高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结〔必修五〕
对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。

同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。

对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。

同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。

人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。

必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。

高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。

虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。

下面具体对必修五常考的型作一分解：
解三角形
解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。

考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。

知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。

正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===〔R 为AB
C ∆的外接圆半径〕 余弦定理：C ab c b a cos 22
2
2
=-+，B ac b c a cos 22
2
2
=-+，A bc a c b cos 22
2
2
=-+
〔变形后〕
C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cb
a b c cos 22
22=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆。

知识点分解：
〔1〕两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。

〔2〕两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。

〔3〕等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。

〔4〕知道三边的关系用余弦定理。

〔5〕求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式。

〔6〕正余弦定理与其他知识的综合。

必须具备的知识点：三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。

可能综合的知识点：三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。

解三角形常考的题型有： 考点一 正弦定理的应用
例：在ABC ∆中，
60,10,15===A b a ，则=B cos
答案：
3
知识点：正弦定理和三角同角关系
思路：〔方法不唯一〕利用正弦定理先求出B sin ，然后利用同角三角函数的关系可求出B cos 。

考点二 余弦定理的应用
例：在∆ABC 中，已知32=a ，26+=c ， 60=B ，求b 的值
答案：22=b 知识点：余弦定理
思路：直接利用余弦定理B ac b c a cos 22
2
2
=-+，即可求出b 的值。

考点三 正、余弦定理的混合应用
例：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

假设2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 答案：
π3
2
知识点：正余弦定理
思路：〔方法不唯一〕先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角C 。

考点四 三角形的面积问题
例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，假设B C A 2=+，且,3,1=
=b a 求ABC S ∆的值
答案：
23
知识点：三角形的面积
思路：先求出B ，然后由三角形面积公式即可。

考点五 最值问题
例：在ABC ∆中，60,B AC ==，则2AB BC +的最大值为 答案：72
知识点：正弦定理和三角恒等变换
思路：〔方法不唯一〕先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。

考点六 三角形形状的判断
例：已知ABC ∆中，B b A a cos cos =，判断三角形的形状 答案：等腰三角形或直角三角形 知识点：正弦定理和二倍角公式
思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。

考点七 三角形个数的判断
例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，假设
30=A ，且,3,1=
=b a 求c 的值
答案：1或2 知识点：正余弦定理
思路：分类讨论
60=B 或
120=B 两种情况。

考点八 基本不等式在解三角形上的应用
例：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，假设2,4
==b a π
，求ABC ∆的面积的最大值。

答案：12+
知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式
思路：先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。

例：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=，求tan()A B -的最大值。

答案：
34
知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式
思路：先通过正弦定理，得到B A tan 4tan =，然后正切差公式，最后应用基本不等式。

考点九 平面向量在解三角形上的应用
例：在ABC ∆中，6,AC AB ⋅=ABC ∆的面积33A 答案：
3
π 知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式
思路：先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。

例：在ABC ∆中，边c 所对的角为C ，向量)2
sin ,2(cos ),2sin ,2(cos C
C n C C m -==，
且向量m 与n 的夹角是3π。

求角C 的大小 答案：3
π
=
C
知识点：向量中的坐标运算和余弦公式
思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。

考点十 数列在解三角形上的应用
例：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，假设a b c ，，依次成等比数列，角B 的取值范围. 答案：]3
,
0(π
知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式
思路：先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本不等式求最值。

考点十一 解三角形的实际应用
例：如图，D C B A 、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，D B 、为两岛上
的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为
75，
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为 60，km AC 1.0=。

试探究图中D B 、间距离与另外哪两点
间距离相等，然后求D B 、的距离〔计算结果精确到km 01.0，414.12≈，449.26≈〕
答案：0.33km
知识点：正弦定理和三角形的相关知识
思路：先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。

考点十二 解三角形的综合题型
例：已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c +--= （1）求A 〔2〕假设2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。

答案：(1)
60=A (2)2b c ==
知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式
思路：〔1〕先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完之后，利用三角恒等变换求出A 。

