高三数学上学期期末考试试题理含解析试题 8

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期期末考试试题理〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题〕
{|A x y ==，集合2{|0}B x x x =-<，那么A B =〔〕
A.∅
B.{|
1}<x x C.{|01}x x << D.{|0}x x <
【答案】D 【解析】 【分析】 可以求出集合A 、B ，然后进展交集的运算即可．
【详解】解：
{}{}101A x x x x =-≥=≤，{}
{200B x x x x x =->=<或者}1x >，
{|0}A B x x ∴⋂=<．
应选：D ．
【点睛】此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考察了计算才能，属于根底题．
4312i
z i
+=
+的虚部为〔〕 A.i B.i -
C.1
D.-1
【答案】D 【解析】
由()()()()43124310521212125
i i i i
z i i i i +-+-=
===-++-，所以复数的虚部为1-，应选D ． 0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，那么a 的值是〔〕
A.1
B.－1
C.2
D.－2
【答案】A
【解析】 【分析】
将圆的圆心代入直线方程即可. 【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，
又圆的HY 方程为2
2(1)
(2)4x y -++=，
所以直线经过圆心(1,2)-， 所以1a =， 应选A ．
【点睛】此题考察直线和圆的位置问题，是根底题．
()1,2AB =-，(),5BC x =-，假设7AB BC ⋅=-，那么AC =〔〕
A.5
B.
C.6
D.【答案】A 【解析】 【分析】
通过向量的数量积求解x ，并求出向量AC 的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出AC
．
【详解】解：向量
()1,2AB =-，(),5BC x =-，假设7AB BC ⋅=-，可得107x --=-，解得
3x =-，
所以
()4,3AC AB BC =+=--，那么(5AC =-=．
应选：A ．
【点睛】此题考察向量的数量积的运算，向量的模的求法，是根本知识的考察．
的一幅“勾股圆方图〞(又称“赵爽弦图〞)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的
一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼
成一个大正三角形，如图2所示，假设
5AD =，3BD =，那么在整个图形中随机取点，此点来自中间
一个小正三角形(阴影局部)的概率为〔〕 A.
964
B.
449
C.
225
D.
27
【答案】B 【解析】 【分析】
求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的
关系即可求解． 【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
在
ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为
222153253492AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，解得7AB =，
2DE AD BD =
-=，224()749
DEF ABC
S S
∴
==． 应选：B ．
【点睛】此题考察三角形的余弦定理，同时也考察了利用几何概型的概率公式计算概率，考察方程思想和运算才能，属于根底题．
6.假设x 、y 满足约束条件21
210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，那么z=3x-2y 的最小值为〔〕
A.
13
B.13
-
C.5-
D.5
【答案】C 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目的函数得答案．
【详解】由题意，画出约束条件，所表示的平面区域，如下列图，
化目的函数32z
x y =-为322
z y x =
-， 由图可知，当直线
322
z
y x =
-过A 时，直线在y 轴上的截距最大， 联立21
21x y x y +=⎧⎨+=-⎩
，解得A 〔-1，1〕，
可得目的的最小值为3(1)215z =⨯--⨯=-，应选C ．
【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题． 7.将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所任教，每所至少安排1人，那么甲不去A 的不同分配方法
有〔〕 A.18种 B.24种
C.32种
D.36种
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个，②没有人与甲在同一个，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论， ①其他三人中有一个人与甲在同一个，有1
1
2
32212C A A =种情况，
②没有人与甲在同一个，那么有1
2
2
23
212C C A =种情况；
那么假设甲要求不到A ，那么不同的分配方案有121224+=种；
应选：B ．
【点睛】此题考察排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．
0x >，0y >，那么“1xy ≤〞是“224x y +≤〞的〔〕
A .
