射影变换例题解析

射影变换例题解析
例1 填空题
（1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 .
（2）两点列间射影对应由 对对应点唯一确定.
（3）共线四点的交比是 不变量.
（4）两个点列经过中心投影， 不变.
（5）不重合的 对应元素，可以确定唯一一个对合对应.
解 （1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应.
（2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.
（3）共线四点的交比是射影不变量.
（4）两个点列经过中心投影，交比不变.
（5）不重合的两对对应元素，可以确定唯一一个对合对应.
例2 单选题
（1）若（AB ,CD ）=r ，则（DB ，AC ）=（ ）
A .r 1
B .
r
-11 C .r r -1 D .r 11- （2）设A ，B ，A +λ1B ，A +λ2B 是四条不同的有穷远共点直线l 1，l 2，l 3，l 4的齐次坐标， 则（l 1l 2，l 3l 4）=（ ）
A .λ1
B .λ2
C .2
1λλ D .λ1λ2 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果
（12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ）
A .－1
B .1
C .0
D .∞
解 由交比的运算定理，（1）选D ；（2）选C （3）选A
例3 求证P 1（3，1），P 2（7，5）与P 3（6，4），
P 4（9，7）成调和共轭.
分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明
解法1
(P 1P 2，P 3P 4)=))(())((14232413x x x x x x x x ----=)
76)(39()79)(36(----=-1 解法2 将P 1，P 2，P 3，P 4写成齐次坐标，则
P 1（3，1，1），P 2（7，5，1），P 3（6，4，1），
P 4（9，7，1）可以写作
P 3（24，16，4），P 4（-18，-14，-2）
于是 P 3 =P 1 +3P 2 P 4 =P 1 -3P 2
∴(P 1P 2，P 3P 4)=3
3-=-1 例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭.
证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.
如图4-6所示，角的两边为A ，B ，其内外角平分线分别为l 1，l 2
(AB ，l 1l 2)=
)
()(21abl abl （ABl 1）=1
（ABl 2）= -1
∴ (AB ，l 1l 2) = -1
S
A B
图4-6
证法2 用代数法
设取原点在三角形SAB 内部，A ×B 分别在A ，B 直线上.
设SA 的法线方程为0=α，
设SB 的法线方程为0=β，
为了求内角分线l 1和外角分线l 2方程，利用角平分线的几何特性，设P （x ，y ）为角平分线l 1上的任一点，则它们到A ，B 的距离相离，即α=β或βα=或βα-=
取l 1为βα=即0=-βα，即11=λ
l 2为βα-=即0=+βα，即12-=λ
∴( AB ，l 1l 2)=12
1-=λλ 证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l 1 // l 2求截角的两边A ，B 分别交A ，B 于A ，B ，交l 1于T 1，交l 2于T ∞，则由l 1和l 2互相垂直，可知S T 1⊥l 1，又l 1为角平分线，由初等几何定理，可知△SAB 为等腰三角形，且有A T 1=T 1B ，即T 1为AB 中点，根据定理知
(AB ，T 1T ∞)=-1
(AB ，l 1l 2 )=-1
S
A T 1 B
l A l 1 B
图4-7
例5 若A ，B ，C ，D 为共线四点，且（AB ，CD ）=-1，CD 中点为O ，求证O C 2
=O A ·O B
证明 (AB ，CD )=1-=⋅⋅AD BC BD AC 即AC ·BD +BC ·AD = 0
把AC ，BD ，BC ，AD 都以0为原点表示，则有（O C -O A ）（O D -O B ）+（O D -O A ）（O C -O B ）= 0 整理得 2（O A ·O B +O C ·O D ）=(O A +O B )(O C +O D )
而 O D =-O C
∴ 2(O A ·O B -O C 2
)=(O A +O B )(O D -O C )=0
即 O C 2=O A ·O B
例6 设三直线 1111c y b x a p ++=
2222c y b x a p ++=
3333c y b x a p ++=
求证以p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0为三边的三角形的重心由方程312212311312332)()()(p b a b a p b a b a p b a b a -=-=-给出.
