2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业70 第9章解析几何15含解析

课时作业（七十）
1．已知椭圆x2＋错误!＝a2(a>0）与A(2，1),B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是
A．0<a〈错误!B．0<a<错误!或a〉错误!
C．a<错误!或a>错误!D。

错误!<a〈错误!
答案B
解析椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界，将A、B两点代入解，a＝错误!,a＝错误!，由数形结合知，B正确．
2．已知A、B、C三点在曲线y＝错误!上,其横坐标依次为1，m，4(1〈m<4），当△ABC的面积最大时,m等于
A．3 B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析A(1,1)，C（4，2)，直线AC方程为x－3y＋2＝0.
设点B到直线AC的距离为d.
∴S△ABC＝错误!|AC｜·d＝错误!·错误!·错误!
＝错误!｜m－3错误!＋2｜。

∵1<m〈4，∴1〈错误!<2，当且仅当错误!＝错误!时，
S△ABC取最大值，∴m＝错误!,∴B正确．
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D．3
答案A
解析设与抛物线y＝－x2相切且与直线4x＋3y－8＝0，
平行的直线方程为4x＋3y＋d＝0。

错误!3x2－4x－d＝0，Δ＝16＋12d＝0，d＝－错误!。

∴距离最小值为错误!＝错误!，故A正确．
4．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ）
A．5 B．8
C。

错误!－1 D。

错误!＋2
答案C
解析抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0)，圆x2＋(y－4）2＝1的圆心为C（0，4）,设点P到抛物线的准线的距离为d,根据抛物线的定义有d＝｜PF|,∴|PQ｜＋d＝|PQ|＋｜PF｜≥(｜PC｜－1)＋｜PF｜≥|CF|－1＝错误!－1。

5．若双曲线x2－y2＝1的左支上一点P(a,b)到直线y＝x的距离为错误!,则a＋b的值为________．
答案－错误!
解析P(a，b)到x－y＝0的距离为错误!，
∴错误!＝错误!，∴|a－b|＝2。

又P在双曲线x2－y2＝1上，∴a2－b2＝1。

∵P在左支上，∴｜a｜〉｜b|。

又a〈0，∴a－b＝－2.
∴a＋b＝－错误!。

6．已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B，两点，在抛物线AOB这段曲线上有一点P，则△APB的面积的最大值为________．
答案错误!
解析由弦长公式知|AB｜＝3错误!，只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大．
设与l平行的直线y＝2x＋b与抛物线相切，解得b＝错误!。

∴d＝错误!，∴（S△APB）max＝错误!×3错误!×错误!＝错误!.
7．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－错误!y＝4相切．
(1）求圆O的方程;
（2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使｜PA｜,｜
PO|，|PB|成等比数列，求错误!·错误!的取值范围．
解析（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y
＝4的距离，即r＝错误!＝2。

得到圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)不妨设A（x1,0），B(x2，0），x1<x2。

由x2＝4,即得A（－2，0），B(2,0）．
设P(x，y），由｜PA｜,｜PO｜，｜PB|成等比数列，得
错误!·错误!＝x2＋y2，即x2－y2＝2。

错误!·错误!＝(－2－x,－y）·（2－x，－y）＝x2－4＋y2＝2(y2－1）．由于点P在圆O内，故错误!由此得y2〈1.
所以错误!·错误!的取值范围为[－2，0）．
8．已知椭圆M：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的离心率为错误!，且椭圆
上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4错误!.
（1)求椭圆M的方程；
(2）设直线l与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭
圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
解析（1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周
长为6＋4错误!，所以2a＋2c＝6＋4错误!，又椭圆的离心率为错误!，即错误!
＝错误!，
所以c＝错误!a，所以a＝3，c＝2错误!，故b2＝a2－c2＝1。

椭圆M的方程为错误!＋y2＝1.
（2）方法一不妨设直线BC的方程为y＝n（x－3），(n〉0）,则直线AC的方程为y＝－错误!(x－3）．
由错误!得（错误!＋n2)x2－6n2x＋9n2－1＝0。

设A(x1，y1),B（x2,y2），
因为3x2＝81n2－9
9n2＋1，所以
x2＝错误!，
同理可得x1＝错误!。

所以|BC|＝错误!错误!，｜AC｜＝错误!错误!,
S△ABC＝错误!｜BC｜｜AC｜＝错误!。

设t＝n＋错误!≥2，
则S＝错误!＝错误!≤错误!,
当且仅当t＝错误!时取等号．
所以△ABC面积的最大值为错误!.
方法二不妨设直线AB的方程x＝ky＋m(m≠3）．由错误!消去x得（k2＋9)y2＋2kmy＋m2－9＝0.
设A(x1，y1），B（x2，y2），
则有y 1＋y 2＝－错误!，y 1y 2＝错误!。

①
因为以AB 为直径的圆过点C （3，0）,所以错误!·错误!＝0。

由错误!＝(x 1－3，y 1)，错误!＝（x 2－3，y 2)，
得(x 1－3）(x 2－3)＋y 1y 2＝0.
将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式，
得（k 2＋1）y 1y 2＋k （m －3)(y 1＋y 2)＋（m －3)2＝0.
将①代入上式，解得m ＝错误!或m ＝3(舍）．
所以m ＝错误!（此时直线AB 经过定点D （错误!,0)，与椭圆有两
个交点），所以S △ABC ＝12
｜DC ｜｜y 1－y 2| ＝错误!×错误!错误!＝错误!错误!.
设t ＝错误!，0<t ≤错误!,
则S △ABC ＝错误!错误!。

