2019年初二数学上期末第一次模拟试卷(及答案)

2019年初二数学上期末第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．22()22a a b a ab +=+
D ．222()2a b a ab b -=-+
2．若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．8 3．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ）
A ．18018032x x -=+
B ．18018032x x -=+
C ．18018032
x x -=- D ．18018032x x -=- 4．下列各因式分解的结果正确的是（ ） A ．()321a a a a -=-
B ．2()b ab b b b a ++=+
C ．2212(1)x x x -+=-
D ．22()()x y x y x y +=+-
5．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13
DC AD =
，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S 是（ ）
A ．50
B ．62
C ．65
D ．68
7．下列计算正确的是（ ）
A
．235
+=B．a a a
+=2
22C．(1)
x y x xy
+=+D．236
()
mn mn
=
8．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是()
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
9．如果30
x y
-=，那么代数式()
22
2
2
x y
x y
x xy y
+
⋅-
-+
的值为（）
A．
2
7
-B．2
7
C．
7
2
-D．
7
2
10．若代数式
4
x
x-
有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x=0B．x=4C．x≠0D．x≠4
11．若数a使关于x的不等式组
()
3x a2x1
1x
2x
2
⎧-≥--
⎪
⎨-
-≥
⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程
y5
1y
-
-
+3=
a
y1
-
有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是
（）
A．5B．4C．3D．2
12．如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度为( )
A．10cm B．6cm C．4cm D．2cm
二、填空题
13．－12019＋22020×（
1
2
）2021＝_____________
14．若关于x的分式方程
21
22
x a
x
-
=
-
的解为非负数，则a的取值范围是_____．
15．若a m=5，a n=6，则a m+n=________．
16．如果代数式m 2
+2m ＝1，那么22442m m m m m +++÷的值为_____． 17．因式分解34x x -= ．
18．如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是__________．
19．如图，AC =DC ，BC =EC ，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ABC ≌△DEC ．
20．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．
三、解答题
21．如图,已知在△ABC 中,∠BAC 的平分线与线段BC 的垂直平分线PQ 相交于点P,过点P 分别作PN 垂直于AB 于点N,PM 垂直于AC 于点M,BN 和CM 有什么数量关系？请说明理由．
22．如图，已知90A E ∠=∠=︒，A C F E 、、、在一条直线上，,AF EC BC DF ==. 求证：（1）Rt Rt ABC EDF △≌△；
（2）四边形BCDF 是平行四边形.
23．如果2
30x x +-=，求代数式321121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值.
24．先化简，再求值：211()22
a a a a -+÷++，其中1a = 25．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
【详解】
图1中阴影部分的面积为：22a b -，
图2中的面积为：()()a b a b +-，
则22
()()a b a b a b +-=-
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积． 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系可得5﹣3＜a ＜5+3，解不等式即可求解．
【详解】
由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a ＜5+3，
即2＜a ＜8，
由此可得，符合条件的只有选项C ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a ＜5+3是解此题的
关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.
【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：180180
3
2
x x
-= -
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．
【详解】
()
321
a a a a
-=-=a（a+1）（a-1），故A错误；
2(1)
b ab b b b a
++=++，故B错误；
22
12(1)
x x x
-+=-，故C正确；
22
x y+不能分解因式，故D错误，
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．5．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，过点D作DE AB
⊥于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D作DE AB
⊥于E，
AC 8=Q ，1DC AD 3
=， 1CD 8213
∴=⨯=+， C 90∠︒=Q ，BD 平分ABC ∠，
DE CD 2∴==，
即点D 到AB 的距离为2，
故选C ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AE ⊥AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥AG ，可以得到∠EAF=∠ABG ，而AE=AB ，
∠EFA=∠AGB ，由此可以证明△EFA ≌△AGB ，所以AF=BG ，AG=EF ；同理证得
△BGC ≌△CHD ，GC=DH ，CH=BG ．故可求出FH 的长，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】
∵如图，AE ⊥AB 且AE=AB,EF ⊥FH,BG ⊥FH ⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90º，∠EAF+∠BAG=90º，∠ABG+∠BAG=90º⇒∠EAF=∠ABG ，
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG ⇒△EFA ≌△AGB ，
∴AF=BG ，AG=EF.
同理证得△BGC ≌△CHD 得GC=DH ，CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=
12
(6+4)×16−3×4−6×3=50. 故选A.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于证明△EFA ≌△AGB 和△BGC ≌△CHD.
7．C
解析：C
解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；
B ．23a a a += ，故B 错误；
C ．1x y x xy +=+（
） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．
故选C ．
8．B
解析：B
【解析】
图（4）中，
∵S 正方形=a 2-2b （a-b ）-b 2=a 2-2ab+b 2=（a-b ）2，
∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2．
故选B
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先把分母因式分解，再约分得到原式=
2x y x y +-，然后把x=3y 代入计算即可． 【详解】
原式=()22x y x y +-•（x-y ）=2x y x y
+-， ∵x-3y=0，
∴x=3y ，
∴原式=63y y y y +-=72
． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
10．D
解析：D
【解析】
由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，
故选D.