A l 3
1 B O p 3 C
图4-8
分析 如图4-8，ΔABC 三边AB ，AC ，BC 的方程分别为p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0.设BC 边上中线A O 的方程q 3=0.过A 点作BC 的平行线l 3，则l 3的斜率为3
33b a k l -=. 由于l 3过p 1和p 2的交点A ，所以l 3可由p 1和p 2线性表示，即l 3的方程为
0)(222111=+++++c y b x a c y b x a λ
l 3的斜率为2
121b b a a λλ++- ∴ 3
32121b a b b a a -=++-λλ 3
2321313b a a b b a a b --=λ ∴ l 3的方程为023********=--+
p b a a b b a a b p 由于l 3与BC 平行，所以l 3与BC 交于无穷远点L ∞，又D 为BC 中点，
（BC ，D L ∞）= -1
两条直线截同一线束，所得对应四点的交比不变，可得
（p 1p 2，q 3l 3）=-1
∴ q 3的方程为023
23213131=--+p b a a b a b b a p
同理q 1的方程为031
31321212=--+
p b a a b a b b a p 则q 1与q 3的交点为 312212131313232)()()(p b a b a p b a a b p b a a b -=-=-
例7 已知A ，B ，C 三直线交于点P ，试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.
作法：如图4-9. A ，B ，C 三直线交于点P ，任作不通过P 点的直线l ，l 与直线A ，B ，C 分别交于A ，B ，C 三点，在P A 上任取一点M ，连B M 交P C 于N.连A N 交P B 于K ，连MK 交l 于P ，则有（AB ，CD ）=-1.
连P D ，即为所求第四调和线D ，
即（AB ，CD ）= -1
P
M B C D
A N K
l
A C
B D
如图4-9
例8 已知三点形ABC 及平面上一点P （P 不在ABC 的任一边上）.A P ，B P ，C P 与对边交于A '，B '，C '，且BC 与B 'C '交于A 1，CA 与C 'A '交于B 1，AB 与A 'B '交于C 1. 如图4-10.求证：
（1）（BC ，AA '）= -1，（CA ，B 1B '）= -1
（2）A 1，B 1，C 1三点共线.
证明
（1）由完全四点形C 'AB 'P 的调和性，可知
（BC ，A 1A '）= -1
又（B ，C ，A 1，A '）∧（A ，C ，B '，B 1）
∴（CA ，B 1B '）=（AC ，B 'B 1）=（BC ，A 1A '）= -1
（2）由三点形ABC 和A 'B 'C '的对应点连线共点P ，由笛沙格定理可知，对应边交点A 1，B 1，C 1共线.
B 1 P
A
C B '
A '
B A 1
C '
图4-10
例9 巴卜斯命题：设A 1，B 1，C 1与A 2，B 2，C 2为同一平面内两直线上的两组共线点，B 1C 2与B 2C 1交于L ，C 1A 2与C 2A 1交于M ，A 1B 2与A 2B 1交于N.如图4-11.
求证L ，M ，N 共线.
证明
A 1
B 1
N D C 1
M E
L
A 2
B 2
C 2 O
图4-1
∵（B 1，D ，N ，A 2）∧（O ，C 2，B 2，A 2）
∧（B 1，C 2，L ，E ）
∴（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）
由于两点列底的交点B 1自对应，有
（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）
因此DC 2，NL ，A 2E 三直线共点M.即L ，M ，N 共线. □
例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点，那么这个三角形是等腰三角形. 证明 如图4-12，由于M 为AB 中点，C N ∞为外角平分线，则有
（AB ，C N ∞）= -1
∴（AB M ）= -1，（AB N ∞）= 1
即 1-=BM
AM
1=MB AM 而 1==BC
AC MB AM 从而，AC =BC .□
C N ∞
A M
B N ∞ 图4-12。