高考数学一轮复习 考点热身训练 第六章 不等式、推理与证明(单元总结与测试)

高考一轮复习考点热身训练：
第六章 不等式、推理与证明（单元总结与测试）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013·福州模拟）设0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) (A)ab<b 2
<1
(B)112
2
log b log a 0<<
()2b
<2a <2 (D)a 2
<ab<1 2.下列推理是归纳推理的是( )
(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆 (B )由a 1=1,a n =3n-1,求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
()由圆x 2
+y 2
=r 2
的面积πr 2
,猜想出椭圆22
22x y a b
+=1的面积S=πab
(D)以上均不正确
3．(2013·漳州模拟）已知f(x)=x+
1
x
-2(x<0),则f(x)有( ) （A ）最大值为0 （B ）最小值为0 （）最大值为-4 （D ）最小值为-4
4.已知集合A={x|x 2-2x-3<0},B={x|2x-1
>1},则A ∩B=( ) (A){x|x>1} (B){x|x<3} (){x|1<x<3} (D){x|-1<x<3}
5.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则111a b c b c a
＋，＋，＋ ( ) (A)都不大于－2 (B)都不小于－2
()至少有一个不大于－2
(D)至少有一个不小于－2
6.（·厦门模拟）某个命题与正整数n 有关，若n=k(k ∈N *
)时该命题成立，那么可推得n=k+1时该命题也成立，现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当n=6时，该命题不成立 (B)当n=6时，该命题成立 ()当n=4时，该命题不成立 (D)当n=4时，该命题成立
7.（·龙岩模拟）函数f(x)=x 3
+mx 2
+(m+6)x+1存在极值，则实数m 的取值范围是( ) (A)（-1，2） (B)（-∞,-3）∪(6,+∞) ()(-3,6) (D)(-∞,-3]∪[6,+∞) 8．要证：a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0，只要证明( )
(A)2ab －1－a 2b 2
≤0
(B)44
2
2
a b a b 12
＋＋－－
≤0 ()2
22a b 1a b 2
（＋）－－≤0
(D)(a 2－1)(b 2
－1)≥0
9．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t ≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2
＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为
()
f 10)10
的月饼最少为( ) (A)18 (B)27 ()20 (D)16
10．下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目
票价(元/场)
足球 篮球 乒乓球
100 80 60
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为( )
(A)3 (B)4 ()5 (D)6
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.（·泉州模拟）将函数f(x)=2sin(x-3
π
)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g (x),则g(x)的最小正周期是_____. 12. 若函数2
mx 1
y mx 4mx 3
－＝
＋＋的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______. 13.（预测题）不等式组x 20y 20x y 10≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
－＋－＋表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为______，
z 的最大值为________． 14.已知a>0,b>0，则
11
2ab a b
++的最小值是_______. 15．方程f(x)＝x 的根称为f(x)的不动点，若函数()x
f x a(x 2)
＝
＋有唯一不动点，且x 1＝1 000，
n 1n
1
x (n N*)1f ()x ∈＋＝
，
则x 2 012＝_______. 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（10分）已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0
，求证：2
b a
c 3a －＜.
17.（12分）设不等式x 2
-2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1,4］，求实数a 的取值范围.
18.（13分）（·三明模拟）如图1，OA,OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段D 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥D 上某点M 分别修建与OA,OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段D 的方程是x+2y=20(0≤x ≤20),曲线段EF 的方程是xy=200(5≤x ≤40),设点M 的坐标为(s,t)，记z=s ·t.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤不计宽度）
（1）求z 的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK 的面积S △MGK 关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值.
19．（13分）（探究题）已知关于x 的不等式(kx-k 2
-4)(x-4)>0，其中 k ∈R.
（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；
（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z=B （其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.
20.（14分）（易错题）已知二次函数f(x)=x 2
+bx+c(b 、c ∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cos β)≤0.
