人教版九年级上册公式法课件
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a 1, b 2 3, c 3
2
2
b 4ac (2 33
2a
2
若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 （ B ）
A. k＜5
B. k＜5且k≠1
C. k≤5且k≠1
D. k＞5
第21章 一元二次方程
21.2.2 公式法
人教版 九年级上册
1.经历求根公式的推导过程
2.理解一元二次方程“二次”转化为“一次”
的数学思想，并能应用它解方程．
3.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
用配方法解方程 + = −
将方程化为一般形式得， + − =
移项得， + =
求根公式是
条件是
，
.
4.若关于x的一元二次方程
x 2x m 0
2
有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
（
）
A．m 1
B．m 1
C．m 1
D．m 1
5.解下列方程
2
（1）x +4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
2
解：x 2 x 5 0
a 1, b 2, c 5
2
b 4ac
2
2 4 1 (5)
24
2
b b 4ac
x
2a
2
2 24
2
x1 6 1, x2 6 1
注意：最后要化简
(2).x 3 2 3 x
2
解：x 2 3x 3 0
) <0
2a
因此方程无实数根
ax bx c 0(a 0)
2
b 4ac用字母△表示
2
即△=b 4ac
2
根据刚才的探讨
决定方程有无实
数根的是谁呢？
归纳：根的判别式△与方程的根的关系：
当△= b2 - 4 ac > 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠0) 有两不相等的实数根
b
c
x + x =a
a
2
b
b 2
c
b2
x + x +(
) =+
a
2a
a 4a 2
b 2
b 2 - 4ac
(x+
) =
2a
4a 2
∵4a 2 > 0
b2 - 4ac
2
的符号由b
- 4ac的符号决定
2
4a
b2 - 4ac的符号有三种情况
2
b 2
b 2 - 4ac
(x+
) =
2a
4a 2
b 2 - 4ac > 0
x=
( b - 4ac≥0)
2a
2
利用这个公式，我们可以由一元二次方
程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，
这种解方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列方程：
⑴
x -2 2 x 1 0 ；
2
解：∵ a 1, b -2 2, c 1，
∴ b 4ac (2 2) 4 11 4>0，
2
2
(2 2) 4 2 2 2
∴ x
2 1,
2 1
2
∴ 原方程的根是x1 2 1, x2 2 1.
（2）4x +4 x-1 -10-8 x ；
2
解：原方程变形，得4x +12 x +9=0，
∵ a 4, b 12, c 9，
2
∴ b 2 4ac 122 4 4 9=0，
b 2 - 4ac = 0
2
b - 4ac < 0
2
b - 4ac
> 0,
2
4a
当b2－4ac>0时，
b
x+
=
2a
即x =
- b
b2 - 4ac
,
2a
b 2 - 4ac
.
2a
-b + b 2 - 4ac
-b - b 2 - 4ac
所以x1 =
,x 2 =
.
2a
2a
2
当b - 4ac = 0时
二次项系数化为得， + =
配方得，
+ +
=
（ + ） =
开方得， +=
= −， =
±
视察这个方程一定有
解吗？
用配方法解一元二次方程
2
ax + bx + c = 0( a ≠0)
b
c
2
解：x + x + = 0
a
a
解：由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
k 1 0,
∴
0,
∴
k -1 ≠ 0,
∴ 2
4 - 4 k -1 > 0.
k＜5且k≠1，
故选B.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般情势
2.写出a,b,c 的值
3.求出 b 4ac 的值
2
2
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形:
化已知方程为一般情势;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算:
求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1).x 2 x 5
2
特别注意:若 b 4ac 0 则方程无解
2
b b 4ac
4.代入求根公式 : x
2a
5.写出方程的解： x1、x2
2
2
1.一元二次方程 2x - 2x = 5,
a=
，b =
,c=
2
2.已知方程4x - 3x + 1 = 0,
2
b - 4ac =
2
3.一元二次方程 ax + bx + c = 0,
2
当△= b - 4 ac = 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个相等的实数根
2
当△= b - 4 ac < 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠0) 有无实数根
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
的求根公式：
2
- b b - 4ac 2
b 2 - 4ac
=0
2
4a
b 2
(x+
) = 0，方程有两个相等的实数根
2a
b
x1 = x 2 = 2a
方程ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个相等的实数根
2
当b - 4ac < 0时
2
b - 4ac
<0
2
4a
b 2
(x+
) <0
2a
b 2
而x取任何实数，都不能使( x +
12 0
3
∴ x
- ,
2 4
2
3
∴ 原方程的根是x1 x2 － .
2
（3）6x +4 2 5 x .
