泰勒公式论文

题目：泰勒公式以及应用
学院：地球物理与信息工程学院
专业班级：物探14-2班
学号：2014011192
指导老师：杨立敏
撰写日期：二零一四年十二月十七日
目录
内容摘要 (3)
关键词 (3)
1、前言 (3)
2、泰勒公式 (3)
2.1泰勒公式定义 (4)
2.2泰勒公式各种余项 (4)
3、泰勒公式应用 (4)
3.1求等价无穷小 (4)
3.2证明不等式 (5)
3.3求极限 (5)
4、麦克劳林展开式的应用 (6)
4.1展开三角函数 (6)
4.2计算近似值 (7)
4.3欧拉公式 (7)
5、结论 (8)
6、参考文献 (9)
内容摘要： 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。

他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。

关键词：泰勒公式、求极限、求近似解、余项、麦克劳林展开式、求不等式.
1、引言： 希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中最著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。

后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。

阿基米德应用穷举法使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。

[2]
14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。

直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

2、泰勒公式
2.1 泰勒公式定义
泰勒（Taylor ）中值定理，如果函数)(x f 在含有。

x 的某个开区间（a,b)内具有直到（n+1)
阶段导数，则对人一起()b a x ,∈，有：
()()()()()()()()()x n x x f x x x f x f x f R x x f x x n
n n ++++-+=--。

！。

!2'''2 其中 ()()()()。

x x f n n n n x -+++=11!1R ξ，
这里ξ是之间的某个值。

与x x .
2.2泰勒公式各种余项
1、佩亚诺（Peano ）型余项
()[]
n n a x o R -= 2、施勒未尔希-罗什（Schlomilch-Roche ）余项
()[]()p
n x a x a f R n p n n n !11
11+-++∙--+=θθ 其中()10，∈θ 3、拉格朗日（Lagrange ）余项
()()[]()()!
1R 11+-∙-+=++n a x a x a f x n n n θ 其中 ()10，∈θ
4、柯西（Canchy ）余项
()()[]()()!
1R 11n a x a x a f x n n n n ++---+=θθ 其中 ()10，∈θ 5、积分余项
()()()()dt t f a t n x n n x a n n 1!
1R +⎰--=
3、泰勒公式的应用
在教材中的微分中我们已经用一次多项式来近似表达函数，但这种近似表达存在缺陷：
（1）精确度不高，所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小。

（2）近似计算时不能具体估算出误差大小。

3.1求等价无穷小
例：0→n x ~s i n x
解：令()x x f sin =
()x f 的佩亚诺余项的泰勒展开式为：()()
n x o x x x x x f +-+-== !5!3sin 5
3 所以n=1时：
()()x o x x f +=
所以 ()()x o x x f +=x ～
3.2证明不等式
设()x f 在[]10，上具有二阶导数，
且满足条件()()b x f a x f ≤≤'',，其中a,b 都是非负常数，c 是()10，
内任意一点，证明：()2
2'b a c f +≤
解：由题意可设 ()()()()()()()[]
222'''c x o c x c f c x c f c f x f -+-+-+= ()()()()()()()()()()2212
''1'12'''0c c f c c f c f f c c f c cf c f f -+-+=+-=∴ ()()()()()()()()()()c c f f f c f c c f c f f f 212''01'212'''01---=∴-+
=-∴ ()()()c c f f f 212''01-++≤ c b a 2122-+≤ []()1,02
2∈+≤c b a
3.3求极限：
()22
2
20112lim cos x x x x x e sinx →+-+-
由()()()()()
2
2
44224
424
4222112
11cos 8
112118
1211!
2121212112x o e x o x x o x x x x o x x x o x x x x +-=+-=+=+-++-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+ ()
22
3cos 2x o e x x +-=- 故()023~cos 22→--x x e x x 则
()
()()()222
204422022
1112lim cos sin 18lim sin ~032
112
x x x x x x e x x o x x x x x x →→+-+-+=→-∙=-
4、麦克劳林展开式的应用
4.1展开三角函数
()()(),!211!
41!211cos 12242x R x m x x x m m m ++-+-+-= 其中()()[]()()()();10!22cos 1!221cos R 2212212<<+-=+++=
++++θθπθm m m x m x m x x m m x ()()m m m R m x x x x x 212153!121!
5!3sin +--+-+-=-- 其中
()()()()()()10!
12cos 1!12212sin R 12122<<--=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++θθπθm m m m x m x x m m x x
4.2计算近似值
x
x x e ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∞→11lim ()x e x f =的泰勒展式
!3!2!1132n x x x x e n
x
+++++= ！ 当x=1时，
!
1!31!2111n e ++++
+= 当我们想要计算e 而要求误差至多为
100001，我们近需要选择足够大的n,使得余项小于100001，因为这个余项必定小于()!
13+n ，选择7=n 就够了，因为！8000.30>，这样我们就得到e 的近似值,71825
.2=e 其误差小于0.0001. 4.3欧拉公式
最早是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euller ）于18世纪发现的，这一关系在节二阶微分方程式特别有用。

θθθi e i =+sin cos
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=+ !7!3!6!4!21sin cos 73642θθθθθθθθi i
重新排序后：
--++--+=+!
6!5!4!3!21sin cos 6
5432θθθθθθθθi i i i 因为 i i i i i i ==-=-=5432,1,,1
所有我们能重写级数为
()()()() ++++++=+!
5!4!3!21sin cos 5432θθθθθθθi i i i i i 令人惊讶的是，此级数就是在ix e 中用ix 代替后所得到的泰勒级数，我们定义ix
e 为此级数的和亦即：
()() ++++=!
3!2132θθθi i i e ix 从而，我们可得
ix e i =+θθsin cos
5、结论
本文主要介绍了泰勒公式以及它的应用，使我们对泰勒公式有了更深度了解。

怎样应用泰勒公式阶梯有了更深的认识，只要在阶梯训练中注意题设定条件以及形式特点，并把握上述处理规则，就能较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。

6、参考文献
[]1R.柯朗 F.约翰；微积分和数学分析和引论：科学出版社
[]2百度百科《泰勒公式》
[]3360百科《泰勒公式》
[]4同济大学数学系 高等数学：高等教育出版社
[]5马志敏 高等数学辅导∙习题详解：汕头大学出版社。