数学抽象在数学教学中的应用

2012年第1期 旋盲原圣
No ．1。

2012 (总第247期)
EDUCATl0N EXPLORATlON
Serial No ．247
数学抽象在数学教学中的应用
张胜利1”。

孔凡哲1
(1．东北师范大学教育科学学院，长春130022；2．吉林省教育科学院，长春130022)
摘要：数学抽象是对空间形式和数量关系的抽象。

数学抽象大体经由“简约阶段、符号阶段、普适阶段”等三 个基本阶段。

以教学形态出现的数学抽象，遵循数学抽象的一般规律，同时，又具有实物抽象、半符号抽象、符号抽 象和形式化抽象四种表现形式。

这为数学分层教学的实施提供了数学学科前提和思维训练的教育基础。

关键词：数学抽象；数学教学；应用 中图分类号：CA 20
文献标志码：A
文章编号：1002一0845(2012)01-0068一02
简约阶段．即把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条
一、概念界定
理化，并能够清晰地表达．，
数学在本质上研究的是抽象了的东西。

而这些抽象了
符号阶段，即去掉具体的内容．利用慨念、图形、符号、 的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的。

关系表述包括已经简约化了的事物住内的一类事物。

1．抽象的含义
普适阶段，即通过假设和推理建移法则、模式或者模 所谓抽象，通常是指从众多的事物中抽取出共同的、本
型。

并能够在一般的意义上解释具体事物。

质性的特征．而舍弃其非本质特征的思维过程。

要抽象就 三、数学抽象在数学教学中的应用
必须进行比较，没有比较就无法找到在本质上共同的部分。

共同特征是指那些能把一类事物与他类事物区分开来的特 在数学教学中．数学抽象具有鲜明的层次性，正如康 征，又称本质特征。

因此，抽取事物的共同特征就是抽取事 德在他的巨著《纯粹理性批划》中所指出的，人类的一切知 物的本质特征，舍弃非本质的特征。

而抽象的过程也是一 识都是从直脱开始，从那咀进到概念，而以理念结束“。

学 个概括、分离和提纯的过程。

生的学习也足这样．必须从学生的现实开始，逐步过渡到数 2．数学抽象的含义及其作用
学的高级抽象。

“数学在本质上研究的是抽象的东西州“，这
个命题，从
教学层商的数学抽象基本遵循数学抽象的层次性，但 古至今，无论是数学家还是哲学家几乎都没有异议。

数学 有其更深刻而具体的表现，其梯瞧和层次性更强： 抽象是一种特殊性的抽象，其特殊性表现为，数学抽象的对
1．实物层面的抽象
象是“空问形式和数键关系”．不管是现实世界中的“数跫关 这个层【蔚的抽象(过程)，实际一1-．是芷足已有的生活经
系和空间形式”还是思维想象中的“数量关系和空间形式”， 验和社会现实，进行第一步抽象．即以实物为对象进行抽 都属于数学研究的范畴_1。

也就是说，数学抽象的对象既 象．到刚刚超越实物而尚未完全脱离实物即结束。

可以是现
实世界中的空间形式和数量关系，也可以是数学
案例l 小学自然数的“荫位数加一位数的进位加法” 思维中的空问形式和数昔关系。

关于数学抽象的作用，史 的“十位”的抽象：27+5=? 宁中教授指出，真正的知识是
来源于感性的经验、通过直观 借助于“十个鸡蛋一盒”这个非常现实的经验．学生已 和抽象而得到的，并且。

这种抽象是不能独立于人的思维丽 经有相对丰富的类似经验或经历，27表示两盒鸡蛋．另有一 存在的-“。

盒不满的鸡蛋(即盒子里有7个鸡蛋．这意味着空着3个窄
在数学中．抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象 位)，另有5个鸡蛋。

一共几个鸡蛋呢?借助生活经验，学 能力，才可能从感性认识中获得事物(事件或实物)的本质
生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来．填补在第j 盒鸡蛋 特征，从而上升到理性认识。

