趣味数学一笔画和七桥问题

每条边都只画一次，不准重复。
能够一笔画的图形必须是连通图形。
偶点:与偶数条边相连的点叫偶点。
Ａ Ｂ
奇点:与奇数条边相连的点叫奇点。
Ｄ Ｅ
Ｆ
图形
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
0 0 4 0
4 5 1 7
能 能 不能 能
1、奇点个数为0的连通图是一笔画图形。 可任选一点为起点，起点和终点为 同一点。
下面哪些图形可以一笔画出?
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间现属俄罗斯中有一条河河的中间有两个小岛河的两岸与两岛之间共建有七座桥如图城中的居民经常沿河过桥散步不知从什么时候起脚下的桥梁触发了人们的灵感一个有趣的问题在居民中传开了
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗 斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建 有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时 候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传 开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？ 最后是否仍能回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题。
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长 而桥则可 短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点， 以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转 化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。
A
B
所谓图的一笔画，指的是：从图的83年） 欧拉
欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读 巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世 纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把 数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的 数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十 七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环 境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁 边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目 失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高 斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法．"
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
A A B C E （５） D
D
B
（６）
C
（7）
（８）
图形
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
2 2 2 4
3 2 1
能 能 能 不能
5
2、奇点数为２，偶点数为任意的连通 图是一笔画图形。 可选其中一个奇点做起点，而终点一定 是另一个奇点，即一笔画后不可以回到 出发点。
现在七桥问题可以解决了吗？
A
B
四个点都是奇点
D
A
B
C
这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意 是尝试，但没有找到合适的路线。 问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思 考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国 圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变 换技巧，经过一年的研究，于1736年递交了一份 题为《哥尼斯堡七座桥》的论文，圆满地解决了 这一问题。