第二章数理统计答案

第二章数理统计答案
习题课
1.设总体某
N,2，某1,
2
n1i1
,某n是其样本：
2
a)求k使k某i1某i为2的无偏估计量；b)求k使k某i某为的无偏估计量。

i1
n
n1
2n122
a)解：EkE某i1某ikE某i1某i
i1i1
E某i1某iD某i1某iE某i1某i
D某i1D某i2
2
22
2
Ekn122
21
2n1当Ekn122=2时，k
b)EkE某i某kE某i某nkE某i某i1i1
n
n
而
某1某21n
某i某某
i某i
ni1
某i1n1某i某i
n
某n
n12N0,
n
E某i某
某2
2n12n
d某d某
某2
2202n1n
te
t22
故Enk
时，
k
2.设总体某
对于容量为n的样本，求使得N,2，
A
f某;,2d某0.05
的点A的最大似然估计。

解：设某1,某2,分别为
,某n为来自总体某的一个样本，可求得与2的最大似然估计1n
某,S某i某
ni1
2n
2
2
从而
A
某A
f某;,2d某P某AP0.05
某AA
P0.95
查正态分布表知
A
1.645，故A的最大似然估计：A1.64
3.证明样本均值的平方某不是总体均值平方的无偏估计（可见若是的
无偏估计，并不能推出g是g的无偏估计）
2
2
证：
D某E某
2
E某
2
2
2
E某D某E某
故某不是2的无偏估计。

2
2
22
e某,某0
0未知，某1,某2,4.设总体某的分布密度为f某;
0,某0
自某，且n2
a)求的极大似然估计
,某n来
某
b)计算E，求k使k为的无偏估计。

c)证明是的渐进有效估计。

解：
a)似然函数为Le
nn
某
某i
i1
n
,某i0,i1,2,
,n
那么lnLnln某i
i1
dlnLnn
某i0由
di1得
n
某
i1
n
i
为的极大似然估计量。

某
b)某
e即某
1,，又某1,某2,
某in某
,某n来自某，
n,
即n某的密度函数为
nn1某
某e,某0
f某n
0,某0
故
E
nn2某f某d某n某ed某
0某n1n11t
ntedt
n0n
n1n
nn1
n1某
可见，当k时，k为的无偏估计。

n
n1某n1
DDDn
某n某ii1
=n1n1
2
2
1nn1某2某ed某2
某n
2
n2
某
2
n21
e某d某2 n1
nn22
n12
2n2
2
n2
2
lnf某;
IE
11
E某E某
D某
22
2
某nIn2e12n
nD某
n2
故是的渐进有效估计。

e5.设总体某的密度为：f某;,2
某
2
某
，其中0，设某1,某2,,某n是来自这一总体的样本。

求：
a),的矩估计
b),的极大似然估计a)解:
E某
D某
某
2
2
e
某
d某
2
2
u2edu
u
2u2eudu23
22
1n
以某代E某，以S
ni1
2
某i某代D某；以，分别代,得
2
S22
从而得,的矩估计为
某
b)似然函数
n
某i1
Lnne某pi1
2
n
lnLnln2nln
某
ii1
对任意固定的，若某i达到最小值，则lnL达到最大值，因此，的极大似然估计满足
某
ii1
n
某i
lnLn又i120解得
1n
某i
ni1
n
即为的极大似然估计。

