定积分定义(精选)
定积分定义计算例题
定积分定义计算例题定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。
下面是一些定积分的定义和计算例题：1. 定积分的定义：定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。
表示为：$int_a^bf(x)dx$。
其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。
2. 定积分的计算方法：(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。
(2) 求出每个小区间的面积：用等式$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。
(3) 将每个小区间的面积相加：$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。
3. 计算例题：例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。
解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sinx_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。
解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的定义
• 考虑正弦函数sin(x)在 0， 区间上。
• 分割. 将 0， 比如说20份。
区• 积分和（黎曼和）. 将所有小矩 形面积求和，得到整体面积的 一个近似。
• 求极限. 让等分的份数趋近于无 穷大，所得极限就是所求面积 的精确值。
• 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为15个分点情 形。
• 可以看到，梯形公式 比矩形公式精确度高。
梯形，15个分点
误差更小
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 20等分情形，取左端 点处的函数值
左端点型
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 20等分情形，取右端 点处的函数值
右端点型
定积分的定义
• 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为8个分点情形。
梯形公式
定积分的定义
分割 近似
求和 取极限
定积分的定义
• 现在看看分成40份的 情形。
• 可以看到误差变小了。 • 有理由相信：随着分
点的增加，误差越来 越小。
误差很小
定积分的定义
• 当然，小区间上的面 积也可以用其他容易 求出面积的图形的面 积来表示，比如梯形。
• 这就是定积分的梯形 算法。
• 右图是取5等分的情形， 就已经非常精确了。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分的概念
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx -x + 3x dx
3 2 0
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
a f(x)dx - b f (x)dx
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
a f (x)dx a
O a
b
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b
lim f (i ) xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
再 见
例 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习：利用定积分计算： x3 dx
0
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分定义法
定积分定义法
定积分的定义法主要有两种形式：Riemann积分和极限法。
Riemann积分是定积分的一种形式，其定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]上任意取分点{x_i} i=0 n，作成一种划分P:a=x0<x1<x2<…<xn=b，并任意取点ξ ∈ [xi-1,xi]，i = 1, 2, …, n。
那么函数f(x)在区间[a,b]上的定积分定义为：∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ξi)Δxi，其中Δxi=xi−xi−1。
极限法也是定积分的一种定义形式，其定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=b−an，在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并求和∑1nf(ξi)Δxi，记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，若当λ→0时，和的极限存在且相等，则称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx。
以上是定积分的两种定义法，它们从不同的角度描述了定积分的概念。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的定义法来解决问题。
定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
定积分的定义和性质
定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。
在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。
它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。
选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。
3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。
这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。
三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。
下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。
例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。
2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。
这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。
大一定积分知识点总结
大一定积分知识点总结在商业和金融领域中，定积分是一个重要的数学概念，它在计算曲线下的面积、求函数的平均值等方面起到关键作用。
作为大一学生，掌握定积分的基本知识点对于深入理解数学和应用数学在实际问题中的作用至关重要。
本文将就大一定积分的关键知识点进行总结，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、定积分的基本定义定积分是指将一个函数在一个区间上的取值通过无穷小的“切割”和“加和”得到的结果。
简而言之，定积分表示了曲线下的面积或曲线上的弧长。
二、定积分的符号表示在数学中，定积分的符号表示为∫，表示对函数进行积分。
其中积分号∫的上下限表示积分的区间。
例如，∫[a,b]代表对区间[a,b]上的函数进行积分。
三、定积分的计算方法1. 几何意义：将曲线下的面积分成无穷多个狭长的小矩形，对每个小矩形的面积进行求和。
2. 积分表达式计算：通过函数的原函数F(x)来计算积分。