充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】 通过举反例得到“1xy ≤〞推不出“224x y +≤〞；再由“224x y +≤〞⇒“1xy ≤〞.能求出结
果． 【详解】解：
实数0x
>，0y >，∴当3x =，14
y =
时，134
22224x y +=+>， ∴“1xy ≤〞推不出“224x y +≤〞；
反之，实数0x
>，0y >，由根本不等式可得22x y +≥
由不等式的根本性质得224x y ≤+≤，整理得2
4x y
+≤，2x y ∴+≤，
由根本不等式得2
12x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y +≤〞⇒“1xy ≤〞．
∴实数0x >，0y >，那么“1xy ≤〞是“224x y +≤〞的必要不充分条件．
应选：B ．
【点睛】此题考察充分条件、必要条件、充要条件的判断，考察不等式的性质等根底知识，考察运算求解才能，是中等题．
()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移
6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g
x 的图象．假设
()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，那么12x x -的最大值为〔〕
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．
【详解】解：函数
()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移
6π个单位，得到
226y sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
象，再向上平移1个单位，得到()2216g
x sin x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的图象，
由于假设()()129g
x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，
所以函数在1x
x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭都获得最大值．
所以()1226
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，解得16
x k π
π=+
，
由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176
x π=，同理2116x π=-，所以711366
πππ+=．
应选：C ．
【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于中等题．
()1211x f x x e ⎛⎫
=
+ ⎪-⎝⎭
有以下结论： ①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(),0-∞上单调递增；④()f x 恒大于0．
其中所有正确结论的编号是〔〕 A.①③ B.②④
C.③④
D.①③④
【答案】D
【解析】 【分析】
利用函数的奇偶性、单调性直接求解．
【详解】解：函数
()1211x f x x e ⎛⎫=
+ ⎪-⎝⎭
， 在①中，
()()121211************ x x x x x x x e e e f x f x x e x e x e e x e -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
-=+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭．
∴函数()1211x
f x x e ⎛⎫
=
+ ⎪-⎝⎭
是偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确； 在②中，函数
()1211x
f x x e ⎛⎫=
+ ⎪-⎝⎭
是偶函数，图象关于y 轴对称，故②错误； 在③中，任取120x x >>，
那么()()()
21
1212122222211111111x x x x x x
x x e e e e e e e e -⎛⎫⎛⎫
+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭， 120x x >>，2
1
0x x e e ∴-<，1
10x e ->，2
10x e ->，1222
1111
x x e e ∴+
<+
--， 11121
1011
x x x e e e ++=>--，同理2
2101x e +>-，即212211011x x e e +>+>--， 120x x >>，21110x x ∴
>>，212112121111x x x e x e ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，即()()12f x f x <， 所以，函数
()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，那么该函数在区间(),0-∞上为增函数，
故③正确；
在④中，当0x
>时，
10x >，2101
x e +>-，()0f x >， 当0x <时，10x <，2
101
x e +<-，()0f x >，()f x ∴恒大于0，故④正确．
应选：D ．
C ：22x py =的焦点为F
，定点()M ，假设直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中
间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，假设7BN BF
=，那么AF 的长为〔〕 A.
78
B.1
C.
76
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．
【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，那么'BF BB =，
由
7BN BF
=，得
7'BN BB =，可得1sin 7
BNB '∠=
，
cos BNB '∴∠=
tan BNB '∠=
又(
)
M
，AB ∴
的方程为
y x =-， 取0x =，得12y =
，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，那么1p =，∴抛物线方程为2
2x y =．
联立22y x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
，解得23A
y
=
．1217
2326
A AF y ∴=+=+=． 应选：C ．
【点睛】此题考察抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，考察计算才能，是中档题．
12.如图，在
ABC 中，1cos 4BAC ∠=
，点D 在线段BC 上，且3BD DC =
，AD =，那么
ABC 的面积的最大值为〔〕
A. B.4
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 设
BAD θ
∠=，那么
0BAC
θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由
1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=
⋅∠()4213
sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】解：设BAD θ∠=，那么0BAC θ<<∠．
3BD DC =，AD =
，3
4
ABD ABC
S
S ∴=，
131
242
AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 8
3AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，
()421(sin θϕ⎤=
+-⎦其中tan ϕ=，
0BAC θ<<∠，∴当22
π
θϕ+=
时，sin(2)1max θ
ϕ+=，()ABC max
S
∴=
应选：C ．
【点睛】此题考察了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考察了运算才能和转化才能，属于中档题．
二、填空题〔本大题一一共4小题〕
2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，那么最大的数为______．
【答案】0.22 【解析】 【分析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【详解】解：
22log 0.2log 10<=，2log 0.20∴<，
0.20221>=，0.221∴>，
0.3000.20.21<<=，0.300.21∴<<，0.22∴最大，
故答案为：0.22．
【点睛】此题考察三个数的大小的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
14.F 是双曲线C ：2
2
13
y x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，假设OP OF
=，那么
OPF
的面积为______． 【答案】
32
【解析】 【分析】
由题意画出图形，不妨设F 为双曲线C ：2
2
13
y x -=的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角
形面积公式求解．
【详解】解：如图，不妨设F 为双曲线C ：2
2
13
y x -=的右焦点，P 为第一象限点．
由双曲线方程可得，21a =，23b =，那么2c =，
那么以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为2
24x
y +=．
联立2222
4
13x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，解得32P ⎫⎪⎪⎝⎭，133
2222
OPF
S ∴=⨯⨯=． 故答案为：
3
2
． 【点睛】此题考察双曲线的简单性质，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．
{}n a 满足1a a =，()()()*1112n n n a a a n N +--=∈，假设数列{}n a 的前2021项的乘积为3，那么
a =______．
【答案】2 【解析】 【分析】
此题先根据递推式的特点可知1n
a ≠，然后将递推式可转化为11.1n
n n
a a a ++=
-再根据1a a =逐步代入前几
项即可发现数列
{}n a 是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2021项
的乘积为3求出a 的值．
