【压轴卷】高三数学下期末一模试卷(及答案)(1)

【压轴卷】高三数学下期末一模试卷(及答案)(1)
一、选择题
1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．
110
B ．
310
C ．
35
D ．
25
3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）
A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈
B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈
C ．[]6,63k k +，k Z ∈
D ．[]63,6k k -，k Z ∈
4．已知向量a v ，b v 满足2a =v
，||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值
为（ ） A ．
22
B ．
23
C ．
2 D ．
24
5．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，则以下判断正确的是( )
A ．m n >
B ．||||m n <
C ．m n <
D ．m 与n 的大小关系不确定 7．若实数满足约束条件
，则的最大值是（ ）
A ．
B ．1
C ．10
D ．12
8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角
P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<<
B ．,βαβγ<<
C ．,βαγα<<
D ．,αβγβ<<
9．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A 513x << B 135x < C ．25x <<
D 55x <<
11．设双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲
线的离心率等于（ ）
A 3
B ．2
C 6
D 512．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2
11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）
A ．当101
,102
b a =
> B ．当101
,104
b a =
> C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->
二、填空题
13．若双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
是___________.
14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是
15．在ABC V 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b c
A B C
++=++________．
16．在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是
边BC，CD上的点,
且满足
CN
CD
BM
BC
=
u u
u u v u u u v
u u u v u u u v，则AM AN
⋅
u u u u v u u u v
的取值范围是_________．17．已知0
x>，0
y>，0
z>，且36
x y z
++=，则323
x y z
++的最小值为
_________．
18．在等腰梯形ABCD中,已知AB DC
P,2,1,60,
AB BC ABC
==∠=o点E和点F分别在线段BC和CD上,且
21
,,
36
BE BC DF DC
==
u u u r u u u r u u u r u u u r
则AE AF
⋅
u u u r u u u r
的值为．
19．若,满足约束条件则的最大值．
20．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．
三、解答题
21．已知数列{}n a满足1
11
2,22n
n n
a a a+
+
==+.
（1）设
2
n
n n
a
b=，求数列{}n b的通项公式；
（2）求数列{}n a的前n项和n S；
（3）记
()()
2
1
1422
n n
n
n n
n n
c
a a
+
-++
=，求数列{}n c的前n项和n T.
22．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，
，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.
23．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使2
1()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立 注：e 为自然对数的底数
24．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy
，已知曲线:sin x a
C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为cos()124
π
ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．
25．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,x s x s -+之间，则满意度等级为“A
级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？
（参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈）
26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，
AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：
（1）D B F E ，，，四点共面；
（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：
()255
P x y ≤=
=，故本题选C .
【点睛】
本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.
3．D
解析：D 【解析】 【详解】
由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是
2448
[
6,6]()22
k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．
点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+
(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是
2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用
cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知：222
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos ,
4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r
r r 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案
又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增
函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．
【详解】
解：设3
()sin ,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-， 则2
()3cos
02
2
x
f x x π
π'
=+
>，
即3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-为增函数，
又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，
即33sin
sin
22m
n
m n ππ+<+，
所以()()f m f n <，
所以m n <． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数
经过平面区域的点
时，
取最大值
.
【点睛】
解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】
方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作
//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则
cos cos PF EG DH BD PB
PB PB PB α=
==<=β，即αβ>，tan tan PD PD
ED BD
γ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.
方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得
333222
cos sin sin 33
α=
⇒α=β=γ=
，故选B. 【点睛】
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>
，解得x >x 边对的锐角为
β，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>
，解得0x <<x 的取值范
x << A. 考点：余弦定理.
11．D
解析：D 【解析】
由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1
b y x a y x ⎧=⎪
⎨⎪=+⎩消
y 得，2
210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =
，所以e == D. 【点睛】
双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．
直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．
当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 对于B ，令2
14x λ-+
=0，得λ12=，取112a =，得到当b 1
4
=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得λ=
1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+
≥，223113()224a a =++≥，4224319117
()14216216
a a a =+++≥+=＞，
当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n
a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964
＞
＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+
=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022
n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=
时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，
取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，
∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；
对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得λ=
取112a +=
，∴212a +=
，…，12
n a +=10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；
对于A ，221122a a =+≥，223113()224
a a =++≥， 4224319117()14216216
a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，
当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n
a +＞11322+=， ∴54
4510932323
2
a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题
解析：y =±
【解析】
【分析】 由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223
a c =⨯，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．
【详解】 ∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距， ∴1223
a c =⨯，3c a =，又222c a
b =+
，∴b =
∴渐近线方程是b y x a =±
=±
，故答案为y =±． 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±属于基础题．
14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得
解析：(5,7)
【解析】
【分析】
【详解】
由|3|4x b -<得4433
b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，解得57b << 15．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在
解析：
3
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.
