湖北省部分重点中学2013-2014学年上学期高二数学期中试卷 理 新人教A版

某某省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期中考试
数 学 试 卷(理)
一、选择题
1、通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).
A ．样本的结果就是总体的结果
B ．样本容量越大，可能估计就越精确
C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D ．数据的方差越大，说明数据越稳定
2、下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
（A ） 1000N
P =
（B ） 41000N
P =
（C ） 1000M
P =
（D ） 41000
M
P =
3、已知x 、y 取值如下表:
从所得的散点图分析可知:y 与x 线性相关,且ˆ0.95y
x a =+,则a =（ ） A ．1.30
B ．1.45
C ．1.65
D ．1.80
4、函数[]2
()2155f x x x x =+-∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是
（ ）.
Ａ．
320
Ｂ．
23
Ｃ．
310
Ｄ．
45
5、对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为1P ，乙通过测试的概率为2P ，则甲、乙至少1人通过测试的概率为（ ）
A ．21P P +
B ．21P P
C ．21P P 1-
D ．)P 1)(P 1(121---
6、一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）
A ．41
B ．31
C ．21
D ．5
2
7、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
8、设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则；
③若，，则；④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ.
其中正确命题的序号是 ( ). A ．①和④ B ．①和② C ．③和④ D ．②和③
9、圆心为C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足O P →·O Q →＝0，则圆C 的方程为( )．
A.21()2x +＋(y －3)2＝52
B. 21()2x +＋(y －3)2
＝252
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2
＝54
E
F D I
A H
G
B
C E
F D A
B
C
侧视 图1
图2
B
E
A ．
B
E
B ． B
E
C ．
B
E
D ．
10、设a, b 是方程2
sin cos 10x x θθ⋅+⋅-=的两个不等实根，那么过点A （a , a 2
）和B （b ,
b 2）的直线与圆x 2+y 2
=1的位置关系是（ ）
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、随θ的值而变化 二、填空题
11、下图l 是某校参加2013年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人
数依次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[)155150，
内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定X 围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含
160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 _
12、书架上有10本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率为。

13、甲，乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为。

14、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折后连结BD ，构成三棱锥D-ABC,若棱BD 的长为
2
2
a ．则此时三棱锥D-ABC 的体积是 15、设集合A ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ，y ⎪⎪⎪
m
2
≤x －2
2
＋y 2≤m 2
，x ，y ∈R
，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值X 围是________．
三、解答题
16、（本小题满分12分）某中学从参加高一年级上期期末
考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，求选到第一名学生的概率（第一名学生只一人）. 17、（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，
6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为b a ,. （Ⅰ）求直线05=++by ax 与圆12
2
=+y x 相切的概率；
（Ⅱ）将5,,b a 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
18、（本小题满分12分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点.
⑴ 求证：BD AE ⊥；⑵ 求证：//AC 平面1B DE ；⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.
19、（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB AA 21=，N 是1CC 的中点，M 是线段1AB 上的动点（与端点不重合），且1AB AM λ=. (1)若2
1
=
λ，求证:1AA MN ⊥;
(2)若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为θ，求θsin 的最大值.
20、(13分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2
＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． (1)若Q(1,0)，求切线QA ，QB 的方程．(2)求四边形QAMB 面积的最小值．
(3)若|AB|＝42
3
，求直线MQ 的方程．
21(14分).在xOy 平面上有一系列的点111222(,),(,),
,(,)
n n n P x y P x y P x y , 对于正整数
n ，点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图像上，以点n P 为圆心的圆n P 与x 轴相切，且圆n P 与圆
P n+1又彼此外切，若11x =，且1.n n x x +< （1）求证：数列1n x ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）设圆n P 的面积为n S ，,n n T S +求证：2n T <
答案（理）
1、B
2、D 3B 4、A 5、D 6、C 7、A 8、B 9、C 10、B 11、8<i （或7≤i ） 12、
22713、716
14、246a 3
15、12≤m ≤2＋ 2
16、解：（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=,
所以，抽样学生成绩的合格率是75% . .............6分 （Ⅱ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3. ―――9分 所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人， 选到第一名的概率1
36
P =
. .............12分 17、解：（Ⅰ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．
因为直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2
=1相切，所以有
1=即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝.
所以，满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况．
所以，直线ax ＋by ＋c=0与圆x 2
＋y 2
=1相切的概率是
21
3618
= --------6分 （Ⅱ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．
因为，三角形的一边长为5 所以，当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种
当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种
当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5）， （5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种.
所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为147
3618
=． ----------- 12分 18、
【证明】连接BD ，AE . 因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥，
因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C =， 故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥. ----------- 4分 ⑵. 连接1AC ，设1
1AC B D G =，连接GE ，
则G 为1AC 中点，而E 为1C C 的中点，故GE 为三角形1ACC 的中位线，
//AC GE ，GE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，故//AC 平面1B DE .----------- 8分
⑶. 由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离， 故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，
而111
11121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，三棱锥1A B DE -的体积为23.- 12分
19、解析：设ＡＢ＝１，以Ａ原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＡ１为ｚ轴，建立空间直角系,则
1113
(1,0,2),(,0,2),(1,0,0),((0,0,2)22
B M B N A λλ…（1分）
(1)当21=
λ时,)1,0,2
1(M ,此时3MN =,1(0,0,2)AA =,…（3分）
因为10MN AA ⋅=，所以1MN AA ⊥.………………（5分）
(2)设平面ABN 的法向量),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
AN n AB n ，
即⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=02
30
z y x ，取)3,2,0(=n 。