所以当t ＝错误!∈（0，错误!］时，S △ABC 取得最大值错误!。

9．（2013·大同调研)已知向量a ＝(x ，错误!y ),b ＝(1,0），且（a ＋错误!b ）⊥(a －错误!b )．
（1)求满足上述条件的点M (x ，y )的轨迹C 的方程；
(2）设曲线C 与直线y ＝kx ＋m (k ≠0）相交于不同的两点P 、Q ，点A （0，－1），当｜AP ｜＝|AQ |时，求实数m 的取值范围．
解析①∵(a＋3b)⊥(a－3b)，
∴（a＋3b）·(a－3b）＝0,∴a2－3b2＝0。

∴x2＋3y2＝3，即点M(x，y)的轨迹C的方程为错误!＋y2＝1.
②由错误!得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0。

∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km）2－12(1＋3k2）（m2－1）＝12（3k2－m2＋1）>0，即3k2－m2＋1>0.①
设P(x1，y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0，y0）,
则错误!
∵｜AP｜＝｜AQ｜，∴PQ⊥AN。

设k AN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴k AN·k＝－1，
即错误!·k＝－1，得3k2＝2m－1。

②
∵3k2>0，∴m〉错误!.
将②代入①得2m－1－m2＋1>0,即m2－2m<0，
解得0<m<2，∴m的取值范围为(错误!，2)．
10．（2012·浙江)如图，椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的离心率为错误!，其左焦点到点P（2,1)的距离为错误!,不过原点O的直线l与C 相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1)求椭圆C的方程；
（2）求△ABP面积取最大值时直线l的方程．
解析（1）设椭圆左焦点为F(－c,0），则由题意得
错误!得错误!
所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
(2）设A（x1，y1）,B（x2，y2），线段AB的中点为M。

当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符,舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m（m≠0），由错误!消去y，整理得
（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
则Δ＝64k2m2－4（3＋4k2）(4m2－12)>0，
错误!
所以线段AB的中点M(－错误!，错误!）．
因为M在直线OP上，所以错误!＝错误!，
得m＝0（舍去)或k＝－3 2。

此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0,则
Δ＝3(12－m2)>0，错误!
所以|AB｜＝错误!·｜x1－x2|＝错误!·错误!.
设点P到直线AB距离为d，则d＝错误!＝错误!.
设△ABP的面积为S,则
S＝错误!|AB|·d＝错误!·错误!，
其中m∈(－2错误!，0)∪（0,2错误!)．
令u(m）＝（12－m2)（m－4)2，m∈[－23，2错误!］，
u′（m）＝－4(m－4)(m2－2m－6）＝－4(m－4）·（m－1－错误!）(m－1＋7）．
所以当且仅当m＝1－错误!，u(m)取到最大值．
故当且仅当m＝1－7，S取到最大值．
综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2错误!－2＝0。

1．设θ∈（0，错误!），则二次曲线错误!－y2tanθ＝1的离心率的取值范围是（）
A．（0，错误!) B．(错误!，错误!)
C ．(错误!，2)
D ．（错误!，＋∞) 答案 D
解析 ∵x 2tan θ－错误!＝1,∴a 2＝tan θ，b 2＝错误!.
∴e 2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝1＋错误!。

∵θ∈（0，错误!），tan θ∈（0，1），∴错误!〉1. ∴e 2〉2，∴D 正确．
2．设双曲线错误!－错误!＝1(a ,b 〉0）的两条渐近线的夹角为θ（包含实轴的角），而离心率e ∈[错误!，2］，则θ的取值范围是
A ．[错误!，错误!]
B ．[错误!，错误!]
C ．［π2
,错误!］ D ．［错误!,π]
答案 C
解析 e ∈[错误!，2］，e 2∈［2，4］，1＋错误!∈[2，4]，错误!∈[1,3],错误!∈［1,3]，tan θ1∈[1，3］，∴θ1∈［错误!,错误!]．
∴θ＝2θ1∈[错误!，错误!π］,故C 正确．
3.如图，抛物线y2＝4x的一段与椭圆错误!＋错误!＝1的一段围成封闭图形，点N（1，0)在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上,且AB∥x轴，则△NAB的周长l的取值范围________．
答案l∈（10
3
，4）
解析N(1，0)是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点．设A（x1，y1)，B（x2，y2)，
｜NA|＝x1＋1,|NB｜＝a－ex2＝2－1
2
x2，
｜AB|＝|x2－x1|＝x2－x1,
∴△NAB的周长l＝｜NA|＋｜NB｜＋｜AB|＝x1＋1＋2－错误! x2＋x2－x1＝3＋错误!x2.
∵B在椭圆上，∴－2〈x2〈2。

又错误!解交点横坐标为错误!.
∴错误!<x2<2，∴l∈(错误!，4）．
4．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0),M，N是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上任意一点,且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0)，
若｜k1｜＋｜k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．答案错误!
解析依题意，设P(x0,y0）在椭圆x2
a2＋错误!＝1上，则错误!＋错误!＝
1.①
k PM＝错误!，k PN＝错误!，k PM·k PN＝错误!，由①得
错误!＝1－错误!＝错误!＝－错误!,故k PM·k PN＝－错误!,
则|k PM｜|k PN|＝错误!，据题意，得｜k PM|＋|k PN|≥2错误!＝1，即错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!.。