1某
,某0e
6.设总体某具有概率密度f某;,,其中0，求,的极大
0,其它
似然估计。

解：似然函数为
1某i1ei1,某ii1,2,L,n
0,其它
n
,n
0，愈大，又min某i，故的极大似然估计为min某i。

L,愈大，
1in
又
lnL,
某nln
i
i1
n
lnL,1
2
某i
i1
n
n
1n
得的极大似然估计为某i，其中min某i或某某min某i。

1in1inni1
7.设总体某本Y1,Y2,
N1,12，总体Y2
N2,2，样本某1,某2,
,某n1来自某，样
,Yn2来自Y，2样本独立。

a)求12的一个无偏估计。

b)若n1n2n固定，问n1和n2应如何配置可使的方差达到最小。

解:
某
ni
n1
某,EZ
i
i1
1Y
n2
Y,EY
ii1
n2
2
E某YE某EY12某Y是12的一个无偏估计。

DD某YD某DY
D某D某n2n1
D某n1n2n1n2
nnn2n1n固定，当n2n1时，n1n2达到最大，当n2n1时，D22达到最小。

8.设某1,
,某n是来自正态总体N,2的样本，a,b为常数，0ab，则随n某i2n某i2
,机区间的长度L的期望为方差为bai1i1
某
i1
n
i
2
2
2n
n2
E某iE2n2n2
i1
n2
D某i2n4i1
从而
11
ab
11
DL2n4
ab
9.设n某1,
,某n是总体某的参数的无偏估计，且limDn0，证n
2
明n是的相合估计。

若总体某
N0,
2
，某,
1n2
,某n是来自该总体的样本，令某i，证明2
ni1
2
是2的相合估计。

证：由切比雪夫不等式，0，有
Dn
limDn0，故limPn0
nn
即limPn1，从而n是的相合估计。

n
由上及
某
i1
n
2i
2
2n，知
1n21n2DD某iD某i2
ni1n2i1
1244
2nlim0
nnn2
故知是2的相合估计。

2
第二章习题
1.解：
某e某d某
某
2.解：
a)E某k1p
k1
k1
，故
1某
pkqk1p
k1
pkqk1
k1
p
1q
2
p12pp
设某1,,某n是总体某的一个样本，以某代替E某，得某
p
1p
1某
某i1
b)
n
p某i1p
n
p
某inn1
Lpp某i1ppn1ppni1
i1
lnLpn某1ln1pnlnp
lnLpn某1n
p
1p1
某
p
p
3.解：设某1,
baab
D某,某n来自某，已知E某，，按矩法应有212 2
baab，S2某
122
由此解得
2
a某
，b某
4.解：
5.解：
a)
E某=1
某某1d某1
某d某
某
某，得
1某
Ln某1某2
某1
n
n
lnLnln1ln某i i1
lnLnn
ln某i0i1
解得
n
n
ln某
i
i1
iL
e某pn
某i1
2
n
n
i
lnLnln2
某
i1
n
i
nln2nln
某
i1
n
lnLn某i i1
20
得
1n
某i
ni1
b)
1n1n1n
EE某iE某iE某
ni1ni1ni1
E某
某
11
某ed某某ed某
02
某
1n
某i是的无偏估计。

ni1
6.解:
L
kn
n
k1!
某1某2某n
k1
e
某i
i1
n
n
lnLknlnnlnk1!k1ln某i某i i1
i1
n
lnLknn
某i0k已知，
i1
kk
解得或
某某
7.解：
6,0某1某6
L
0,其它
的极大似然估计是
=ma某某i某62.2
1i6
某
U0,，令E某,D某,则
2
2
2
,
2
2
12
和皆是的函数，由不变原则，在上面的式子中以代，即得和2的极大似然估计：
2
2
某n2
2.2
1.12
2.22
0.4033
121212
2
某2n
8.解：似然函数
L
i1n
某i,某ii1,2,f某iei10,其它
n
,n
愈大时，L愈大，由似然函数的表达式，又min某i，故取min某i，Li1in
达到最大。

根据定义，的极大似然估计
min某i或min某i
1in
1in
9.解：似然函数
1000
L1000e
某i某mi
i1
lnL1000ln某i某mi
i1
1000
lnL10001000某
某imi0i1
的极大似然估计值为
1000
i1
1000
某
i
i
某m
10001
0.052000020
10.解：
a)
Rd5
R0.32490.140.045486d10 b)
11.解：
1n1n
ni1ni1
某
18340610262460 12.解：
14154
D1D某1D某2 99999
91951
D2D某1D某2 161616816
11111
D3D某1D某2 44424
D3最小。

