人教版高一数学必修一至必修四公式之欧阳道创编

高中衔接：
和平方：)
)((22b a b a b a -+=- 和、差平方：
2222)(b ab a b a +±=±
立方和、立方差：))((2233b ab a b a b a +±=± 和、差立方：
2233333)(ab b a b a b a +±±=±
ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++;
ac bc ab c b a c b a 222)(2222-+-++=-- ac bc ab c b a c b a 222)(2222--+++=-+;
ac bc ab c b a c b a 222)(2222+--++=+-
韦达定理：设⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
-=+=++a c
x x a b x x c bx x x 21212210ax 的两根，那么为和 必修
一：
恒成立问题： 指数函数：
⎩⎨
⎧<-≥===0
0n a a a a a a n a a n
n n n ，，为偶数时：；当为奇数时：当；
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫==-m n m
n
m n m
n
a a a a
1)10*>∈>m N n m a ，且、，（ 对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式：
x p x y +=，在),0()0,(+∞⋃-∞上⎪⎩
⎪⎨
⎧⋃-+∞⋃--∞)00(),(),(p p p p ，（），单调递减：单调递增：
对数函数:
1
log =a a ,
1
log log =•a b b a ,
1log =a ,)
10(log ≠>=a a N N a N a 且、, )10(log 1
log ≠>=
b a b a a
b b a 、且、,
d c d c c d c d b
a a
b b a a
b
log log log log =-=-= ⎪⎭
⎪
⎬⎫
-=+=•N M N M N M N M a a a a a a log log log log log )(log (a 、M 、N>0,且a ≠
1)
1
log ln ),0(log ln ==∴>=e e x x x e e ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
==b m n b m n m a n a a n a m log log log log )1,0(≠∈>a R n m b a 且，、、,
)1,0(log log log ≠>=
c a c b a a
b
b c c a 、且、、(换底公式) 函数图像（必须熟）
图象
性质
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数
减函数
增函数
(,0)(1,)(0,)(0,1)
x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，
(,0)(0,1)(0,)(1,)
x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,)(1,)(,0)
x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，
(0,1)(,0)(1,)(0,)
x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，
a b <
a b >
a b <
a b >
表2
幂函数()y x R α
α=∈
p q
α=
0α< 01α<< 1α> 1α=
p q 为奇数为奇数
奇函数
p q 为奇数为偶数
p q 为偶数为奇数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点01（，）
判断奇偶函数：若
)
()(x f x f -=则为偶函数，若
)()(x f x f -=-则为奇函数（奇函数0)0(=f ）
判断单调函数：○
1在定义域内设21x x <,化简)()(21x f x f -,
若)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-即则认为该函数在其定义域内
单调递减，若)()(0)()(2121x f x f x f x f <
<-即则认为该函数在
其定义域内单调递增。

○
2若在定义域内设21x x >，化简)()(21x f x f -,若)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-即则认为该函数在
其定义域内单调递增，若)()(0)()(2121x f x f x f x f <<-即则认
为该函数在其定义域内单调递减。

（具体情况具体定） 函数的周期：若)()(x f T x f =
+，则
T 为函数周期。

必
修二：
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，
它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，
()22,y x
④截矩式：1x y a
b
+=
其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l
与x
轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）
注意：○
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴
的直线：a x =（a 为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；
（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为
()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时， 212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交
交点坐标即方程组⎩⎨
⎧=++=++0
222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2
l 重合
（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，
则||AB =（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2
2
B A
C By Ax d +++=
（10）两平行直线距离公式
○
1在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

○2设直线;,02211C By Ax l C By Ax l ++==++=则两点间的距离为都相等）、B A B
A C C d (2
2
21+-=
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的
集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程
（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；
（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42
12
2
-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0
422<-+F E D
时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为2
2B A C Bb Aa d +++=，则有
相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<
（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：
①圆222r y x =+，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；
当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

5
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：V 球=3
43
R π ； S 球面=24R π
（5）关于平面的公理：
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取
的，而和点O 的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：
A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两
条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理
○
1如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
○
2如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），
○
3垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理
○
1如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行）
○
2如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行） （9）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