【详解】解：由题意，根据递推式，1n
a ≠，故递推式可转化为111n n n
a a a ++=
-．
1a a =，211a a a
+∴=-，232111111111a a a a a a a a
++
+-=
==-+---，3431
1111111a a a a a a a -
+-===-++， 45411111
111
a a a a a a a a -+
++==
=---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列，1234111
111
a a a a a a a a a a +-⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅
⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭． 201945043=⨯+，122019
123111
311
a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫∴⋅⋯=⋅⋅=⋅
⋅-== ⎪--⎝⎭， 解得2a
=．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考察周期数列的断定以及周期数列的性质应用，此题属中档题．
()()1f x x sinx cosx =++，假设对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，均有
()()1212|x x f x f x a e e --成立，那么实数a 的取值范围为______．
【答案】
[)1,+∞
【解析】 【分析】
求导可知函数
()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，
均有
()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，那么函数()h x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为
减函数，求导后转化为最值问题求解即可． 【详解】解：
()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，
任意的
()1212,0,2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，
不妨设12x x <，那么()()12f x f x <，又12x x e e <，
故()()1212|x x f x f x a e e --等价于()()2121x x f x f x ae ae -<-，
即
()()1212x x f x ae f x ae ->-，
设()()()1,0,
2x x h
x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤
=-=++-∈⎢⎥⎣
⎦
，
易知函数()h
x 在0,2π
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上为减函数，
故()()'
10x
h x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1x
x cosx a e
+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设()
()1,0,
2x
x cosx g
x x e π+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，
那么()()()211'0()x x
x x
cosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e
⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤， 故函数()g
x 在0,2π
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上为减函数，那么()()01max g x g ==，故1a ≥．
故答案为：
[)1,+∞．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考察转化思想，属于中档题．
三、解答题〔本大题一一共6小题〕
()23f x sinxcos x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
()1求512
f π
⎛⎫
⎪⎝
⎭的值；
()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．
【答案】〔1〕1
2
-
；〔2〕最小正周期为π，
()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦.
【解析】 【分析】
〔1〕结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对函数进展化简，然后直接代入即可求解； 〔2〕结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：(1)因为
()
2
12sin cos sin cos 2222f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
11cos 21
sin 2sin 2cos 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝
⎭， 所以
5571sin sin sin sin 12636662f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭；
〔2〕
()f x 的最小正周期22
T ππ=
=．
令2222
3
2
k x k π
π
π
π
π-
≤+
≤+，解得51212
k x k ππππ-
≤≤+， 所以
()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
． 【点睛】此题主要考察和差角公式及二倍角，辅助角公式对函数进展化简，考察了正弦函数的性质的应用，属于中等题.
{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.
()1求数列{}n a 的通项；
()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．
【答案】
()21,122,n n n a n n -⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数
；()22
8n S n =-.
【解析】 【分析】
()
1利用数列的递推关系式推出
114
n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，
241222n n a n ⎛⎫
=+-=- ⎪⎝⎭
，分别求解通项公式；
()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可．
【详解】解：
()
1141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯①，
()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②
-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯
当n 为奇数，1141212n
n a n +⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭
所以21,22,n
n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数
为偶数
； ()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，
()()()
()224622424482
n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．
【点睛】此题考察数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题． 19.
()2(,f x kx sin x asinx k =-+a 为实数)．
()1当0k =，2a =时，求()f x 在[]0,π上的最大值； ()2当4k =时，假设()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围．
【答案】
()1；
()2[]22-,.
【解析】 【分析】
()1求导后，列表得x ，()'f x ，()f x 的变化情况，进而求得最大值；
()2依题意，2460cos x acosx --≤恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．
【详解】解：
()1当0k =，2a =时，()22f x sin x sinx =-+，
()()()2'2224222211f x cos x cosx cos x cosx cosx cosx =-+=-++=+-，
那么x ，
()'f x ，()f x 的变化情况如下：
2()3
f x f π
⎛⎫∴==
⎪⎝⎭
最大值；
()()2f x 在R 上单调递增，
那么
()()2242cos sin cos 0f x x x a x '=--+≥对x R ∀∈恒成立，
得2460cos x acosx --≤， 设[]1,1t
cosx =∈-，()246g t t at =--，
那么()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，那么有()()120
120g a g a ⎧-=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩
，得22a -≤≤．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，最值，考察不等式的恒成立问题，考察转化思想及换元思想，属于根底题．
Γ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点(),0F c 的直线l 与椭
圆交于B ，C 两点，当BC
x ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18．
()1求椭圆Γ的方程；
()2如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线x c =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ，问x 轴上是否存在
点P ，使得PM
PN ⊥，假设存在求出点P 的坐标；假设不存在说明理由．
【答案】()122
11612
x y +=；()2存在，P ()1,0-或者()5,0.