11．D
解析：D
【解析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a 的值即可．
【详解】
不等式组整理得：13x a x ≥-⎧⎨≤⎩
， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x ＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，
即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=
22
a -， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴CD=DE ，
在Rt △ACD 和Rt △AED 中，
{CD DE AD AD
＝＝， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），
∴AE=AC=6cm ，
∵AB=10cm ，
∴EB=4cm ．
故选C ．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可【详解】；故答案为【点睛】本题考查了有理数的混合运算熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键 解析：12
－ 【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算法则求解即可.
201920202021202020201111212222
⨯⨯⨯－＋（）＝－＋（） 202011=1222
⨯⨯－＋（） 11=1=22
－＋－；故答案为12－. 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键. 14．且【解析】分式方程去分母得：2（2x-a ）=x-2去括号移项合并得：3x=2a-2解得：∵分式方程的解为非负数∴且解得：a≥1且a≠4
解析：1a ≥-且2a ≠
【解析】
分式方程去分母得：2（2x -a ）=x -2，
去括号移项合并得：3x =2a -2， 解得：223
a x -=， ∵分式方程的解为非负数，
∴
2203a -≥且 22203
a --≠， 解得：a ≥1 且a ≠4 ． 15．【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质am·an=am+n 即可解题【详解】解：am+n=am·an=5×6=30【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算属于简单题熟悉法则是解题关键
解析：【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法性质a m ·a n =a m+n ,即可解题.
【详解】
解：a m+n = a m ·
a n =5×6=30. 【点睛】
本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.
16．1【解析】【分析】先化简再整体代入解答即可【详解】因为m2+2m ＝1所以的值为1故答案是：1【点睛】考查了代数式求值熟练掌握运算法则是解本题的关键
解析：1
【解析】
【分析】
先化简，再整体代入解答即可．
【详解】
224m 42+++÷m m m m
22
(2)2
m m m m +=⨯+ 22,m m =+
因为m 2+2m ＝1，
所以224m 42+++÷m m m m
的值为1， 故答案是：1
【点睛】
考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式若有公因式则把它提取出来之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式若是就考虑用公式法继续分解因式因此先提取公因式后继续应用平方 解析：()()x x 2x 2-+-
【解析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：
()
()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-． 18．【解析】【分析】从已知条件结合图形认真思考通过构造全等三角形利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值【详解】如图在AC 上截取AE=AN 连接BE ∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ∴∠EAM=∠NAM ∵AM
解析：22
【解析】
【分析】
从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【详解】
如图，在AC 上截取AE=AN ，连接BE
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM=∠NAM ，
∵AM=AM
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME=MN ．
∴BM+MN=BM+ME≥BE ．
∵BM+MN 有最小值．
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，
又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，
∴BE=
即BE 取最小值为
∴BM+MN 的最小值是
【点睛】
解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．
19．CE=BC 本题答案不唯一【解析】再加利用SSS 证明≌故答案为
解析：C E =BC ．本题答案不唯一．
【解析】
AC DC =，BC EC =，再加AB DE =，利用SSS,证明ABC V ≌DEC V ．
故答案为AB DE =.
20．0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案【详解】∵ab 互为相反数∴a+b=0∴a2﹣b2=（a+b ）（a ﹣b ）=0故答案为0【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相
解析：0
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【详解】∵a ，b 互为相反数，
∴a+b=0，
∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
三、解答题
21．BN=CM ，理由见解析.
【解析】
【分析】
连接PB ，PC ，根据角平分线性质求出PM=PN ，根据线段垂直平分线求出PB=PC ，根据HL 证Rt △PMC ≌Rt △PNB ，即可得出答案．
【详解】
解：BN=CM，理由如下：
如图，连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中，
PC PB PM PN
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，能正确地添加辅助线是解题的关键.
22．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意由“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△EDF
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCDF是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵AF=EC
∴AC=EF
又∵BC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF
（2）∵Rt△ABC≌Rt△EDF
∴BC=DF，∠ACB=∠DFE
∴∠BCF=∠DFC
∴BC∥DF，BC=DF
∴四边形BCDF是平行四边形
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是灵活运用性质和判定解决问题．
23．13
【解析】
【分析】 先根据分式的混合运算得到
21x x
+，再把230x x +-=变形为2=3x x +，再代入到化简结果中计算即可.
【详解】
321121
x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭， =21(1)(1)1(1)x x x x x x x -++-⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭
=1(1)1(1)x x x x -⎛⎫⋅ ⎪-+⎝⎭ =
1(1)x x + =21x x
+ 当230x x +-=，即23+=x x 时，
原式=
13
. 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，在分式的化简过程中要注意运算顺序，化简后的最后结果要化成最简分式或整式.
24．
11
a a +- 1+ 【解析】
【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．
【详解】
211()22
a a a a -+÷++ =2221221
a a a a a ++++-g =11
a a +-
当1a =
时
原式
1
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键.
25．（1）甲购进45件，乙购进30件；（2）7980元
【解析】
试题分析：设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件,根据甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元，列方程求解即可.
试题解析：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件,
依题意得960010350
90
1.5
x x
-=，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）售完这批电器商场共获利（10350+9600）×40%=7980元.答：售完这批电器商场共获利7980元.。