〔2〕利用角A ，再通过余弦定理，就可以求出,b c 的值。

数列
数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为10-17分。

考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查。

以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。

知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列
知识点分解：
〔1〕递推公式：建立前n 项和n S 和n a 的关系。

〔2〕等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前n 项和n S 等问题。

〔3〕等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前n 项和n S 等问题。

〔4〕数列求通项公式的几种方法。

〔5〕数列求和的几种方法。

〔6〕数列的综合问题
必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。

可能综合的知识点：数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。

数列的常见题型：
考点一 n S 和n a 的关系⎩⎨
⎧=≥-=-121
1n a n S S a n n n
例：数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知2n S n =，求8a 的值，以及数列{}n a 的表达式。

答案：158=a ，12-=n a n 知识点：递推公式
思路：已知项数n ，求具体值；未知项数n ，求表达式。

考点二 等差数列
1等差数列的公差和通项公式
d n a a n )1(1-+=，〔等差数列的通项公式，知三求一；如果已知d a ,1，那么求的是数列}{n a 的通项公式〕 d m n a a m n )(-+=〔等差数列通项公式的变形公式〕
例：已知等差数列}{n a 中，3,131-==a a ,求数列的公差d 以及数列}{n a 的通项公式； 答案：2-=d ，n a n 23-= 知识点：等差的公差和通项公式
思路：利用数列的通项公式先求出公差d ，然后求数列}{n a 的通项公式。

2 等差数列的性质
q p m n +=+〔都是正整数〕，q p m n a a a a +=+，q p n +=2〔都是正整数〕，q p n a a a +=2，n a 是p a 和q a 的等差中项。

例：已知等差数列}{n a 中，7,195-==a a ,求131a a +以及7a 的值 答案：6131-=+a a ，37-=a 知识点：等差数列的性质
思路：等差数列的性质和等差中项可得到。

3 等差数列的求和
2
)1()(211d
n n na a a n S n n -+
=+=
〔知三求一，如果已知d a ,1，那么求的是n S 的表达式〕， 2
1+=n n na S 〔n 为奇数〕或m m a m S )12()12(-=-。

例：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设36324S S ==，，则9S 的值 答案：63
知识点：等差数列的求和
思路：〔方法不唯一〕通过等差数列前n 项和为n S ，先求出1a 和d ，然后再利用等差数列前n 项和，求9S 。

4 等差数列求和中的最值问题
n d
a n d d n n na S n )2
(22)1(121-+=-+
=类似于二次函数，
当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值。

例：设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知2,93-==d a ，求n S 中的最大值 答案：49.
知识点：等差数列的和或二次函数的知识
思路：先利用等差数列的前n 项和n S 表达式，然后利用二次函数的知识求最大值。

例：设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知2,93=-=d a ，求n S 中的最小值 答案：-36
知识点：等差数列的和或二次函数的知识
思路：先利用等差数列的前n 项和n S 表达式，然后利用二次函数的知识求最小值
5 等差数列的证明
d a a n n =--1〔等差数列的定义表达式〕
例：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，109,1011+==+n n S a a ，求证：}{lg n a 是等差数列。

答案：首项为1，公差也为1的等差数列 知识点：对数函数的知识和等差数列
思路：先求出1lg 1=a ，然后利用等差数列的定义表达式d a a n n =--1，证明等差数列。

6已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求数列{n a }前n 项和n S 。

答案：n n S n 92-=或n n S n 92
+-=
知识点：解方程和等差数列的和
思路：先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求前n 项和n S
考点三 等比数列
1 等比数列的公比和通项公式
)0(11≠⋅=-q q a a n n 〔等比数列的通项公式，知三求一；如果已知q a ,1，那么求的是数列}{n a 的通项公式〕
m n m
n n
q a a --=〔等比数列通项公式的变形公式〕 例：已知等比数列}{n a 中，8,231==a a ，求等比数列的公比q 和数列}{n a 的通项公式；
答案：2±=q ，n
n a )2(±=
知识点：等比数列的公比和通项公式 思路：利用等比数列的通项公式即可求出。