定积分的计算公式为∫f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
3. 积分方法：根据具体的函数形式和积分区间选择相应的积分方法，如分部积分法、换元积分法等。
四、定积分的性质1. 线性性质：∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 区间可加性：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx，其中a< b < c。
3. 积分上下限交换：∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
4. 积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则存在一点c属于[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx = f(c)(b-a)。
五、定积分在实际问题中的应用1. 面积计算：通过定积分可以计算曲线下的面积，例如计算封闭曲线所包围的区域的面积。
2. 物理学应用：定积分可以用于描述牛顿第二定律、引力势能、电荷分布等物理问题。
定积分的概念
f ( x) 在 [a, b] 上的平均值．
例如曲边梯形的平均高度、变速直线运动物体的平均速度等．
例1 解
设函数 f ( x) = x 2 在区间 [0, 1] 上可积，求 ∫ x 2 dx 的值．
0
1
将区间 [0, 1] 等分为 n 份，分点为 = xk
k = (k 0,1, , n) ． n
2
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数 − A （见图1），
即
∫
y
a
b a
f ( x)dx = − A ．
y
b
x
O
y = f ( x)
a
A
O
A2
A1
b
y = f ( x)
A3
A3
x
图1
图2
若 y = f ( x) 在 [ a, b] 上连续，且既取正值又取负值时（见图2），此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A ，即
∫
b a
f ( x ) dx = A ．
若 y = f ( x) 在 [a, b] 上连续且非正，即 f ( x) ≤ 0 ，此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
S = ∫ v(t )dt ．
a
b
变力做的功是 F ( x) 在区间 [a, b] 上的定积 物体在变力 F ( x) 的作用下从点 a 运动到点 b ， 分，即
W = ∫ F ( x)dx ．
a b
用定积分定义求定积分
用定积分定义求定积分1. 什么是定积分？在数学中，定积分是一种测量曲线下某一区域面积的概念。
它通过将曲线下的区域划分成无限个小矩形，并对这些小矩形的面积进行求和来求解。
定积分可以用于求解曲线下的面积、质量、能量等问题，是微积分的重要工具之一。
它在物理、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
2. 定积分的定义要理解定积分的定义，我们首先需要了解什么是积分区间和被积函数。
•积分区间：定积分是在一个有限区间上进行的，将这个区间记作[a, b]，其中a、b是常数，并且满足a<b。
•被积函数：被积函数是指定积分中要进行积分的函数，通常用符号f(x)表示。
在这个基础上，我们可以用以下方式定义定积分：$$\int_a^b f(x)dx = \limlimits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$$其中，f(x)是在积分区间[a, b]上的一个函数。
上式右侧的求和符号表示将积分区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
x_i^*是第i个小区间的中点。
这个定义的意思是，当n趋向于无穷大时，将每个小区间的函数值f(x_i^*)乘以对应小区间的宽度Δx，并将这些乘积求和，即可得到定积分。
3. 定积分的计算方法在实际计算定积分时，我们通常使用[黎曼和](来近似计算。
黎曼和的计算公式如下：n(x i∗)Δx∑fi=1其中，f(x)是被积函数，x_i^*是第i个小区间的中点，Δx是每个小区间的宽度。
在实际计算中，可以通过等分法、中点法、梯形法、辛普森法等方法来进行黎曼和的近似计算。
这些方法都是在积分区间上进行小区间等分，并对每个小区间的函数值进行加权平均。
•等分法：将积分区间等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中n是等分的份数。
然后，计算各个小区间中点的函数值f(x_i^*)乘以对应小区间宽度Δx，并将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
定积分的精确定义
定积分的精确定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一定区间内的“积分面积”进行定义和计算。
具体来说，定积分可以看作是一个区间内的函数值在该区间上的加权平均值，其中加权的权重是区间上的微小长度。
定积分的计算方法有很多种，其中最常用的方法是使用“黎曼和”的概念。
黎曼和是将一个区间分成若干等分，并在每个等分上取一个函数值，然后将每个等分的函数值与其对应的等分长度相乘，并进行求和。
当等分的数量趋近于无穷大时，黎曼和的极限值就是该函数在该区间上的定积分。
定积分的精确定义可以表示为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么存在一个实数I，满足对于任意的ε>0，都存在一个Δ>0，使得当[a,b]上的任意一个分割P满足其最大子区间长度小于Δ时，对应的黎曼和与I的差的绝对值小于ε，即∣S(f,P)-I∣<ε，其中S(f,P)表示黎曼和的值。
定积分的精确定义可以用于证明定积分的存在性和唯一性。
其中存在性指的是对于任意一个连续函数f(x)和一个区间[a,b]，都可以通过黎曼和的求和方法来计算该函数在该区间上的定积分。
唯一性则指的是，无论采用何种方法计算定积分，其结果都是唯一的。
除了黎曼积分外，还有其他一些积分方法，例如勒贝格积分和黎曼-
斯蒂尔杰斯积分等。
这些积分方法在一定条件下可以替代黎曼积分，用于计算更加复杂的函数积分。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用于计算函数在一定区间内的面积、体积、质量等物理量，是数学和物理领域中不可或缺的工具。
第二节 定积分的定义
第二节 定积分的定义一、 定义：如果()x f y =在[]b a ,上有定义（连续），用1-n 个分点将[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，其长度1--=∆i i i x x x ，在每个小区间[]i i x x ,1-上，任取[]i i i x x ,1-∈ξ，如果(){}i i ni i x Max Sx f ∆==∆∑=→λξλ1lim []i i i x x ,1-∈ξ1--=∆i i i x x x则()()ini i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ注： （1）()()dxx f dx x f ba⎰⎰,的关系？（2）()()dx x f dx x f b a ba⎰⎰++11,的关系？()()dt t f dx x f baba⎰⎰,的关系？结论：定积分是一个常数，只与函数()x f y =，区间[]b a ,有关，与积分变量无关。
（3）dxx dx x⎰⎰21101,1的关系？（4）“三个不一样，一个一样”？ 注：①0→∀λ分割，只要②[]i i i x x ,1-∈∀ξ取点，只要③近似求和可能不一样()ini ix f ∆∑=1ξ④极限一样()()ini i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ(5) 定积分存在定理：有限区间上的连续函数可积有限区间上的只有有限个间断点的有界函数也可积。
（6）()()dxxfdxxf abba⎰⎰-=()0=⎰a a dxxf作业：P266/1（2）。