高一数学必修一函数笔记整理

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集合与函数概念
一、集合有关概念
1.子集的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性例如：世界上最低的山
(2)元素的互异性如：由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的无序性:例如：{a,b,c}和{a,c,b}就是则表示同一个子集
3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母则表示子集：a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

特别注意：常用数集及其记法：xkb1
非负整数集(即自然数集)记作：n
正整数集：n*或n+
整数集：z
有理数集：q
实数集：r1)列举法：{a,b,c……}
3)语言叙述法：基准：{不是直角三角形的三角形}
4)venn图:
4、子集的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无穷集所含无穷个元素的子集
(3)空集不含任何元素的集合
二、子集间的基本关系
1.“包含”关系—子集
特别注意：存有两种可能将(1)a就是b的一部分，;(2)a与b就是同一子集。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2.“成正比”关系：a=b(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设a={x|x2-1=0}b={-1,1}“元素相同则两集合相等”
3.C99mg任何元素的子集叫作空集，记为φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集
三、子集的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属a且属b的元素所共同组成的子集,叫作a,b的关连.记作ab(读成‘a 交b’)，即ab={x|xa，且xb｝.
由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集.记作：ab(读作‘a并b’)，即ab={x|xa，或xb}).
基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中\ue1，且∈*.
当就是奇数时，正数的次方根就是一个正数，负数的次方根就是一个负数.此时，的次方根用符号则表示.式子叫作根式(radical)，这里叫作根指数(radicalexponent)，叫作被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(\ue0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

特别注意：当就是奇数时，当就是偶数时，
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
表示：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推展至了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推展至有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为r.
特别注意：指数函数的底数的值域范围，底数无法就是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
函数的应用领域
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即为函数的图象与轴交点的横坐标。

即为：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的带发修行：
求函数的零点：
1(代数法)谋方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
1)△\ue0，方程存有两左右实根，二次函数的图象与轴存有两个交点，二次函数存有两个零点.
2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△\uc0，方程并无实根，二次函数的图象与轴并无交点，二次函数并无零点.
1.函数的奇偶性
(1)若f(x)就是偶函数，那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);
(3)推论函数奇偶性需用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在等距的单调区间内有相同的单调性;偶函数在等距的单调区间内有恰好相反的单调性;
2.复合函数的有关问题
(1)无机函数定义域带发修行：若未知的定义域为[a，b],其无机函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出即可;若未知f[g(x)]的定义域为[a,b],谋f(x)的定义域，相等于x∈[a,b]时，谋g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定必须特别注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像c1与c2的对称性，即为证明c1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c2上，反之亦然;
(3)曲线c1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线c2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线c1:f(x,y)=0关于点(a,b)的等距曲线c2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈r时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=等距;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈r时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a\ue0)恒设立,则y=f(x)就是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a等距，则f(x)就是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)等距，则函数y=f(x)就是周期为2的周期
函数;
(6)y=f(x)对x∈r时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)存有求解k∈d(d为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a\ue0,a≠1,b\ue0,n∈r+);
(2)logan=(a\ue0,a≠1,b\ue0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogan=n(a\ue0,a≠1,n\ue0);
8.推论对应与否为态射时，把握住两点：
(1)a中元素必须都有象且唯一;(2)b中元素不一定都有原象，并且a中不同元素在b
中可以有相同的象;
9.能够熟练地用定义证明函数的单调性，谋反函数，推论函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函
数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存
在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为a，值域为b，则有f[f--1(x)]=x(x∈b),f--1[f(x)]=x(x∈a).
11.处置二次函数的问题勿忘数形融合;二次函数在闭区间上必存有最值，谋最值问题
用“两观点”：一看看开口方向;二看看对称轴与所给区间的相对边线关系;
12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
13.恒设立问题的处置方法：(1)拆分参数法;(2)转变为一元二次方程的根的原产列于
不等式(组)解;。