这既是一个获取知识的过程．
的3个宅位上．即将空位补齐，凑成一整盒，余下2个鸡蛋。

又是一个研究的过程．这个过程对于所有学科的学习都是
这就是，将5分成3与2的和，而3与27凑成30，因而， 非常重要的。

结果是32，
这是最朴素的“凑十进位”，而这里的“一(整)盒”就是 二、数学抽象的一般步骤
最直接、最形象的“十位”，属于典型的借助“实物”的直接抽 数学抽象具有不同的阶段性。

简约阶段、符号阶段、普 象。

适阶段．是数学抽象的三个基本阶段㈠。

2．半符号层面的抽象 这个阶段实际上是简约阶段的一种．是建立在实物抽 收稿日期：20ll 一1l 一06
象的摹础之上的进一步发展。

此时，有关的属性已经从实
作者简介：张胜利(1968一)，女，山西五台人，副研究员，博士 物中“提取”出来、抽象出来，仁l 是．并没有完全脱离实物，或 研
究生．从事数学教育研究；孔凡哲(1965一)．男。

山东济宁人，教 者更确切地说．是部分属性“脱离”了实物，而其中的关键属 授．博士，博士研究生导师，从事课程与教学论、教学教育及教师 性已经初见端倪。

教育研究。

案例2“圆”的概念的抽象过程，就需要多个层面的抽
一∞一
万方数据
象：初升的太阳．十五的月亮、水中的波纹都能给人以学，其理解力达不到相关的要求．掉队在所难免。

因而．中圆的形象，这是“圆”概念抽象的第一步．属于实物商观层面小学数学的抽象，必须‘匹足学生现实的抽象水平，从最基础的第一次抽象；而从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中，的抽象开始逐级抽象，不宜直接开始较难的抽象。

这是确抽象出集中刻I毋J圆的形状特点的一般概念．即几何中圆的保义务教育基础件的关键点之一。

定义“到定点的距离等于定长的点的集合”则是实物直观层(2)对于群体的学生而言，课程教学形态的数学抽象，面的第二次抽象。

允许在同一个教学环境下．不同的学生可以达到不同的抽借助晚】纸片研究网的摹本性质．则是“圆”的半符号层象程度．实现个性化发展，即在达到基本要求的前提下，每面的抽象，属于更高层断的抽象，此时的“圆纸片”看得见、位学生都可以获得适合自己的发展水平。

摸得着，已经是具有鲜明的“圆”的特征。

只不过，数学中的3．数学抽象过程要特别关注归纳思维和演绎思维的培“网”是没有厚度的，只是一个缝补曲线，其边缘没有厚度、养不包括边缘线所围的区域。

而这种东西在现实中并不存在数学教学中，在展示数学对象逐级抽象的同时，也要在。

毕竟，数学中的“圆”是对客观现实中的大量原型的抽充分展示数学真知发生发展的鲜活过程，即人们通过直觉、象。

借助归纳发想，预测结论，通过演绎推理验证结论，即．既要3．符号层面的抽象教抽象思维，又要教归纳思维和演绎思维。

即已经去掉_r具体的内容，利用概念、图形、符号、关系例如．对于初次学习平方差公式f—b2=(a+b)·(a表述包括已经简约化r的事物在内的一类事物。

+b)，初中牛的抽象思维水平尚未达到完全符号化的程度，符号层面的抽象具有典型的阶段性、层次性，因而，有因丽，直接采取传统的做法，即由(a+b)(m+n)=am+all 的学者(如徐利治先牛)将其定义为“抽象度”的概念“，即，+b m+bn，直接导出a2一b2=(a—b)·(a+b)。

