高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》易错题汇编附答案

【最新】《平面向量》专题
一、选择题
1．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．
12
B ．2
C ．22
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
2．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r
, P 为线段CD 上一点,且1
2
DP PC =
，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）
A ．
13
B ．13
-
C ．0
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得1526
EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v
，求得,λμ的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
()
1214111232326
EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=-
()
1111522626
AD AB AB AD AB =+-=-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62
λμ=-=，
所以511
623
λμ+=-+=-，故选B. 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列出方程组求解即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
4．
已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r
r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为
（ ） A ．-4 B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b
r
方向上的投影a b b ⋅r r r . 【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r
方向上的投影为4a b b
⋅=r r r .
故选：D . 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
5．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v
，且||a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ） A ．
3
π
B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b -v
v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以2
22222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为
tan 3BDA ∠=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
6．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2
2
20OB OA +=，若平
面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r
，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r
可得262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得
点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】
设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r
. 由3PB PA =u u u r u u u r
可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，
因为2
2
20OB OA +=，故()2
2443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，
故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r
，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r
， ()2
111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
8．已知向量(b =r ，向量a r 在b r
方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的
值为（ ） A ．
13
B ．13
-
C ．
23
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设(),a x y =r ，转化条件得62
x +=-，()
4x λ=-，整体代换即可得解.
【详解】 设(),a x y =r
，
Q a r 在b r
方向上的投影为6-，∴6a b b
⋅=
=-r r
r 即12x +=-.
又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r
即130x y λ++=，
∴()
4x λ+=-即124λ-=-，解得1
3
λ=
. 故选：A.
本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.
9．已知ABC V 为直角三角形，,6,82
C BC AC π
===，点P 为ABC V 所在平面内一点，
则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．252
-
B ．8-
C ．172
-
D ．175
8
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据,2
C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则2
2
325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当
3
=2=2
x y ，时,取得最小值.
【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r
，
则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2
325252(2)2222x y ⎛
⎫=-+--≥- ⎪⎝
⎭.
故选:A. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
10．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．23
-
B ．43
-
C ．83
-
D ．2-
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r
，
则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ）
1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
11．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
2221
||()12112
a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r
，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
12．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则
PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，设
，,,又因为
,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答
案选D.
考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
13．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155
AB AC +u u u
v u u u v
B ．2155
AB AC +u u u
v u u u v
C ．481515AB AC +u u u
v u u u v D ．841515
AB AC +u u u
v u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】
设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r
，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r
为基底来表示的形式.
【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π
2cos
4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10
=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以
4
5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+
-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u
r u u u r ， 所以4218453315
15AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=
+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
14．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为3,P Q 在
圆2
2
2:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r
的最小值为（ ）
A ．18122-
B ．19122-
C ．18122+
D ．19122+
【答案】B 【解析】 【分析】
设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
2
3223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r
，得到答案.
【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
2
2
2
22(
)12
PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=--
故()
2
322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r
，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．
2
3
B ．
15
C ．
72
D ．
152
【答案】D 【解析】 【分析】
计算25AC a b =+u u u r r r
，得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.
【详解】
∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r
，
∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r
，即()
253a b a mb λ+=+r r r r ，
∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23
152m λ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. 故选：D . 【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．已知,A B 是圆2
2
:16O x y +=的两个动点，524,33
AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v
，若M 分
别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v
（ ）
A
．8+B
．8-C ．12 D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
，则
22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，又圆的半径
为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3
．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，22
16OA OB ==u u u v u u u v ，所
以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r
．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
17．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r
，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
13
B
．3
-
C
．3
-
D ．13
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴r r 1cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r
．
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满
足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．12
B ．122
C ．24
D ．242 【答案】C 【解析】 【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v ，1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμ
λμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ） A ．355 B ．25 C ．6 D ．62
【答案】A
【解析】
【分析】 根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】 在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB AOB OAB
=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22
OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=
即2OAB π
∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22⎝⎭
所以OA =⎝⎭u u u r
,)
OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)22OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u
r ,22λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=
则OP =u u u r
=
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
=
=所以当95λ=时
, min OP ==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。