新(全国甲卷)高考数学三轮增分练高考小题分项练10圆锥曲线理

高考小题分项练10 圆锥曲线
1．椭圆x 29＋y 2
5＝1的两个焦点分别为点F 1、F 2，点P 是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则△PF 1F 2
的周长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
答案 C
解析 由x 29＋y 2
5＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2
＝2，所以△PF 1F 2周长为2a ＋2c ＝6＋4＝10，
故选C.
2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线x 2
＝4y 的准线相切，则实数m 等于( )
A ．±2 2
B ．± 3 C. 2 D. 3
答案 B
解析 因为圆x 2
＋y 2
＋mx －14＝0，即(x ＋m 2)2＋y 2＝m 2
＋14
与抛物线x 2
＝4y 的准线相切，所以
m 2＋1
4
＝1，
m ＝±3，故选B.
3．点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与C 的左、
右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3
答案 C
解析 ∵△ABF 2是等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |， 根据双曲线的定义，可得 |BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，
又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a . ∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ， ∠F 1AF 2＝120°，
∴|F 1F 2|2
＝|AF 1|2
＋|AF 2|2
－2|AF 1|·|AF 2|·cos 120°， 即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12
)＝28a 2
，
解得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝c a
＝7.
4．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A (3，y )向准线l 作垂线，垂足为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是(
)
A ．y 2
＝12x
B ．y 2
＝x C ．y 2
＝2x D ．y 2
＝4x
答案 D
解析 设抛物线方程为y 2
＝2px ，则F (p
2，0)，将A (3，y )代入抛物线方程得y 2
＝6p ，y ＝6p ，
由于△ABF 为等边三角形，故k AF ＝3，即
6p －03－
p
2
＝3，解得p ＝2.
5．过双曲线x 2
－y 2
15＝1右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2
＝1
作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2
－|PN |2
的最小值为( ) A ．10 B ．13 C ．16 D ．19
答案 B
解析 |PM |2
－|PN |2
＝(|PC 1|2
－4)－(|PC 2|2
－1)＝|PC 1|2
－|PC 2|2
－3 ＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3 ＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13， 故选B.
6．双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2
＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，直线AB 恰好过
它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．1＋ 2 C ．2 2 D ．2＋ 2
答案 B
解析 由题意，得x A ＝x B ＝p
2＝c ，
|y A |＝
2p ·p
2
＝p ＝2c ，
因此c 2a 2－4c 2b 2＝1⇒4c 2b 2＝b 2
a
2⇒b 2＝2ac ⇒c 2－a 2
＝2ac
⇒e 2
－2e －1＝0⇒e ＝1＋2(负值舍去)，故选B.
7．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，C 1与C 2的离心率
之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0
答案 B
解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率为a 2－b 2a ；双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，
离心率为a 2＋b 2
a
.
∵C 1与C 2的离心率之积为
32
， ∴ a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，
∴(b a )2＝12，b a ＝22， C 2的渐近线方程为：y ＝±
2
2
x ， 即x ±2y ＝0.故选B.
8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知点F 1、
F 2是一对相关曲线的焦点，点P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关
曲线中椭圆的离心率是( ) A ．7－4 3 B ．2－ 3 C.3－1 D ．4－2 3
答案 B
解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，
双曲线方程为x 2a 21－y 2
b 21
＝1，且c ＝c 1.
由题意c a ·c
a 1
＝1，(*)
又∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得： 在椭圆中，4c 2
＝4a 2
－(2＋3)|PF 1||PF 2|， 在双曲线中，4c 2
＝4a 2
1＋(2－3)|PF 1||PF 2|， 可得b 2
1＝(7－43)b 2
，代入(*)得
c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4
，
即e 4－(8－43)e 2
＋(7－43)＝0， 得e 2
＝7－43，即e ＝2－3，故选B.
9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2
－2y 2
＝1的右支上的一个动点，若点P 到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．2 B.32
C.
