河南省开封市高三数学上学期定位模拟考试试题 理(含解析)

2015届河南省开封市高三上学期定位模拟考试
数学试题（理科）
【试卷综析】基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。

考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【题文】1．已知集合A=
(){}{}
2
|lg 1,|230x y x B y y
y =-=--≤，则A B =
A.
{}|13x x << B. {}|13y y ≤≤ C. {}|13x x <≤ D. {}|13x x ≤<
【知识点】函数的定义域；一元二次不等式的解法；集合运算. A1 B1 E3
【答案解析】C 解析：A={x|x>1},B={y|-13y ≤≤},所以
{}
|13A
B x x =<≤，故选C.
【思路点拨】化简集合A 、B ，求得这两个数集的交集.
【题文】2．已知i 是虚数单位，m.n R ∈,则“m=n=1”是“
()2
2m ni i
-=-”的
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【知识点】 充分必要条件.A2
【答案解析】 A 解析：解：因为
m=n=1
时
()
2
12i i
-=-成立，而()
2
2222220,11,1
m ni m m ni n i m n m n m n m n -=-⋅+∴-=⋅=∴====-，所以正确
选项为A.
【思路点拨】由题意可解复数成立的条件，再根据充分必要关系确定命题的关系.
【题文】3．已知双曲线
22
4312x y -=，则双曲线的离心率为
【知识点】双曲线的性质. H6
【答案解析】B 解析：其中
所以双曲
B.
【思路点拨】把已知方程化成标准方程，求得a,c e.
【题文】4
()
2,2,
a b a b a ==-⊥
，则
,a
b的夹角是
【知识点】平面向量单元综合. F4
【答案解析】D 解析：
()()
,0
a b a a b a
-⊥∴-⋅=
，
()2222cos,0
a a
b a b
-⋅=-=
2
,a b =
，∴,a b
的夹角是
【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于向量
,
a b夹角的方程.
【题文】5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图
中空白框内应填入P=
【知识点】算法与程序框图. L1
【答案解析】C 解析：由于圆
22
1
x y
+=在以O（0,0），A（0,1）B(1,1),C(1,0)为顶点的
故选C.
【思路点拨】由圆在单位正方形中的面积与单位正方形的面积比，等于落在圆中的点个数M
与总的点个数1000的比得结论.
【题文】6．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A. 3
108cm B.1003
cm C.92 3
cm D.84 3
cm
【知识点】几何体的三视图. G2
【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是一个直四棱柱截去一个角后所得几何体，
如下图,
B.
【思路点拨】由三视图得 此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.
【题文】7．设变量x 、y 满足约束条件
122x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数22
z x y =+的取值范围为
A. []2,8
B. []4,13
C. []2,13
D. 【知识点】线性规划的应用. E5
【答案解析】C 解析：画出可行域如图ABC ∆内部（包括边界），目标函数为可行域中点
到原点距离的平方，由图可知z的最小值是原点到直线x+y=2距离的平方，由点到直线距离
公式得值这个值为2；z的最大值是
222
||3213 OA=+=
.
【思路点拨】画出可行域，由图可知目标函数取得最值的最优解.
【题文】8.已知函数
()()()
cos sin2,0
f x x xϕϕπ
=-+≤≤
，则
ϕ的值
是
A
【知识点】三角函数.C3
【答案解析】A
A正确.
【思路点拨】特殊值法可直接求出结果.
【题文】9.将边长为2的等边PAB沿x轴正方向滚动，某时刻P与坐标原点重合，设顶
点
(),
P x y
的轨迹方程是
()
y f x
=
，关于函数
()
y f x
=
的说法①
()
f x
的值域为
[]
0,2
：
②
()
f x
是周期函数：③
()()()
4.12013
f f f
π
<<
；
是
A.0
B. 1
C. 2
D. 3
【知识点】函数的性质. B3,B4
【答案解析】C 解析：解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．
从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的有下列说法：①f （x ）的值域为[0，2]正确； ②f （x ）是周期函数，周期为6，②正确；③由于f （-1.9）=f （4.1），f （2013）=f （3）； 而f （3）＜f （π）＜f （4.1），∴f （-1.9）＞f （π）＞f （2013）；故③不正确；
④()6
f x dx ⎰表示函数f （x ）在区间[0，6]上与x 轴所围成的图形的面积，其大小为一个
故选C ．
【思路点拨】先根据题意画出顶点P （x ，y ）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的说法的正确性
【题文】10．三棱柱
111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为
角形，若P 是
111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是
【知识点】空间几何体的结构；线面角的求法. G1 G11
【答案解析】B 解析：设此正三棱柱的底面边长a
面中线长的三分之二为1，即
11A P =,若PA 与平面ABC 所成角为θ，
B. 【思路点拨】设PA 与平面ABC 所成角为θ，
所以只需求出1A P 的长，而1
A P 的长是正三棱柱的底面中线长的三分之二，所以需求正三棱柱的底面边长a ，由柱体体积公
PA 与平面ABC 所成角的大小.