2等比数列的性质
q p m n +=+〔都是正整数〕
，q p m n a a a a ⋅=⋅，q p n +=2〔都是正整数〕，q p n a a a ⋅=2
，n a 是p a 和q a 的等比中项。

例：设等比数列{n a }，已知1893=⋅a a ，求6a 值 答案：23± 知识点：等比中项 思路：利用等比中项即可。

例：设等比数列{n a }，已知12,373==a a ，求654a a a ⋅⋅值 答案：216
知识点：等比数列的性质 思路：利用等比的性质即可。

3等比数列求和
⎪⎩⎪⎨⎧=≠-⋅-=--=)1()
1(11)(1
11q na q q
q
a a q q a a S n n n 〔用错位相减法推导〕 例：设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44
S
a = 答案：15
知识点：等比数列的求和
思路：利用等比数列的求和和通项公式即可。

4 等比数列的证明
q a a n n
=-1
〔等比数列的定义表达式〕 例：在数列}{n a 中，11=a ，n n n a a 321+=+，设n n n a b 3-=，证明：数列是}{n b 等比数列。

答案：数列}{n b 是公比2，首项-2的等比数列 知识点：等比数列的定义
思路：先化解，再利用等比数列的定义来证明。

5 等比数列的综合
例：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*
n N ∈，其中k 是常数，假设对于任意的*
m N ∈，m a ，2m a ，
4m a 成等比数列，求k 的值。

答案：0=k 或1=k
知识点：等比数列的等比中项和递推公式
思路：先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项，即可求出。

考点四 等差和等比数列的综合问题
例：已知实数列{}n a 是等比数列,其中5547,1,,1a a a a +=且成等差数列，求数列}{n a 的通项公式。

答案：n n a -=72
知识点：等比数列的通项公式和等差中项
思路：先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中项，即可求出。

例：等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==，假设35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

答案：n n S n 2262
-=
知识点：等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路：通过等比数列的知识来转化为等差数列，即可。

考点五 求数列的通项公式
1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式〔上述已有〕
2 累加法 形式为：)(1n f a a n n +=+，利用累加法求通项，)1()2()1(1-++++=n f f f a a n
例：已知数列{}n a 满足n a a n n +=+1，11=a 求数列{}n a 的通项公式。

答案：2
2
2+-=n n a n
知识点：累加法求数列的通项公式
思路：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1则112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ，即可。

3 累乘法 形式为：
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法求数列通项，112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- 。

答案：n
a n 32
=
知识点：累加法求数列的通项公式 思路：由条件知
1
1+=
+n n
a a n n ，n n n a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-13423121，即可。

4 待定系数法
（1）q pa a n n +=+1〔其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq 〕，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再转化为等比数列求通项公式。

（2）n n n q pa a +=+1〔其中q p ,均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq 〕。

〔或1n n n a pa rq +=+,其中r q p ,,均为常数〕等式两边同除以n
q 得，
111+⋅=-+n n
n n q
a q p q a ，假设q p ≠，再利用上述的方法，转化为等比数列的形式，利用等比数列通项公式；假设q p =，将转化为等差数列的形式，再利用等差数列求通项公式。

例：已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 答案：321-=+n n a
知识点：待定系数法求数列的通项公式
思路：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21λλ+=++n n a a ，然后利用等比数列求通项公式。

例：已知数列{}n a 中，31=a ,n
n n a a 321+=+，求n a 。

答案：n
n n a 23+=
知识点：待定系数法求数列的通项公式
思路：〔方法不唯一〕根据n n n a a 321+=+，两边除以n
3得：
13231+=+n
n
n n a a ，令13-=n n
n a b ，转化成上面例题的
形式，然后再利用上面例题的方法求解。

5 配凑法〔构造法〕：建立等差数列或等比数列的形式
例：已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式；
答案：12-=n n a 知识点：构造成等比数列
思路：〔方法不唯一，还可以利用特征根的方法求解〕构造等比数列，或利用特征根的方法，求出两根，
2132,n n n a a a ++=-)(2112n n n n a a a a -=-+++，然后利用等比数列的知识求解。