这种做法从实物抽象开始，到达半符号抽象，进而达到符号层面的抽的确节省时间，但是，对多数学生来说并没有真正理解平方象。

而以后的抽象会以卜一级抽象的结果为对象．进行进差公式的内在含义，或者说，学生并不真正认同这个公式；一步的抽象．达到一个新的抽象高度。

例如．在自然数抽象不仪如此．这种学习也使学生丧失了一次思维训练的良机。

的基础上，进一步抽象得到分数．再抽象得到有理数．再抽如果将其改为如下的形式，其效果町能会有质的差异。

象得到实数；以实数为对象再抽象．得到代数式，以代数式教师一上课就出示问题：为对象的再抽象得到函数。

如此，形成逐级抽象的概念体能否将代数式a2一b2分解为两个代数式的乘积的形式系。

呢?我们该如何思考这个问题呢?
4．形式化层面的抽象我们不妨从最简单的情况入手：这就是“普适阶段”的抽象，即通过假设和推理建立法令b=l，先讨论a2一I的情形。

a2一I能否分解为两个
则、模式或者模刊，并能够在一般的意义上解释具体事物。

代数式乘积的形式呢?我们尝试着借助自然数的分解来思“形式化”是针对数学学科而吉’的，而“普适”是从方法学的考：
角度思考的结果．更有思维、方法的韵味。

如果a=l，那么f—l=l=0，0=0X0。

结论很不明这个阶段的抽象在中小学也是时常存在。

例如，小学、朗!如果a=2，结论仍不明朗!继续试验，如果a=3，那么初中的数学模型的核心在于两个基本关系，即总量=单价a2一l=9—1=8，而8除l和自身外，有两个因子2、4，而8 X数鲢；总体=各部分之和．的确可以拆成2x4。

而2=3一l。

4=3+l。

结论已经开始明例如，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”．其本质在朗!继续试验，如果a=6，那么a2一l=36一l=35，而于，“总最=单价×数量”的变式“总量÷份数=一份的蜒”。

35的确可以拆成5X7，而H是唯一的，同时。

5=6一l，7=6 在数学教学中．数学抽象的本质在于，让学生亲身经历+l。

至此，我们可以做出猜测，a2一l=(a—1)·(a+1)，数学抽象的具体过程，接受数学抽象的思维训练．进而提升并进一步猜测a2一b2=(a—b)·(a+b)。

但是，b=2、3、
4、数学抽象思维的水平，，“与其说学数学，倒小如说学爿数学
5、6时，az—b2=(a—b)·(a+b)是否成立呢?化”，这是20世纪后半叶的五十年期|．日】，深刻影响世界数学学生可以分组研究b=2，b=3，b=4，b=5，b=6的情界、数学教育界的数学家弗茱登塔尔的名言．也道出r数学况，而后进行全班汇报，最终，综合各种情况，得出，矿一b2= 学习的本质。

(a—b)·(a十b)。

至此，我们发现了一个新的公式，这个公
在案例l中，学生在初次学习“两位数加一位数”时。

尽式恰恰是(a—b)·(a+b)=a2一b2的逆用。

管为数不少的家长已经告诉学牛如何加，即“个位敏字、十让学生经历这样的过程，并非多余，而是借助自然数的位数字分别相加”，然而．绝大部分学牛并不知道箅理．即为因数分解实现多项式的因式分解．让学生获得归纳的经验，什么必须这样计算而小那样计算。

让学生亲身经历从“实在直观的基础上进行逐步抽象，进而实现理解性掌握．使之物抽象一半符号抽象一符号抽象”的过程，即使是对于那螳在获得新知的同时，经历一次思维的训练，实现思维水平的已经学过的学生来说，也是一次温习的过程，更是一次经历提升。

数学抽象的熏陶过程。

参考文献：
四、在数学教学中运用数学抽象应注意的问题
[1】史宁中，孔凡哲．关于教学定义的一个注[J]．敷学教育学报。

I．应有效发挥数学抽象的特殊作用2006(4)．
在数学教学中．数学抽象的层次性为数学分层教学的[2]史宁中．数学思想概论·教与数量关系的抽象【M]．长春：东实施提供了数学学科前提和思维训练的教育基础。

北师范大学出版社，2008．
2．关注学生的个性化发展[3]康德．纯粹理性批判[M]．邓晓芳，译．北京：人民出版社，
2004．
(1)对每一位学生而言，要经历每个阶段的抽象．一般
[4】徐利治．张鸿庆．数学抽象度概念与抽象度分析法[J]．教学研不可越级进行。

化解后进生的一个蕈要策略就是．立足其
究与评论，1985(2)．
现实水平、借助经验和直观，帮助其，学．握肇础，跟卜队伍．逐(责任编辑：吕征) 步提高其抽象思维水平。

由于其抽象水平正处在实物抽象
阶段，如果按照一般学生的水平．即符号抽象阶段进行教
万方数据
一∞一。