【题文】11.已知函数
()323f x ax bx x
=+-在1x =±处取得极值，若过点A
()0,16作曲线
()
y f x =的切线，则切线方程是
A. 9160x y +-=
B. 9160x y -+=
C. 9160x y +-=
D. 9160x y -+= 【知识点】 导数;直线方程.B11,H1 【答案解析】C 解析：解：（I ）
()
f x '=3ax2+2ax-3，
∵函数f （x ）在x=±1处取得极值，
()()110f f ''=-=，即3230
3230a b a b +-=⎧⎨--=⎩
，解得a=1，b=0．曲线f （x ）=x3-3x ，点（0，-16）不在曲线上．设切点为P （s ，t ），则t=s3-3s ．f′（s ）=3（s2-1），因此切线方程为：y-t=3（s2-1）（x-s ）．∵点（0，-16）在切线上，∴-16-（s3-3s ）=3（s2-1）（0-s ）， 化为s3=8，解得s=2，∴切点为P （2，2），故曲线方程为：9x-y-16=0．
【思路点拨】考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义、切线的方程，利用推理能力和计算.
【题文】12．设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有
()1x
f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f =
A.1
B.e+1
C.3
D.e+3
【知识点】函数的单调性； B3
【答案解析】C 解析：因为x R ∈时，函数
()
f x 为单调递增函数，所以定义域中的值与
值域中的值是一一对应的，又对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣
⎦（e 是自然对数的底数），则
()x
f x e -是常数，设
()()x x f x e m f x e m
-=⇒=+，所以
()1m f m e m e =+=+，因为函数x y e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而()1,x f x e =+
所以(ln 2)3f =，故选C. 【思路点拨】根据函数
()
f x 为R 上单调递增函数，且对任意实数x ，都有
()1x
f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()x f x e -是常数，
设
()()x x f x e m f x e m
-=⇒=+，所以()1m f m e m e =+=+，因为函数
x
y e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而
()1,x
f x e =+所以(ln 2)3f =. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【题文】13．已知函数()2log ,(0)(x)3,0x
x x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣
⎦ . 【知识点】分段函数；函数值的意义. B1 【答案解析】0 解析：因为
()0031,
f ==所以
()0f f =⎡⎤⎣⎦()21log 10f ==.
【思路点拨】根据分段函数的意义，
自变量取哪个区间上的值就用哪个区间上的解析式求函
数值.
【题文】14.M ，各项二项式系数之和为N 且64M N +=，则展开式中含2
x 项的系数为
【知识点】
二项定理；特定项的系数.J3
【答案解析】-90x=1得：各项系数之和M=2n ，
又各项二项式系数之和为N ，故N=2n ，又M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5
．
设二项展开
式的通项为Tr+1，
r=3．
∴展开式中含x2项的系数为()3
3
5351390
C -⋅-⋅=-.