6 递推法
⎩⎨⎧≥-==-2
111n S S n a a n n n ，解决既有n a 又有n S 的问题。

例：设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+，
求数列{}n a 的通项公式。

答案：2(31)2n n a n -=-⋅
知识点：利用递推公式，再利用等比数列的通项公式 思路：先利用递推公式化解，然后等比数列求通项公式。

7 不动点法、换元法，数学归纳法等求通项公式〔内蒙古高考现在已经不是重要的方法了〕
考点六 数列求和
1 公式法、等差数列和等比数列求和〔略〕
2 裂项相消法 裂项相消的常见形式：111)1(1+-=+n n n n ，
1111
()(2)22n n n n =-++，
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 。

例：已知数列{}n a 满足
1111
,,,,
,
132435
(2)
n n ⨯⨯⨯+求数列{}n a 的求和n S 。

答案：)
2)(1(23243+++-=
n n n S n
知识点：利用裂项相消求数列的和 思路：利用)2
1
1(21)2(1+-=+=
n n n n a n 求和即可。

例：已知数列{}n a
满足：n a =，
求数列{}n a 的求和n S
答案：11-+=n S n
知识点：分母有理化，利用裂项相消求数列的和
思路：进行分母有理化得，n n a n -+=1，然后裂项相消求和。

3 错位相减法：〔课本上推导等比数列求和公式的方法〕由等差数列和等比数列构成的新数列，用错位相减。

例：已知数列{}n a 满足：n n n a 2⋅=，求数列{}n a 的求和n S 答案：22)1(1+⋅-=+n n n S 知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。

例：设数列{}n a 满足2
1
123333
3n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ，设n n
n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

答案：1113
33244
n n n n S ++∴=
⋅-⋅+⋅ 知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。

4 分组求和法〔将新数列分成已学过的数列，然后求和〕
例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a n
n 32+=，求n S 的表达式
答案：2
2
33221-++=+n n S n n
知识点：利用等差数列和等比数列求和
思路：根据数列的特点，等差数列和等比数列的求和公式可以得到。

5 相加求和法、数学归纳法求和〔内蒙古高考现在已经不是重要的方法了〕
考点七 数列中的不等式问题
例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ，假设1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取
值范围。

答案：[)9-+∞，
知识点：递推公式，构造法求n a 的通项公式，数列的单调性。

思路：通过递推公式，构造法求n a 的通项公式，再利用数列的单调性求a 的取值范围。

考点八 数列中的放缩法
例：已知数列}{n a ，满足13,111+==+n n a a a ，证明123
111
13
2
n a a a a +
+++
< 答案：如下
知识点：发缩放证明数列中的不等式
思路：由构造法求n a 的通项公式，然后利用放缩法
1-3
1
1-321n n n a <=，转化为等比数列求和，最后证明不等式。

考点九 数列中的不等式问题〔最值问题，n 是正整数〕
例：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设25,01510==S S ，则n nS 的最小值为 答案：-49
知识点：等差数列的求和，导数
思路：通过等差数列的知识求出n S ，然后再通过导数求出n nS 。

不等式
不等式是高考的重要知识点，但是它会和其他知识融合在一起考查，有时是一道小题，有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现，分数范围为〔5-10分〕。

现在线性规划，几乎每年必考，虽然不是很难，但是大家一定要掌握好，不等式小题一般不会很难，综合题重点主要是汇入其他知识点进行，对数是取值范围或值域问题。

知识点：不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。

不等关系： 1.不等关系与不等式
比差法：0,0,0=-⇔=<-⇔<>-⇔>b a b a b a b a b a b a 。

问题的关键是判定差的符号〔正，负，零〕，
方法通常是配方或因式分解。

2.不等式的性质
基本性质有：
〔1〕a b b a <⇔>〔对称性〕 〔2)c a c b b a >⇔>>,(传递性) ( 3)c b c a b a +>+⇔>
(4)0>c 时，bc ac b a >⇔>； 0<c 时，bc ac b a <⇔>。