（10）空间两点距离坐标公式：
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=
必
修
三： 秦
九
韶
算
法
：
()()()()1221111......a x a x x a x a x a a x a x a n n n n n n n +++++=+++----
回归直线方程：
必
修
四：
2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}
36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}
360180360270,k k k α
α⋅+<<⋅+∈Z
第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z
4
、
关于扇
形的计算公式：
Rl R R S R R l 2
1
21222222==•==•=
αα
αα
ππ；ππ
弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1
180
π
=
，
180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
)0(tan ;cos ;sin ≠===
x x
y
r x r y ααα（x 为该点到y 轴的距离，
y 为该点到x 轴的距离22y x r +=）
α
αααααααααααα22221tan sin cos cos 1sin sin 1cos tan cos sin tan cos sin 1cos sin +
=-±=-±====+；；；；；；诱导公式：(Z ∈k )
（注：以上两个表格中的k 皆属于Z ） 和差公式：
)
4tan(tan 1tan 1απ
αα±=± )
cos sin (
cos sin 2
2
2
2
22ααααb
a b b
a a
b a b a ++
++=+（辅助
角公式）
万能公式：（不考，也不常用，作为了解） 半角倍角公式： 倍
角：
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos tan 1tan 22tan cos sin 22sin 222
αααααααα
α
αααα-+=-=-=
=；；
半
角
：
α
α
ααααααααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan 2cos 12cos 2cos 12sin
+=-=+-±=+±=-±
=；；
积化和差公式：（高一不要求掌握） 和差化积公式：（高一不要求掌握）
2
sin
2
cos
2sin sin 2
cos
2
sin
2sin sin ϕ
θϕ
θϕθϕ
θϕ
θϕθ-+=--+=+；
(三角函数线配图)
三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 三角函数图像（需记牢）
sin y x = cos y x = tan y x =
函
数
性 质
图象
定
义域R R,
2
x x k k
π
π
⎧⎫
≠+∈Z
⎨⎬
⎩⎭
值域[]1,1
-[]1,1
-R
最值当2
2
x k
π
π
=+()
k∈Z
时，
max
1
y=；当
2
2
x k
π
π
=-
()
k∈Z时，
min
1
y=-．
当()
2
x k k
π
=∈Z时，
max
1
y=；当2
x kππ
=+
()
k∈Z时，
min
1
y=-．既无最大值也无最小值
周
期
性
2π2ππ
奇
偶
性
奇函数偶函数奇函数
单调性在2,2
22
k k
ππ
ππ
⎡⎤
-+
⎢⎥
⎣⎦
()
k∈Z上是增函数；在
3
2,2
22
k k
ππ
ππ
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
()
k∈Z上是减函数．
在[]()
2,2
k k k
πππ
-∈Z上
是增函数；在
[]
2,2
k k
πππ
+
()
k∈Z上是减函数．
在,
22
k k
ππ
ππ
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
()
k∈Z上是增函数．
对称性对称中心()()
,0
k k
π∈Z
对称轴
()
2
x k k
π
π
=+∈Z
对称中心
()
,0
2
k k
π
π
⎛⎫
+∈Z
⎪
⎝⎭
对称轴()
x k k
π
=∈Z
对称中心
()
,0
2
k
k
π
⎛⎫
∈Z
⎪
⎝⎭
无对称轴
向量：
加法运算：
懂）
（在平行四边形中可看
（在三角形中可看懂；AC
AD
AB
AC
BC
AB=
+
=
+
三角形不等式：
a b a b a b
-≤+≤+．
①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．
坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y +=++
向量减法运算：在三角形中可看懂）(BC AB AC =-
坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y -=--．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则
()1212,x x y y AB =--
向量数乘运算：①a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③
()
a b a b λλλ+=+．
⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．
分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是
1212,11x x y y λλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭ 平面向量的数量积：⑴
()cos 0,0,0180
a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量
的数量积为0．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与
b
同向时，
a b a b
⋅=；当a 与
b
反向时，
a b a b
⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b
a b
⋅≤．
⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③
()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则
1212a b x x y y ⋅=+．
若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，则01221=-⇔y x y x ∥
设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121
cos a b a b
x θ⋅==
+．
空间几何：
正四面体对棱垂直，若设正四面体棱长为a ，其外接球半径为
a 4
6，其内接球半径为
a 12
6，其棱切球半径为
a 4
2。

重心：各边中线的交点。

垂心：各
边垂线的交点。