63
D. 263
答案 C
解析 设点P (x ，y )，由题意得[|2x －2y ＋2|
6]min >m ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x
－2y ＝0的距离为|2|6＝63，因此[|2x －2y ＋2|6]min >63，即m ≤63，实数m 的最大值为6
3，
故选C.
10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的左焦点F 作圆x 2＋y 2
＝c 24
的切线，切点
为E ，延长FE 交双曲线C 的右支于点P ，若点E 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为( ) A.2＋1 B.2＋1
2 C.3＋1 D.
3＋1
2
答案 C
解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2
)的右焦点是F ′，则PF ′的长是c ，
并且∠FPF ′＝π
2，∴|PF |＝3c ，从而3c －c ＝2a ，∴e ＝3＋1，
故选C.
11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与双曲线
C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝4x C ．y 2＝2x D ．y ＝43x
答案 A
解析 ∵e ＝c a
＝3⇒c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2
＝2a ， ∴y ＝±b a
x ＝±2x ，
∴S △AOB ＝12·p
2·2p ＝42，∴p ＝4，
∴抛物线的标准方程是y 2
＝8x ，故选A.
12．已知点P (2，3)在双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1上，双曲线的左、右焦点分别为点F 1、F 2，△PF 1F 2
的内切圆与x 轴相切于点M ，则MP →·MF 2→
的值为( ) A.3＋1 B.2－1 C.2＋1 D.3－1
答案 B
解析 点P (2，3)在双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1上，可得a ＝1，
设点M (x,0)，内切圆与x 轴相切于点M ，PF 1，PF 2与圆分别切于点N ，H ，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，由切线长定理知|PN |＝|PH |，|NF 1|－|HF 2|＝2， 即|MF 1|－|MF 2|＝2，
可得(x ＋2)－(2－x )＝2，解得x ＝1，M (1,0)，MP →·MF 2→
＝(2－1，3)·(2－1,0)＝2－1，故选B.
13．已知点P 在抛物线y 2
＝4x 上，当点P 到直线y ＝x ＋4的距离最短时，点P 的坐标是________． 答案 (1,2)
解析 设P (y
2
4，y )，则点P 到直线y ＝x ＋4的距离d ＝|y 2
4－y ＋4|2＝1
4y －2＋32，当y ＝2
时，d 取得最小值．把y ＝2代入y 2
＝4x ，得x ＝1，所以点P 的坐标为(1,2)．
14．已知点F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→
.
若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3
解析 由PF 1→⊥PF 2→
知∠F 1PF 2＝90°， 则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1
|＋|PF 2
|＝2a ，1
2|PF 1
|·|PF 2
|＝9，
|PF 1
|2
＋|PF 2
|2
＝4c 2
，
可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2
＝9， 所以b ＝3.
15．已知点F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
16
＝1的左、右焦点，点M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2内切
圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2
＝________. 答案 25
解析 由椭圆的对称性，知满足题意的点M 是椭圆短轴的端点， |MF 1|＝|MF 2|＝a .设内切圆半径为r ，
则2πr ＝3π，r ＝32，又12×(2a ＋2c )r ＝12×2c ×4，所以(a ＋a 2－16)×32
＝4a 2
－16，解得
a 2＝25.
16．方程x 24－k ＋y 2
k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①曲线C 不可能是圆； ②若1<k <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <5
2.
其中正确的是________． 答案 ③④
解析 ①x 24－k ＋y 2
k －1＝1，当4－k ＝k －1，k ＝5
2时为圆，错误．
②若曲线C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪
⎧
4－k >0，k －1>0，
4－k ≠k －1，
解得{k |1<k <4，且k ≠5
2
}，错误．
③若C 为双曲线，则(4－k )(k －1)<0，解得k <1或k >4，正确．
④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧
4－k >k －1，4－k >0，
k －1>0，
4－k ≠k －1，
解得：1<k <5
2
，正确．综上，正确的是③④.。