(1)求证：b+c=-1; (2)求证：c ≥3;
(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b 、c 的值. 21.（14分）设数列{a n }满足:a n+1=2n a -na n +1,n=1,2,3,… （1）当a 1=2时，求a 2,a 3,a 4,并由此猜测{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1， （i ）a n ≥n+2;
（ii ）123n 11111
1a 1a 1a 1a 2
+++⋯+<++++.
答案解析
1．【解析】选.∵y=2x
是单调递增函数，且0<b<a<1,
∴2b <2a <21,即2b <2a
<2.
2.【解析】选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 3．【解析】选.∵x<0,∴-x>0, ∴x+
1
x -2=-［(-x)+1(x)
-］-2 ≤1
2
(x)
2(x)
----=-4, 等号成立的条件是1
x ,x -=
-即x=-1 4.【解析】选.A={x|-1<x<3},B={x|x>1},所以A ∩B={x|1<x<3}.
5.【解析】选.因为111a b c 6b
c
a
≤＋＋＋＋＋－，所以三者不能都大于－2.
6.【解析】选.因若n=4时，命题成立，则必有n=5时命题成立与已知矛盾，故当n=4时，该命题不成立.
7.【解析】选B.f ′(x)=3x 2
+2mx+(m+6),由f(x)存在极值，知f ′(x)＝0有两个不等实根， 即Δ＝4m 2
-12(m+6)>0,解得m<-3或m>6.
8．【解析】选D.因为a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0⇔(a 2
－1)(b 2
－1)≥0.
9．【解析】选A.平均销售量()2f t t 10t 1616y t 1018.t t t
≥＋＋＝＝＝＋＋
当且仅当16
t t
＝
，即t ＝4∈［1,30］等号成立， 即平均销售量的最小值为18.
10．【解析】选.设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n ∈N *
)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，
由题意得80n 60n 100152n 1 20080n 100152n ≤⎧⎨≤⎩
＋＋
（－）（－）.
解得：5
5n 5
14
≤≤， 又n ∈N *
，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.
∴可以预订足球比赛门票5张．
11.【解析】函数f(x)的最小正周期为2π，由题设可知g(x)的最小正周期为π. 答案：π
12.【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题,需分m=0或m ≠0讨论. 【解析】∵2
mx 1
y mx 4mx 3
－＝
＋＋的定义域为R ， ∴mx 2
＋4mx ＋3恒不等于0.
当m ＝0时，mx 2
＋4mx ＋3＝3满足题意． 当m ≠0时，Δ＝16m 2
－12m<0， 解得3
30m 0m 44
<<≤<，综上，， 即m ∈3
0)4
［，． 答案：［0，
34
) 13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为25
2
，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：
25
52
14.【解析】因为
11112ab 22ab 2(ab)4a b ab ab
++≥+=+≥， 当且仅当111ab a b ab
==，且，即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4. 答案：4
15．【解析】由
x
x a(x 2)
＝＋得ax 2＋(2a －1)x ＝0.
因为f(x)有唯一不动点，所以2a －1＝0，即1a .2
＝ 所以f(x)＝2x
.x 2
＋ 所以n n 1n n
2x 111
x x .122f x ＋＋＝
＝＝＋（） 所以 2 01211 2 011
x x 2 011 1 000 2 005.5.2
2
⨯＝＋＝＋＝ 答案：2 005.5
16．【证明】要证2
b a
c 3a <－，只需证b 2
－ac<3a 2
，
∵a ＋b ＋c ＝0，
只需证b 2＋a(a ＋b)<3a 2
，
只需证2a 2－ab －b 2
>0， 只需证(a －b)(2a ＋b)>0， 只需证(a －b)(a －c)>0.
因为a>b>c ，所以a －b>0，a －c>0， 所以(a －b)(a －c)>0，显然成立． 故原不等式成立．
17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.
【解析】(1)当Δ=4a 2
-4(a+2)<0，即-1<a<2时，M=Ø,满足题意；
(2)当Δ=0时，a=-1或a=2.a=-1时M={-1}，不合题意；a=2时M={2}，满足题意；
(3)当Δ>0，即a>2或a<-1时，令f(x)=x 2
-2ax+a+2，要使M ⊆［1,4］，
只需()()1a 4f 13a 0f 4187a 0⎧<<⎪
=-≥⎨⎪
=-≥⎩
得2<a ≤187；综上，-1<a ≤18
7
.