【思路点拨】由已知条件可求出n 的值，再利用特定的求法求出二次项的系数. 【题文】15.已知点A
()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA
与抛物线C 相交于点M ，
与其准线相交于点N 【知识点】 直线与抛物线.H7
【答案解析】C 解析：解：∵抛物线C ：x2=4y 的焦点为F （0，1）
，点A 坐标为（2，0）
，
∴抛物线的准线方程为l ：y=-1，直线AF M 作MP ⊥l 于P ，根
据抛物线物定义得|FM|=|PM|，
∵Rt △MPN 中，tan ∠
|PN|=2|PM|，
|FM|：|MN|=|PM|：
【思路点拨】求出抛物线C 的焦点F 的坐标，从而得到AF 的斜率k ．过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt △MPN 中，根据tan ∠MNP
，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出，由此即可得到|FM|：|MN|的值．
【题文】16．如图，已知ABC ∆中，90ABC ∠=，延长AC 到D,连接BD,
若30CBD ∠=且AB=CD=1，则
AC=
【知识点】正弦定理. C8
解析：设AC=b,则在ABD ∆中，
11sin120sin =
在BCD ∆中，30sin =
43224
0b b b +--=，解得b=-2（舍去）【思路点拨】在ABD ∆和BCD ∆中，用正弦定理得关于边AC 的方程，解此方程得AC 长. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 【题文】17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足()2*111,+,n n n a
n a a a n n n N +=-=+∈
，求正项数列{}n b 的前n
项和n S . 【知识点】等差数列的定义；数列求和. D2 D4
【答案解析】(1)证明：略；（2
解析：(1)
------6分 （2）由（1）得：2,3n
n n a n b n ==⋅从而，-------8分
231323333n n S n =⋅+⋅+⋅+
+⋅，231313233n n
S n +=⋅+⋅+
+⋅，
分
【思路点拨】（1）由等差数列的定义证得结论；（2）由错位相减法求数列
{}n b 的前n 项和n S .
【题文】18.根据据《中华人民共和国道路交通安全法 》 规定，车辆驾驶员血液酒精浓度在[20,80)（单位：/100mg ml ）之间 属于“ 酒驾 ” 血液酒精浓度在80/100mg ml （含80）以上时，属于“醉驾”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查， 经过
一晚的抽查 ，共查出酒后驾车者 60名 ，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检
测后依所得结果画出的频率分布直方图
（I ）若血液酒精浓度在[50,60)和[60,70)的分别有 9人和6 人， 请补全频率分布直方图 ，图乙的程序框图是对这名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计 ，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义：（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中点值及频
率）;
(II)本次行动中 ,吴、李2人都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70
90/100mg ml 的范
围 ，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准 ，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒数精浓度属于70
90/100mg ml 范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴，李
2人被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李2人至少1人被抽中的概率. 【知识点】 数据的特征数；分布列与期望.I2,K6
【答案解析】(I) [50,60)的频率
频率为
，则，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
(II)
解析：解：(I)
[50,60)的频率为
则，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（II ）7090共有600.15=9
⨯人，ξ的可能值为0，1，
所以，
ξ的分布列为：
记“吴、李2人至少有1人被抽中”为事件
【思路点拨】根据已知条件求出各特征数，再求出随机变量的各取值情况并列出分布列. 【题文】19.已知四棱锥P ABCD
-，底面ABCD为梯形，,,1,ABCD PA=AD=DC=2AB
AB CD AD CD AB PA
⊥=⊥平面，，点E是PC中点.
(I)求证：BE DC
⊥
(II)若F为棱PC上一点，满足BF AC
⊥,求二面角F—AB—P的余弦值.
【知识点】根据已知条件建立空间坐标系，利用向量求直线的垂直关系.G9,G10
【答案解析】(I)略
析：解：(I)取CD 中点M ，连MB ，证得BEM BE CD CD ⊥⇒⊥平面
(II)以A 为原点建立坐标系O xyz -,AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，则
()()()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,2,0,2,2,2B C D P BC CP ==--()()2,2,0,1,0,0AC AB ==，
设()()01,12,22,2
C F C P B F
B C
C F
B C
C P λλλλλλ=≤≤=+=+=--由
0BF AC ⋅=得1BF ⎛=- ，设()0,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量，平面ABP
(0,1,0m
=3m n ⋅=-F —AB —P 余弦【思路点拨】根据题意可以直接证明线段垂直，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值.
【题文】20.M ()00,x y ，设M 关于x 轴对称点为1M ，双
曲线的左右顶点分别为12,A A .
(I)求直线1A M 与直线11A M 的交点P 的轨迹C 的方程.
(II)设点
()
2,0
F -，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作直线l TF ⊥
交()I 中轨迹C 于P 、
Q 两点，①证明：OT 经过线段PQ 中点（O 为坐标原点）T 的坐标.
