图象为
10．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面
，AB BC CA ===P ABC -的体积为
8
3
，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. π4 B.
3
π
16 C. π8 D. π16 11．已知直线0631=-+y x l ：与圆心为)1,0(M ，半径为5的圆相交于B A ,两点，另一直线
033222=--+k y kx l ：与圆M 交于D C ,两点，则四边形ACBD 面积的最大值为
A.2
5 B. 210 C. )12(5+
D. )12(5-
12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取
值范围是
A. )1,(-∞
B. ),1(∞+
C. ]1,0(
D. )1,0(
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．已知y x ,满足11y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤，
≤，≥，则y x z +=2的最大值为 .
14．若数列{}n a 中，若13n n a a +=+， 2826a a +=，则12a = ．
C D
F
B
E F
D
M
第18题图
15．函数)6
π
2cos()3π2sin()(-++=x x x f 的单调减区间为 .
16．已知直线l 过点）
，（30M ，l 与抛物线2x y =交于F E 、两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点),0(t P ，使得PEF ∆的内心在y 轴上，则实数=t .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：共60分. 17．（12分）
设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为）
，（012
π
，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124
π2
+.
（1）求ω和ϕ的值； （2）若2
π
0(4312π2
(<<=+
αα
）f ，求)4πcos(+α的值．
18．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使得C A ,两点重合于点M .
（1）求证：EF MD ⊥； （2）求三棱锥EFD M -的体积.
19. （12分）艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
⑴请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； ⑵请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
⑶建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数.
6.48
≈； 46.2,=
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中， 1
2
1
()()
ˆ,()n
i
i i n
i
i x
x y y b x
x ==--=-∑∑
ˆˆ.a
y bx =-
20．（12分）
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设N 是圆9:22=+y x E 上位于第四象限的一点，过N 作圆E 的切线0l ，与曲线C 交于B A ,两点．求证FAB ∆:的周长为10.
21．（12分）
设函数12ln )(2+++=ax x x x f ． （1）当2
3
-
=a 时，求)(x f 的极值； （2）若)(x f 的定义域为),2+∞+a （，判断)(x f 是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；否则，
第19题图
请说明理由．
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()3
π
ρθ-=，l 与x 轴交于点M ．
（1）求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；
（2）设l 与C 相交于,A B 两点，若||,||,||MA AB MB 成等比数列，求p 的值．
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()f x x a =-．
⑴ 若关于x 的不等式()0f x b +<的解集为)3,1(-，求,a b 的值； ⑵ 若()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值．
宜宾市2019届高三第二次诊断性考试
数 学（文史类）试题参考答案
注意：
一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．[[]
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13.3； 14. 34； 15. Z k k k ∈+
+],12
7,12[π
πππ； 16.3- 三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为
124
2
+π
得41212||2
2πωπ+=+）（
∴2=ω………………………………………………………………………………………3分
函数)sin(3(ϕω+=x x f ）的图象的一个对称中心为）
，（012
π
∴Z k k ∈=+⨯
,12
2πϕπ
………………………………………………………………5分
22
π
ϕπ
<
<-
∴6π
ϕ-
=
………………………………………………………………………………………6分
(2) 由（1）知：)62sin(3(π
-=x x f ）
∴43
sin 3]6
)12
2
(
2sin[312
2
(
=
=-
+
=+
απ
π
α
π
α
）f
x
908070605040302010
1 2 3 4 5 6 7 8 9
∴41
sin =
α …………………………………………………………………………8分
20π
α<
< ∴415
cos =
α ………………………………………………………………………………10分 ∴82
30411522)cos sin 22)4
cos(-=
-⨯=-=
+
ααπ
α（
…………………………12分 18．解：（1）证明： 在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，BC CD ⊥
∴在三棱锥DEF M -中MF MD ⊥,ME MD ⊥且M MF ME = ∴MEF MD 面⊥
∴EF MD ⊥ ……………………………………………………………………6分
（2） F E 、分别是边长为2的正方形ABCD 中BC AB 、边的中点
∴1==BF BE
∴2
11121=⨯⨯=
=∆∆BEF MEF S S ∴由（1）知MD S V MEF DEF M ⋅=∆-3
1 22
13
1⨯⨯=
3
1
=
…………………………………………………………………………12分 19.
解：（1）如右
图………………………………………………………………………………………2分
具有强线性相关关系………………………………………………………………………………6分
48.2405.7+=∴Λ
x y ………………………………………………………………………………10分
当9=x 时，93.8747.24905.7=+⨯=y
∴预测2019年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人……………………………………12分
20. （12分）解：⑴由题意得
6分
∴FAB ∆的周长为定值.10……………………………………………………………………12分
法二：设),,(),,(2211y x B y x A 由题知0,0<>m k
设直线m kx y m +=:与圆922=+y x 相切
02252550)925(222=-+++m kmx x k
∴FAB ∆的周长为定值10
21.解：（1） 0>x ∴定义域为），（∞+0
当23-
=a 时函数），（013ln )(2>+-+=x x x x x f ，321)(-+='x x
x f 03210)(=-+='x x x f ，即
令， 2
1
1==x x 或解得 单调递增，单调递增，在，，在)121
(),1()210()(易知+∞x f
4
1
21ln 2111)(-=
-=处取得极大值，在处取得极小值在函数x x x f ………………………5分 （2））
（01
22221)(2>++=++='x x
ax x a x x x f 令0)(='x f 即01222=++ax x 令122)(2++=ax x x g ，则对称轴2
a
x -
= 02≥+a ∴2-≥a …………………………………………………………6分
① 当22+≤-
a a 1)2(2)2(2)2(2++++=+a a a a g
091242≥++=a a 恒成立
∴)(x f 在），（∞++2a 无极值点. ……………………………………………………………7分
② 当22+>-
a a 1)2
(242)2(2+-+⨯=-a
a a a g 122+-=a ……………………………………………………9分 当012
2
≥+-a 时，0)('≥x f 恒成立，)(x f 无极值. ……………………………………10分
当0122
<+-a
存在)2,2(1a a x -+∈，使得0)(1=x f ，存在)2
(2∞+-∈，a
x ，使得0)(2=x f
01)2(2)2(2)2(2
>++++=+a a a a g ， 01)2
(242)2(2<+-+⨯
=-a
a a a g 当+∞→x 时，0)(>x g
∴当),2(1x a x +∈时，0)('>x f ，当)(21x x x ，∈时，0)('<x f ，当)(2∞+∈，x x 时，0)('>x f ，
12分
22.（10
分）解：⑴由2sin()3
π
ρθ-=
得，sin cos y ρθθ==+
∴ l
的直角坐标方程y 令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-, ∴点M 的极坐标为(1,)π…………………………5分
⑵ 由⑴知l 的倾斜角为3π,
参数方程为112,2
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px =
得23480,t pt p -+=121248,33
p p
t t t t ∴+=
=
22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q 24815
(
)5,332
p p p ∴=⨯∴=…………………………………………………………………10分 23.（10分）解：由()0f x b +>得，,x a b -<-
0b ≥当时，不合题意；
11
0,,32
a b a b a b x a b a b b +=-=⎧⎧<+<<-∴⎨⎨
-==-⎩⎩当时，由已知得 1,2a b ==-综上，…………………………………………………………………5分
⑵ 1|)1(||||1|)(≥--≥+-=x x x x x g
当0)1(≤-x x ，即]1,0[∈x 时，)(x g 有最小值1.………………………………10分。