而)21,23,
21(λλ--=MN ，………………（7分）〉〈=∴n MN ,cos sin θ2
557322
+-⋅=
λλλ2
1215573
2⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=
λλ…………（9分）
10<<λ ，11
>∴
λ
，故sin =
=
θ………（11分） 当且仅当
451
=
λ
，即5
4
=λ时，等号成立. …………………………………………（12分） 20、解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|
m 2
＋1
＝1，∴m ＝－4
3或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.………（3分）
(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2
－|MA |2
＝|MQ |2
－1≥|MO |2
－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.…………………………………（6分） (3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2
＝|MP ||MQ |， 即1＝13
|MQ |，∴|MQ |＝3.∴x 2＋(y －2)2
＝9.
设Q (x,0)，则x 2
＋22
＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，
∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.……………………（13分）
21、（1）证明：
n P 的半径为2n n y x =，1n P +的半径为2
11n n y x ++=，………1分
n P 和1
n P +两圆相外切，则22
11,n n n n P P x x ++=+…………………………2分
即22
1.n n x x +=+………………3分
整理，得22
11()(2).n n n n x x x x ++-=………………5分
又10,n n x x +<<所以 112,n n n n x x x x ++-=………………………………6分 即
111
2.n n
x x +-=故数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列 ………………………………7分 （2）由（1）得
1112(1)21,n n n x x =+-=-即121
n x n =-， ………………8分
又24
,n n n S y x ππ== 2
1
,(21)
n =-………………………9分
法（一）：n n T S =+
2222111
1
135(21)n ⎤=+++
+
⎢⎥-⎦
111
13153
(21)(23)n n ⎤<+++
+
⎥⋅⋅--⎦
………………11分 1111111
1()()(
)213
352321n n ⎫⎡⎤=+-+-+
+-⎬⎢⎥--⎣⎦⎭
……13分
11
122(21)n ⎤=+-<⎥-⎦
………………………………14分
法（二）：
2211
(21)441
n S n n n ==--+
2144n n <-211
(1)n n n n ==--………………10分
11
(
)(2)4
1n n n
<
⋅-≥-…………………………………………11分
n n T S ∴+
1111111
1()()(
)412
231n n ⎧⎫
⎡⎤<+-+-+
+-⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎭
⎩……………12分 1111
1()(1)414n ⎡⎤
=+-<+⎢⎥⎣⎦……………………………13分
=
<=…………………………………………14分。