【知识点】 轨迹方程；直线与双曲线.H8,H9
【答案解析】
(I) (II) ()()3,1;3,1T T ---解析：解(I)
直线1A M 21
A M
方
式子相乘
.
(II)
()()
2,0,3,
F T m
--
,直线PQ方程：
2
x my
=-，设()()
1122
,y,Q,y
P x x
联
立
PQ的中点M
，，所以M在OT上，所以OT平分PQ;
1
m=±等号成立，此时最小
()()
3,1;3,1
T T
---
【思路点拨】由已知条件可利用交轨法求出轨迹方程.再联立直线与椭圆方程，最后求出比值.
【题文】21.已知常数0
b>，图像过()
2,1
点，函数
()()
ln1
g x bx
=+
设()()()
h x g x f x
=-
(I)讨论
()
h x
在区间
()
0,+∞
上的单调性.
(II)若
()
h x
存在两个极值点12
,x x
，求b的取值范围，使
()()
12
h x h x
+>
【知识点】导数；导数证明不等式.B11,B12
【答案解析】(I)当
()()
10,
b h x
≥+∞
时在
增，当
递减，
.
(II) 解析：解：由已知
2
a =，
当1b ≥时()0h x '>此时，()h x 在
()0,+∞增当01b <<得
当()
10,x x ∈时，()0
h x '<，当
()
1,x x ∈+∞时，
()0h x '>，故
()
h x 在
()
10,x x ∈递减，在
()
1,x x ∈+∞递增.综上：当
()()10,
b h x ≥+∞时在增，当
递减，
.
(II)1b ≥时，()0h x '≥此时不存在极值点，因而要使得
()
h x 有两个极值点必有01b <<，又
()
h x 极值点只可能是
且由()h x 有意义
此时，()h x 极小值点和极大值点
只能是
而
设
21b x -=
在
()
1,0-递减，
()()140
x ϕϕ<-=-<，不满足题意
()()120
h x h x +<.当
在
()
0,1递减，
()()10x ϕϕ>=，满足题意，()()120h x h x +>，综上：
【思路点拨】利用导数判定函数单调性；再构造函数证明不等式.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
【题文】22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 为O 的直径，点D 是O 上的一点，点C 是AD 的中点，弦CE AB ⊥于F ，GD
是
O 的切线，且与EC 的延长线相交于点G ，连接AD ，交CE 于点P.
(I)证明：ACD APC
(II)
PE 的长.
【知识点】相似三角形；圆.N1,H3
【答案解析】(I)略（II
解析：解：(I)证明：AB 为O
的
直
径
，
CE AB ⊥AC
AE
∴=点C 是
AD
的
中
点
，
,,AC CD AE ACE ADC CAP ∴==∴∠=∠∴∠为公共角，ACD
APC
(II)
连
接
DE
，
GD
是
O
的
切
线
，
,GDC CED ∴∠=∠,
AC CD AE ∴==GED ADE CDA GPD GDP
∴∠=∠=∠∴∠=∠2
1
GD GC =【思路点拨】根据已知可求证明两三角形相似，再利用切线性质求出PE.
【题文】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点
()
1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴
非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为2
6cos 50ρρθ-+=.
若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： 设
()
,M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
【知识点】直线与圆.H4
【答案解析】
(I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为
22
650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θ
θ=-+⎧⎨=⎩代入
22
650x y x +-+=整理得28cos 120
t t θ-+=直
线
l
与
曲
线
C
有
公
共
点
，
264cos 480
θ∴∆=-≥3
[0,)θπ
∴的取值范围是
(II)曲线C 的方程2
2
650x y x +-+=可化为
()
2
234
x y -+=其参数方程为
()()
32cos M ,2sin x x y y θ
θ
θ
=+⎧⎨
=⎩为参数为
曲
线
上
任
意
一
点
，
的取值范围是
【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可直接求出结果. 【题文】24. （本小题满分
10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b 都是正实数，且1a b
+=
(I)
. 【知识点】不等式，最值.E1,B3
【答案解析】(I)略(II) 解
析：解：(I)证明：
2a b
+≥
.
【思路点拨】根据基本不等式可直接证明，再利用不等式证明最值.。