运算性质有：
(1)d b c a d c b a +>+⇔>>, (2)n n b a b a >⇒>>0 (3)n n b a b a >⇒>>0 (4)d
b
c a c
d b a >⇒>>>>,0,0 (5)d b c a c d b a ->-⇒>>,, (6)bd ac c d b a >⇒>>>>,0,0. 3 基本不等式
ab b a ab b a 2,2-≤+≥+(b a ,同号，当且仅当b a =时成立等号)；
ab b a 222≥+〔b a ,同号，等号成立〕；2
)2
(
b a ab +≤〔当且仅当b a =时成立等号)。

2
2a b ab
a b +≥≥≥
+(+∈R b a ,当且仅当b a =时成立等号)。

必须具备的知识点：函数、导数、三角函数、数列等相关知识。

可能综合的知识点：不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。

不等式的常见题型： 考点一 解一元二次不等式
解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究
〔讨论0>a 的情况〕
〔讨论0<a 的情况，只需将不等式两边同乘以-1，改变不等式方向加以研究〕 1 最基本的一元二次不等式〔略〕
2 含参数的一元二次不等式〔需要分类讨论〕
例：解不等式0)1)(1(≥+-x ax 〔0≠a 〕 答案：当0>a 或1-<a 时，解集为}11{-<>x a x x 或；当01<≤-a 时，解集为}11{a
x x x <->或； 知识点：解含参数的一元二次不等式 思路：用分类讨论法解一元二次不等式。

3 高次不等式(数轴标根法，已不再是高考的重点) 4 分式不等式
（1）
0)()(0≥+⋅+⇔≥++d cx b ax b ax d
cx 〔0≠+b ax 〕.
（2）0011≥+--+⇒≥-++⇔≥++b
ax b ax d cx b ax d cx b ax d cx 〔剩下的同上〕注意，如果已经确定0>+b ax ，即有
b ax d cx +≥+。

5 单绝对值不等式
（1）c b ax c b ax a c b ax -≤+≥+⇔≠≥+或)0(；〔2〕c b ax c a c b ax ≤+≤-⇔≠≤+)0( 6 双绝对值不等式
)(c d a b t d cx b ax <≥+±+设
可分解为：①当a b x -≥时，t d cx b ax ≥+±+)()(；②当a
b
x c d -<<-时，
t d cx b ax ≥+±+-)()(；③当c d
x -≤时，t d cx b ax ≥+±+-)]()[(。

具体解根据实际情况即可。

注意：
b a b a b a +≤±≤-；含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论，或根据实际情况看是哪一类问
题具体确定；含参数的双绝对值不等式恒成立问题，会涉及到最值问题，需要根据函数的单调性求取值。

例：已知函数23)(-+-=x x x f ，求不等式()3f x ≥的解集。

答案：}14{≤≥x x x 或 知识点：双绝对值不等式
思路：分类讨论解双绝对值不等式。

例：函数()2f x x a x =++-，假设()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

答案：03≤≤-a
知识点：双绝对值不等式中含参数的问题
思路：由给出的解集，可去双绝对值，然后确定a 的取值范围。

例：关于x 的不等式a a x x 22≥-+-在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 答案：3
2≤
a 知识点：双绝对值不等式中含参数的问题
思路：〔方法不唯一〕分类讨论可以解出不等式的取值范围，然后求出a 的最大值。

考点二 不等式的证明
常用的方法：做差法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法。

柯西不等式：2
2
2
2
2
)())((bd ac d c b a +≥++
例：已知10<<x ，求证
22
2)(1b a x
b x a +≥-+ 答案：如下 知识点：柯西不等式
思路：由1)1(=-+x x ，然后构造柯西不等式。

例：已知1,1<<b a ，求证11>--b
a ab。

答案：如下
知识点：绝对值不等式，作差法
思路：作差，讨论2
2
1b a ab ---的正负。

例：假设a c b c b a <->-,，求证a c < 答案：如下
知识点：绝对值不等式，不等式的性质
思路：通过解绝对值不等式，和不等式的性质即可。

考点三 不等式组的线性规划
不等式组的线性规划的解题思路是：所取的点是否在约束的范围内。

1 最大值和最小值
例：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤+-≥+-,08,10105,02y x y x y x 则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为
答案：3，-11
知识点：不等式组的线性规划〔最大值和最小值〕
思路：三条直线的交点〔构成三角形区域〕代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。