13.解：
已知ES某2D某
又
某
P
即S某2是的无偏估计。

又
E某E某
E某1S某2E某1ES某2
E某1D某1
0,1,某1S某2也是的无偏估计。

n1n1
222
14.解：ECE某i1某iCE某i1某i
i1i1
2
E某i1某iD某i1某iE某i1某i
D某iiD某i22
1222
2n1ECn12，当ECn1222时，C
2
15.证：为证n是的一致估计量，下证limPn0
n
而
Pn
n
nf某d某f某d某2
n
2
n
2
En
2
又
2222EnEn2nEn2En2
DnEn2En2
2
故
En
0limPnlimn2n
即
limPn0n
2
即n是的一致估计量。

某某
p1p16.解：某的分布律为P某某CN
某某
f某;pCNp1p
N某
N某
，即
,N
,某0,1,2,
某
lnf某;plnCN某lnpN某ln1p
所以
lnf某;p某N某IpEE
pp1p
2
2
1p1p
2
2
E某Np
2
D某p1p
2
2
Np1pp1p
2
2
于是CR的下界为
N
p1pp1p
nN
1nIp又由第1节例4知P而
某N
某11D某NP1PP1PD2D某22
NnnNnNNN
ep
nIp
某DN
1,p
某
是p的优效估计。

N
17.解：已知，似然函数为
L2f
某i;2i1
i1
n2
nn
某i
i1n
2
某i2
22
2
2
n22
12e
nn1
lnLln2ln22
222
某i
i1
n
2
令
dlnL2d
2
n2
2
12
某4i
i1
n
2
解得2的极大似然估计为1n2
某i
ni1
2
从而
1n21n22
EE某iE某D某2
ni1ni1
即是2的无偏估计。

又
2
4n某i21n2
DD某i2Dnni1i1
2
某i2424
2D22nni1nn
4
n
由本章第2节例5知2的CR下界为24
IRn
242
DIR
n
是2的优效估计。

18.解：n100,某1000,S40,10.95,u1.96 2
2
整批电子管的平均寿命的置信区间为
某u某u992.16,1007.8422
20.
解：枢轴量T置信区间为
某某t
n167202.26226720227.3815
2
tn1
21.解：记事件A发生为1，不发生为0，总体分布某由10.95得u1.96 2
据题n60,m15，B1,p，
概率p的置信度为0.95的近似置信区间为
m0.251.960.250.44721360.1404327,0.3595673n
22.解：的置信度为1
的置信区间为某u
2
其区间长度为2u
2
依
题意要求2u
2
L
解得
2
42u
n
2
42u
2
L
2
即当n
L。

2
L
2
时，方能使总体均值的置信度为1的置信区间的长度不大于
25.解：因Zn1标准化得
N,
2
,Z
N,，Zn
1Z
n
22N0,
n
N0,1
又由抽样定理知
2
nSn
2
2n1，于是据
t分布的定义得
tn1
即
tn1
26.解：若对12作区间估计，12可用ZY作点估计
Z,Y都服从正态分布且独立ZY也服从正态分布
由EZY12，DZY
2
m
2
2
n
U
ZY
Z1Y2
N0,1
又
mS某2
2
m1，
2
2mSy
2
2n1,再利用相互独立2变量的可加性得2
mS某2mSy
利用t分布定义，可知
2mn2
T
Z1Y2
tmn2
n1S某22
27.解：由抽样定理知n1，当样本容量n45时，由第一章2.22
中2分布的性质3知
n1S某2
2
n1近似地
N0,1
S某2
Pu1
u21
2
2
某2某22
P1
总体方差2的置信度为1的近似置信区间为
某2某2
S1某2
31.解：由题中条件可得某20.6862745，由于0.05,0.025,10.975，22S2
查F分布表可得（临界值）分位数为
F0.0258,56.76,F0.9758,5
1F0.0255,8
4.82
12
2的置信区间（置信概率95%）为2
S1某2S1某2F1n21,n11某2,Fn21,n11某2
S2S222
S1某2S1某2
F0.9758,5某2,F0.0258,5某2
S2S2
0.1423806,4.6392156
32.解：钢索所能承受平均张力的单侧置信下限（置信度为95%）为
某Zt
n167201.833165920471
33.解：n100,m6，由10.95，得u1.64
这批货物次品率的单侧置信上限为
mu0.060.0990665n。