最新苏教版高一数学必修1课后训练：2.2.2函数的奇偶性 Word版含解析

课后训练
千里之行始于足下
1．对于定义在R上的任意奇函数f（x），下列式子中恒成立的序号是________．（1）f（x）－f（－x）≥0；（2）f（x）－f（－x）≤0；（3）f（x）·f（－x）≤0；（4）f（x）·f
（－x）≥0；（5）f（x）＋f（－x）＝0；（6）
()
1 ()
f x
f x
=--
.
2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝________.
4．已知奇函数f（x）在x<0时，函数解析式为f（x）＝x（x－1），则当x>0时，函数解析式f（x）＝______________.
5．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是单调减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）<0的x的取值范围是______．
6．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＝－f（x），给出下列4个结论：①f （2）＝0；②f（x）＝f（x＋4）；③f（x）的图象关于直线x＝0对称；④f（x＋2）＝f（－x），其中所有正确结论的序号是______．
7．判断下列函数的奇偶性：
（1）
43
()
1
x x
f x
x
-
=
-
；（2）
2
()
1
x
f x
x
=
+
；（3）
32
32
31,0,
()
31,0.
x x x
f x
x x x
⎧+-<
⎪
=⎨
-+>
⎪⎩
；（4）
2 ()a
f x x
x
=+（a∈R）．
8．设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f（x）的图象是顶点为P（3,4）且过点A（2,2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（－∞，－2）上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域．
百尺竿头更进一步
设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x>0时，f（x）<0，f（1）＝－2.
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在R上为单调减函数；
（3）若f（2x＋5）＋f（6－7x）>4，求x的取值范围．
参考答案与解析
千里之行
1．（3）（5）解析：由奇函数的定义知，f（－x）＝－f（x），∴f（x）·f（－x）＝f（x）·[－f（x）]＝－[f（x）]2≤0，且f（x）＋f（－x）＝0，∴（3）（5）正确，（1）（2）（4）错，（6）当f（－x）≠0时成立，故不恒成立．
2.1
3
0解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴
1
3
a ，又对于f（x）有f（－x）＝f（x）恒成立，∴b＝0.
3．－26解析：方法一：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）是奇函数．∴f（－2）＝g（－2）－8＝－g（2）－8＝10，∴g（2）＝－18，∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26.
方法二：∵f（－x）＋f（x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f（－2）＋f（2）＝－16，又f（－2）＝10，∴f（2）＝－16－f（－2）＝－16－10＝－26.
4．－x（x＋1）解析：设x>0时，则－x<0，由条件，得f（－x）＝－x（－x－1）∵函数为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－f（x）＝－x（－x－1），∴f（x）＝－x（x＋1）（x>0）．
5．（－2,2）解析：方法一：f（2）＝0，f（－2）＝0，f（x）在（－∞，0]上单调递减，又∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，当x∈（－2,0]时，f（x）<f （－2）＝0，当x∈[0,2）时，f（x）<f（2）＝0，∴使f（x）<0的x的取值范围是（－2,2）．方法二：∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0]上是单调减函数，∴f（x）在[0，＋∞）上是单调增函数，∵f（2）＝0，∴f（－2）＝f（2）＝0，由单调性易知使f（x）<0的x的取值范围是（－2,2），借助图形更直观，如图．
6．①②④解析：由题意，知f（0）＝－f（2），∴f（2）＝－f（0），又f（x）是R 上的奇函数，∴f（0）＝0，∴f（2）＝0，故①正确；∵f（x）＝－f（x＋2）＝f（x＋4），∴②正确；∵f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f（－x）＝－f（x）＝f （x＋2），∴④正确．
7．解：（1）
43
3
()
1
x x
f x x
x
-
==
-
，但f（x）的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故
此函数是非奇非偶函数．
（2）f（x）的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有
()
()22
()()
1
1
x x
f x f x
x
x
-
-===-
+
+-
，
∴函数f（x）为奇函数．
（3）f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）3＋3（－x）2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）．当x<0时，－x>0，则f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）∴对定义域内的任意x，都有f（－x）＝－f（x）∴函数f（x）为奇函数．
（4）当a＝0时，f（x）＝x2，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（－x）
2＝x2＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．当a≠0时，2
()a
f x x
x
=+（a≠0，x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f （1），∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
8．解：（1）当x>2时，设f（x）＝a（x－3）2＋4.又因为过A（2,2），所以f（2）＝a （2－3）2＋4＝2，解得a＝－2，所以f（x）＝－2（x－3）2＋4.设x∈（－∞，－2），则－x>2，所以f（－x）＝－2（－x－3）2＋4.又因为f（x）在R上为偶函数，所以f（－x）＝f （x），所以f（x）＝－2（－x－3）2＋4，即f（x）＝－2（x＋3）2＋4，x∈（－∞，－2）．（2）图象如图所示，
（3）由图象观察知f（x）的值域为{y|y≤4}．
百尺竿头
（1）证明：∵x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．令x＝y＝0，∴f（0）＝f（0）＋f （0），∴f（0）＝0.令y＝－x，代入f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（0）＝f（x）＋f（－x），而f（0）＝0，∴f（－x）＝－f（x）（x∈R），∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任意x1，x2∈R，且x1<x2，由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）知f（x2－x1）＝f （x2）＋f（－x1）．∵x2－x1>0，
∴f（x2－x1）<0，且f（x）为奇函数，∴f（－x1）＝－f（x1），
∴f（x2）＋f（－x1）＝f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）<0，即f（x2）<f（x1），∴f（x）在R上为单调减函数．
（3）解：∵f（2x＋5）＋f（6－7x）＝f（2x＋5＋6－7x）＝f（11－5x）．而f（1＋1）＝f（1）＋f（1）＝－2－2＝－4，即f（2）＝－4，∴4＝－f（2）＝f（－2）．∴f（2x＋5）＋f（6－7x）>4等价于f（11－5x）>f（－2）．由（2）知，f（x）在R上为单调减函数，∴
11－5x<－2，解得
13
5
x>，∴x的取值范围为
13
,
5
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
.。