2 最值范围
例：设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的取值范围为
答案：]3,3[-
知识点：不等式组的线性规划
思路：画图，找出区域，求出的交点代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。

3面积问题
例：不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为
答案：1
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出三角形区域，然后用三角形面积公式求面积。

4目标函数中含参数
例：已知y x ,满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数
个，则a 的值为 答案：1
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，做目标函数的平行线，即可。

5 求非线性目标函数的最值
例：已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是
答案：13，
45
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

6 约束条件中含函数的最值范围
例：已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 假设y x z +=2的最小值是1，则a ＝
答案：
2
1 知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

7 比值问题
例：已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≤+-0
710
2y x x y x ，则 x y 的取值范围是〔 〕。

答案：]6,5
9[
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

8 双边约束条件
例：假设变量,x y 满足约束条件329
69x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是。

答案：-6
知识点：不等式组的线性规划
思路：找出可行域，是平行四边形区域，求出四个交点的坐标代入目标函数中，即可。

考点四 基本不等式 1 直接法
例：求函数)0(1
>+=x x
x y 的最小值 答案：2
知识点：基本不等式 思路：直接用基本不等式。

2 构造法 例：已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值 答案：1
知识点：基本不等式
思路：上述表达式可转化为，35
41
54+-+
-=x x y ，应用基本不等式。

例：求231
,(0)x x y x x
++=
>的最小值 答案：5
知识点：基本不等式 思路：上式转化为：31
++=x
x y ，然后用基本不等式。

3 换元法 例：求函数2
y =
的值域。

答案：5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
知识点：基本不等式
思路：(2)t t =≥，则2
y =1
(2)t t t =
=+≥，
应用基本不等式〔函数的单调性〕。

4 “1”的活用
例：已知,2,0,0=+>>b a b a 则b
a y 4
1+=
的最小值是
答案：
2
9 知识点：基本不等式
思路：可根据)2
()41()41(b
a b a b a +⋅+=+进行转化，然后利用基本不等式。

5 2
)2
(
b a ab +≤的应用 例：假设实数,x y 满足2
2
1x y xy ++=，则x y +的最大值是
知识点：基本不等式
思路：上式可转化为：2
2
)2
(11)(y x xy y x ++≤+=+，即可。

6 基本不等式的证明
例：设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：222
1a b c b c a
++≥。

答案：如下 知识点：基本不等式
思路：利用c a a
c b c c b a b b a 2,2,22
22≥+≥+≥+即可。

考点五 不等式的综合问题
例：函数)20(cos 45sin )(π≤≤+=x x
x
x f 的值域是
答案：]2
1,21[-
知识点：函数的值域，基本不等式
思路：需要先对函数两边平方，然后构造基本不等式，最后用基本不等式。

例：不等式2
313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 答案：(,1][4,)-∞-+∞ 知识点：恒成立问题，解不等式
思路：先求双绝对值的最大值，然后解实数a 的取值范围。

例：设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
假设目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为 答案：6
25 知识点：线性规划，基本不等式
思路：先画可行域，然后确定最大值，最后用基本不等式求最小值。

例：已知函数)0()(>++
=a c x b ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y 。

（1）用a 表示出，c b ,；
（2）假设x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3）证明：)1()
1(2)1ln(131211≥+++>++++n n n n n 。

答案：〔2〕1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
知识点：导数，函数，不等式
思路：〔2〕分类讨论，恒成立问题。

〔3〕在第二问的基础上，令k
k x 1+=，然后化解就行。

上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结，题型不是很全，但重要的方法或常考的方法基本上都有了，同学们不仅要理解它，更重要的是灵活应用它。

希望同学们在学习过程中，要多总结，多练习，多思考，将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度，只有这样才能取得理解的成绩。