【解析】
【分析】
()1由离心率及三角形ABC 的面积和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；
()2由()1知A 的坐标，设直线BC 的方程，及B ，C 的坐标，进而写直线AB ，AC 的方程，与直线x c =联立
求出M ，N 的坐标，假设存在P 点，是PM
PN ⊥，使0PM PN ⋅=，求出P 点坐标．
【详解】解：()1由条件得()222212
1
2182
c a b a c a a b c ⎧
=⎪⎪
⎪⨯+⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得4,a b ==； 所以椭圆Γ的方程为22
11612
x y +=：；
()2设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，
那么直线AB 、AC 的方程分别为
()1144y y x x =
++和()2244
y
y x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
、，
联立()22211612
y k x x y
⎧=-⎪⎨+
=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=， 所以22121222
161648
,3434k k x x x x k k
-+==++； 于是
()()()()
()()2
2121212121212121236243622664444416M N k x x x x k x x y y y y x x x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=⋅==
+++++++22
2
2222
22
164816362434349164816416
3434k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪
++⎝⎭=
=--++++，
假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，那么2(2)0M N t y y -+=，所以1t =-或者5，
所以当点P 为
()1,0-或者()5,0时，有PM PN ⊥．
【点睛】考察椭圆方程的求解，考察直线与椭圆的综合应用，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考察计算才能，属于中难题．
21.“一票通〞景区旅游年卡，是由旅游局筹划，大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全19家签约景区．为理解民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进展随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
()1求所得样本的中位数(准确到百元)；
()2根据样本数据，可近似地认为民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ，假设该总人口为750万
人，试估计有多少民每年旅游费用支出在7500元以上；
()3假设年旅游消费支出在40(百元)X ，求X 的分布列与数学期望．
(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈
【答案】
()145(百元)；()217.1万；()3分布列见解析，()245
E X =．
【解析】 【分析】
()1设样本的中位数为x ，可得
()40103904000.510001000100020
x -++⋅=，解得x ； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为
()1(22)
22
P x P x μσμσμσ--<<+≥+=
，即可估计有多少万民旅游费用支出在7500元以上；
()3由表格知一年内游客继续来该景点玩耍的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得
出．
【详解】解：
()1设样本的中位数为x ，那么
()40103904000.510001000100020
x -++⋅=， 解得45x =，所得样本中位数为45(百元)；
()245μ=，15σ=，275μσ+=，
旅游费用支出在7500元以上的概率为
()1(22)10.9544
20.022822
P x P x μσμσμσ--<<+-≥+=
==，
0.022875017.1⨯=，估计有17.1万民旅游费用支出在7500元以上；
()3由表格知一年内游客继续来该景点玩耍的概率为35
，X 可能取值为3，4，5，6．
()3283()5125P X ===
，()12
332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3327
6()5125
P X ===，
故其分布列为：
()34561251251251255
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
． 【点睛】此题考察了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
()()1x f x alnx x e =--，其中a 为非零常数．
()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；
()2假设a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，
1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕〔i 〕证明见解析；〔ii 〕证明见解析. 【解析】 【分析】
()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进展分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定
极值，
()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；
()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()0
12011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪
⎨--=⎪⎩
，结合函数的性质可证．
【详解】解：
()1解：由，()f x 的定义域为()0,+∞，
()2x x
a a x e f x xe x x
-=-=
'，
①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，
所以
()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；
②当0a
>时，令()2x
g x a x e =-，
那么由于()g
x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>
，
(
10
g a a =-=-<，
所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，
所以当()00,x x ∈
时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即
()'0f x <，
所以当0a
>时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.
综上所述，当0a <时，函数
()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；
()2证明：()i 由()1知
()2x
a x e f x x
-'=
．
令()2x g
x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，
所以()0g
x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，
不妨设为0x ，那么()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，
所以0x 是()f x 的唯一极值点．
令()1h x lnx x =-+，那么当1x >时，()1'10h x x
=-<， 故()h
x 在()1,+∞内单调递减，
从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．
从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=
又因为
()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．
()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()0
12011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪
⎨--=⎪⎩
，
从而()0
120111x x x e
lnx x e =-，即10
1120
1x x x lnx e x --=
． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，
故
10
1120
11x x x e x x --<-，即102
0x x e x -<，
两边取对数，得1020x x lne
lnx -<， 于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值问题，表达了转化的思想方法，还综合考察了函数与导数的综合应用，属于难题．。