连续函数的性质

连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定有界。

最值性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定能取得最大值和最小值。

介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。

则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。

连续函数有何性质
有界性
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

介值性
这共性质又被称作介值定理，其包含了两种特别状况：
（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值
之间的一切数值。

全都连续性
闭区间上的连续函数在该区间上全都连续。

所谓全都连续是指，对任意ε0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满意|x1-x2|δ时，有|f(x1)-f(x2)|ε，就称f(x)在I上是全都连续的。

函数的连续性
对于连续性，在自然界中有很多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。

这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

简洁地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。