【变式备选】若关于x 的方程4x
+a ·2x
+a+1=0有实数解，求实数a 的取值范围.
【解析】方法一：令t=2x >0，则原方程有实数解⇔t 2
+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根
得()2
a 4a 10a 0
⎧∆=-+≥⎪⎨-≥⎪⎩ 或()2a 4a 10
a 0a 10⎧∆=-+≥⎪
-<⎨⎪+<⎩
得()2a 4a 10a 0
⎧-+≥⎪⎨-≥⎪⎩，得a ≤2-22. 方法二：令t=2x
（t>0）,则原方程化为 t 2
+at+a+1=0,变形得
()()()
221t (t 1)222a t 1t 1222222 2.1t t 1t 1t 1
+-+=-=-=--+=-++-≤--=-++++［］［］
∴a 的取值范围是（-∞,222-］.
18. 【解析】(1)由题意，得M(s,t)在线段D:x+2y=20(0≤x ≤20)上，即s+2t=20, 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ， 所以5≤s ≤10,
()2
11z s t s(10s)s 1050,5s 10,22
==-=--+≤≤
所以z 的取值范围是75
z 50.2≤≤
(2)由题意，得200200
K(s,),G(,t),s t
所以MGK 11200200140 000
S MG MK (s)(t)(st 400).22t s 2st
--=+-＝＝
则MGK
140 00075S
(z 400),z ,50,2z 2⎡⎤=
+-∈⎢⎥⎣⎦
因为函数MGK
140 00075S
(z 400)z ,502z 2⎡⎤
=
+-∈⎢⎥⎣⎦
在单调递减， 所以当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. 19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；
当k>0且k ≠2时，A=(-∞,4)∪(k+4
k
,+∞)；
当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；
当k<0时，A=(k+4
k
,4).
（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k<0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集. 因为k+
4
k
≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B 的元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：
（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0,f(2+cos β)≤0.注意分析sin α、2+cos β的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c 的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cos β)≤0，即可获得问题的解答;
（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答. 【解析】(1)∵|sin α|≤1且f(sin α)≥0恒成立，可得f(1)≥0. 又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β)≤0恒成立，可得f(1)≤0, ∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1. (2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,
∴f(x)=x 2
-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).
又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β）≤0恒成立， ∴x-c ≤0，即c ≥x 恒成立. ∴c ≥3.
（3）∵f(sin α)=sin 2
α-(1+c)sin α+c=(sin α-1c 2+)2+c-(1c 2
+)2
, ∵
1c
2
+≥2 ∴当sin α=-1时，f(sin α)的最大值为1-b+c. 由1-b+c=8与b +c=-1联立， 可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.
21.【解析】(1)由a 1=2,得a 2=a 12
-a 1+1=3,
由a 2=3,得a 3=a 22
-2a 2+1=4,
由a 3=4,得a 4=a 32
-3a 3+1=5,
由此猜想{a n }的一个通项公式：a n =n+1(n ≥1). (2)（i ）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a 1≥3=1+2,不等式成立，
②假设当n=k 时不等式成立，即a k ≥k+2,那么 a k+1=a k (a k -k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3. 也就是说，当n=k+1时，a k+1>(k+1)+2. 由①和②得对于所有n ≥1，有a n ≥n+2.
（ii ）由a n+1=a n (a n -n)+1及（ⅰ),对k ≥2，有 a k =a k-1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1 …迭代法
a k ≥2k-1a 1+2k-2+…+2+1=2k-1
(a 1+1)-1 于是
k 1
k 1111
,k 21a 1a 2
-≤≥++ n
n n k 1k 1n
k 1k 2k 1k 11111
11111121221
(1).1a 1a 1a 21a 21a 21a 132--===≤+==-<≤=+++++++∑∑∑。