【详解】
60
A=︒
Q，1
b=
11
sin1
222
bc A c
==⨯⨯⨯,
解得4
c=，
由余弦定理可得：
a===，
所以sin sin sin sin3
a b c a
A B C A
++
===
++,
故答案为：
3
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
16．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量解析：[2]5,
【解析】
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)
B，(0,0)
A，
1
2
D
⎛
⎝⎭
，设
||||
||||
BM CN
BC CD
λ
==
u u u u r u u u r
u u u r u u u r，[]
0,1
λ∈，则(2
2
M
λ
+
)，
5
(2
2
Nλ
-
，
所以(2
2
AM AN
λ
=+
u u u u r u u u r
g
5
)(2
2
λ
-
g
22
53
5425
44
λλλλλλ
=-+-+=--+，
因为[]
0,1
λ∈，二次函数的对称轴为：1
λ=-，所以[]
0,1
λ∈时，[]
2252,5
λλ
--+∈．
故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
17．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为
【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：374
【解析】
【分析】 利用已知条件目标可转化为23233345334x y z x x y ⎛++=-++ ⎝⎭
，构造()33f x x x =-，()2
33454g y y ⎛=-+ ⎝
⎭，分别求最小值即可. 【详解】 解：323x y z ++= ()32363x y x y ++-- 2
3334534x x y ⎛=-++ ⎝⎭ 令()33f x x x =-，()2
33454g y y ⎛=+ ⎝⎭， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >，
()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以，()()min 12f x f ==- 当33y =()g y 有最小值：()min 454g y = 所以，323x y z ++的最小值为4537244
-+=
故答案为374 【点睛】 本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题. 18．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积 解析：
2918
【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o
得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.
19．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法
解析：
【解析】
作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
考点：线性规划解法
20．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】
【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．
【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则
1''23S h =，得19'23h h ⋅⋅=， 所以'23
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为1
3h ，
所以三棱锥111S A B C -的体积为
111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1．
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3
S h =n 底，本题是中档题． 三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()1
14123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】
【分析】
【详解】
（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =； （2）易得2n n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L 错位相减得1211122222
2212n n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L 所以其前n 项和()112
2n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142
121·2?12?12?12n n n n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++
()()()()()()1111111111112?21?222?21?2n
n n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()()()()(
)2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111632132C A DE V -=
⨯⨯⨯⨯= 【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为13
•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点，
连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分
所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分
（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分
由AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故
A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分
所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
23．（1）()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）a e =
【解析】
【分析】
【详解】
：（Ⅰ）因为22()ln (0)f x a x x ax a =-+>所以
2()(2)()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=-由于0a > 所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．
（Ⅱ）由题意得(1)11f a e =-≥-即a e ≥．由（Ⅰ）知()f x 在[1,]e 单调递增，要使21()e f x e -≤≤
对[1,e]x ∈恒成立，只要222(1)11{()f a e f e a e ae e
=-≥-=-+≤解得a e = 24．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1. 【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y +=，
cos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
（2）直线1l
的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 代入2
213
x y +=
化简得：2220t -=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
25．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50%
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据； （2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3
）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．
【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得
()1928486788974837877898310
x =+++++++++=， 则有
()()()()()()()()()()222222222221928384838683788389837483838378837783898310S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣
⎦
33= 所以均值83x =，方差233s =.
（3）由题意知评分在(83即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为
50.550%10
== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.
【详解】
证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线， 11//EF B D ∴.
在正方体1AC 中，11//B D BD ，
//EF BD ∴.
,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.
（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，
又设平面BDEF 为β.
11,Q AC Q α∈∴∈Q .
又Q EF ∈，Q β∴∈，
则Q 是α与β的公共点，
a PQ β∴⋂=.
又11,AC R R AC β⋂=∴∈.
R a ∴∈，且R β∈，
则R PQ ，故P Q R ，，三点共线.
【点睛】
本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.。