2019年高考数学(理)专题06-函数与方程﹑函数模型及其应用(命题猜想)

【考向解读】
求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．
【命题热点突破一】函数零点的存在性定理
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0）
B. [0，+∞）
C. [–1，+∞）
D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.
f x的单调性；
（1）讨论()
f x有两个零点，求a的取值范围.
（2）若()
【答案】（1）见解析；（2）()0,1.
（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， ()f x 至多有一个零点.
（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.
①当1a =时，由于
，故()f x 只有一个零点；
②当()1,a ∈+∞时，由于
，即
，故()f x 没有零点；
③当()0,1a ∈时，，即.
又
，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.
设正整数0n 满足
，则.
由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.
综上，
a 的取值范围为()0,1.
【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则函数y ＝f(x)
－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4
(2)已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3，x≤a ，
x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是
________．
【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）
【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.
（2）令φ（x ）＝x 3（x≤a ），h （x ）＝x 2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x 2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a 3>a 2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）. 【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．
【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x 2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m
x －2
＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套． (1)求m 的值；
(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝m x －2
＋4（x －6）2，得m
2＋16＝21，解得m ＝10.
（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝
10
x －2
＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣
⎡⎦
⎤10x －2
＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x 3－56x 2＋240x －278（2<x<6），从而f′（x ）＝12x 2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f′（x ）＝0，得x ＝10
3（x ＝6舍去），且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝⎛⎭⎫103，6上，f′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝10
3是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝10
3
≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为
3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.
【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．
【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. （1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；
（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
【解析】解：（1）由题意知，当0<x≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－1
3，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.
（2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪
⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20
时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x 2－200x ）＝－1
3
（x －100）
2
＋
10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 000
3
≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【高考真题解读】
1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的
取值范围是
A. [–1，0）
B. [0，+∞）
C. [–1，+∞）
D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数
的图像，
在y 轴右侧的去掉，再画出直线
，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程
有两个解，也就是函数
有两个零点，此时满足
，即
，故选C.
2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】(1). (1,4) (2).
【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集
是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

3. （2018年江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以
，
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】
由题可知，或
解得,或
故有3个零点。

零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，
3.
①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.
【答案】1
Q ；
2.p
【解析】作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是1Q ， 分别作123,,B B B 关于原点的对称点'''123,,B B B ，比较直线
的斜率（即为第i 名工人在这一
天中平均每小时加工的零件数），可得22
A B '最大，所以p 1，p 2，p 3中最大的是2.p 2.【2017课标3，理15】设函数则满足的x 的取值范围是_________.
【答案】1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
写成分段函数的形式：，
函数()g x 在区间
三段区间内均单调递增，
且：
，
据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
. 3.【2017课标1，理21】已知函数.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.
【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，
，
（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-. 当
时， ()0f x '<；当
时， ()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递
减，在()ln ,a -+∞单调递增.
（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， ()f x 至多有一个零点.
（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.
①当1a =时，由于
，故()f x 只有一个零点；
②当()1,a ∈+∞时，由于
，即
，故()f x 没有零点；
③当()0,1a ∈时，，即.
又
，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.
设正整数0n 满足
，则.
由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.
综上，
a 的取值范围为()0,1.
1.【2016高考新课标1卷】函数
在[]2,2-的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D
2.【2016高考山东理数】已知函数其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方
程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
，解得3m >。

3、【2016高考上海理数】已知点(3,9)在函数
的图像上，则
.
【答案】2log (x 1)- 【解析】将点（3，9）代入函数中得2a =，所以
，用y 表示x 得
，
所以
.
4.【2016高考上海理数】已知a R ∈，函数.
（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程
的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1
[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
【答案】（1）．（2）
．（3）2
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
【解析】
（1）由，得
1
51x
+>， 解得．
（2），，
当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，11
4
x a =
-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当
1
1
0a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当
2
1
0a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为
．
（3）当120x x <<时，
，，
所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．
即，对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立． 因为0a >，所以函数
在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，1
2
t =
时，y 有最小值
3142a -，由31042a -≥，得23
a ≥．
故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．
5.【2016高考上海理数】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A 、①和②均为真命题
B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题，②为假命题
D 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
, ,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得
,
也有
∴②正确
故选D.
【答案】. 【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为2，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤->≤a
b a b a
b 31
有解，∴23a b a <<，从而1>a ；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a
b a b 31有解，从而
0<a ，综上，实数a 的取值范围是
. 7.【2015高考浙江，理10】已知函数，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．
【答案】0，3-22.
【解析】，当1≥x 时，，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.学-科网
8.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）
满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

若该食品在0C 的保鲜时间设计192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是 小时。

【答案】24
【解析】
由题意得：
，所以33x =时，. 9.【2015高考上海，理10】设()1f
x -为，[]0,2x ∈的反函数，则的
最大值为 ．
【答案】4。