2
解：原方程变形，得6x 2 -2 5 x +4=0，即3x 2 - 5 x +2=0，
∵ a 3, b - 5, c 2，
∴ b 4ac ( 5) 4 3 2= 19<0，
2
2
b 4ac (2 33
2a
2
若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 （ B ）
A. k＜5
B. k＜5且k≠1
C. k≤5且k≠1
D. k＞5
第21章 一元二次方程
21.2.2 公式法
人教版 九年级上册
1.经历求根公式的推导过程
2.理解一元二次方程“二次”转化为“一次”
的数学思想，并能应用它解方程．
3.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
用配方法解方程 + = −
将方程化为一般形式得， + − =
移项得， + =
求根公式是
条件是
，
.
4.若关于x的一元二次方程
x 2x m 0
2
有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
（
）
A．m 1
B．m 1
C．m 1
D．m 1
5.解下列方程
2
（1）x +4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
2
解：x 2 x 5 0
a 1, b 2, c 5
2
b 4ac
2
2 4 1 (5)
24
2
b b 4ac
x
2a
2
2 24
2
x1 6 1, x2 6 1
注意：最后要化简
(2).x 3 2 3 x
2
解：x 2 3x 3 0
) <0
2a
因此方程无实数根
ax bx c 0(a 0)
2
b 4ac用字母△表示
2
即△=b 4ac
2
根据刚才的探讨
决定方程有无实
数根的是谁呢？
归纳：根的判别式△与方程的根的关系：
当△= b2 - 4 ac > 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠0) 有两不相等的实数根
b
c
x + x =a
a
2
b
b 2
c
b2
x + x +(
) =+
a
2a
a 4a 2
b 2
b 2 - 4ac
(x+
) =
2a
4a 2
∵4a 2 > 0
b2 - 4ac
2
的符号由b
- 4ac的符号决定
2
4a
b2 - 4ac的符号有三种情况
2
b 2
b 2 - 4ac
(x+
) =
2a
4a 2
b 2 - 4ac > 0
x=
( b - 4ac≥0)
2a
2
利用这个公式，我们可以由一元二次方
程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，
这种解方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列方程：
⑴
x -2 2 x 1 0 ；
2
解：∵ a 1, b -2 2, c 1，
∴ b 4ac (2 2) 4 11 4>0，
2
2
(2 2) 4 2 2 2
∴ x
2 1,
2 1
2
∴ 原方程的根是x1 2 1, x2 2 1.
（2）4x +4 x-1 -10-8 x ；
2
解：原方程变形，得4x +12 x +9=0，
∵ a 4, b 12, c 9，
2
∴ b 2 4ac 122 4 4 9=0，
b 2 - 4ac = 0
2
b - 4ac < 0
2
b - 4ac
> 0,
2
4a
当b2－4ac>0时，
b
x+
=
2a
即x =
- b
b2 - 4ac
,
2a
b 2 - 4ac
.
2a
-b + b 2 - 4ac
-b - b 2 - 4ac
所以x1 =
,x 2 =
.
2a
2a
2
当b - 4ac = 0时
二次项系数化为得， + =
配方得，
+ +
=
（ + ） =
开方得， +=
= −， =
±
视察这个方程一定有
解吗？
用配方法解一元二次方程
2
ax + bx + c = 0( a ≠0)
b
c
2
解：x + x + = 0
a
a
解：由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
k 1 0,
∴
0,
∴
k -1 ≠ 0,
∴ 2
4 - 4 k -1 > 0.
k＜5且k≠1，
故选B.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般情势
2.写出a,b,c 的值
3.求出 b 4ac 的值
2
2
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形:
化已知方程为一般情势;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算:
求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1).x 2 x 5
2
特别注意:若 b 4ac 0 则方程无解
2
b b 4ac
4.代入求根公式 : x
2a
5.写出方程的解： x1、x2
2
2
1.一元二次方程 2x - 2x = 5,
a=
，b =
,c=
2
2.已知方程4x - 3x + 1 = 0,
2
b - 4ac =
2
3.一元二次方程 ax + bx + c = 0,
2
当△= b - 4 ac = 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个相等的实数根
2
当△= b - 4 ac < 0时，
2
方程ax + bx + c = 0( a ≠0) 有无实数根
一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
的求根公式：
2
- b b - 4ac 2
b 2 - 4ac
=0
2
4a
b 2
(x+
) = 0，方程有两个相等的实数根
2a
b
x1 = x 2 = 2a
方程ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 有两个相等的实数根
2
当b - 4ac < 0时
2
b - 4ac
<0
2
4a
b 2
(x+
) <0
2a
b 2
而x取任何实数，都不能使( x +
12 0
3
∴ x
- ,
2 4
2
3
∴ 原方程的根是x1 x2 － .
2
（3）6x +4 2 5 x .
2
解：原方程变形，得6x 2 -2 5 x +4=0，即3x 2 - 5 x +2=0，
∵ a 3, b - 5, c 2，
∴ b 4ac ( 5) 4 3 2= 19<0，